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1、不定积分的分部积分法第三节 第第6章章 一、分部积分公式一、分部积分公式二、典型例题二、典型例题一、分部积分公式一、分部积分公式 xexd tettd2（换元法无法解决）（换元法无法解决）tx 令令引例引例由导数公式由导数公式vuvuuv )(积分得积分得xvuxvuuvdd xvuuvxvudd uvvuvudd 分部积分公式分部积分公式 公式的作用：公式的作用：改变被积函数改变被积函数二、典型例题二、典型例题例例1xexIxd11 ）（xex dvdxxe xexduvvudCexexx 简化简化问：问：?xeu 能能否否取取不行不行.u xxexd xxexd221uvd2d21xex
2、)d(2122 xxexex)d(2122 xexexxx更不易积分更不易积分xexIxd222 ）（vd xex d2vdxex2 2d-xex uvdxex2 xxexd2-1Ixex2 Cexexx ）（2-简化简化例例2xxxIdcos11 ）（xxsin xxdsinCxxx cossinuvvud简化简化分析分析 取取?u xxxdcos xxxxxdsin2cos222显然，显然，u 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.更不易积分更不易积分vxxxdd21d2 ,cos xu？解解xxxIdcos11 ）（uvd xx sindvdxxxIdsin222 ）（xx co
3、s2 2dcosxx vd xxcosd2vduvdxx cos2 xxxdcos2 1Ixx cos2 Cxxx )cossin(2推广推广,dsin xxxnnxu 令令简化简化注注 1xxvd)(d)1().()()(,d)(xxxfxxf 其其中中设设,d)(易易积积分分 xx;易易求求v.dd)2(易易积积分分比比 vuuv选选 u 的的一般一般原则：原则：例例3 求下列不定积分：求下列不定积分：xxxIdln)1(1 xx ln212 xxd21Cxxx 2241ln21u 2dln2xxvdxxln22 xxlnd22 uvd简化简化？xxdlnxxxIdarctan22 ）（x
4、x arctan212 xxxd12122xx arctan212 xxd)111(212xx arctan212 Cxx )arctan(21)2d(tanrca2xx vud简化简化?darctan?darcsinxxxx注注 2 分部积分小结分部积分小结(1)(1)xxxxexnxndsind)1(nxu 设设（例（例1，例，例2）xxxndln)2(xuln 设设（例（例3(1)）xxxndarcsin)3(xuarcsin 设设（例（例3(2)）xxvndd 3 选选 u 的的优先优先原则：原则：“对反代三指对反代三指”法法(或称为或称为“LIATE”法法).L对对数函数数函数I反反
5、三角函数三角函数A代代数函数数函数T三三角函数角函数E指指数函数数函数选选 u的的优优先先顺顺序序求积分求积分 .d1arctan2xxxx解解,1)1(22xxx 2arctand1xxxx 2arctand 1xx 221arctan1d(arctan)xxxx 22211arctan1d1xxxxx 反反三角函数三角函数三三角函数角函数L对对数函数数函数IA代代数函数数函数TE指指数函数数函数选选u的的优优先先顺顺序序AIu例例42211arctand1xxxx 令令txtan 21d1xx 221secd1tanttt sec dtt Ctt )tanln(secCxx )1ln(22
6、arctand1xxxx xx arctan12 .)1ln(2Cxx 例例5xxeIxdcos xexcos xexcosdxexsin xxexdcosCxxeIx )cos(sin21 xexdcosvduvdxexcos xxexdsinxexcos xexsin xexcos I 注意循环形式注意循环形式问问:行吗？行吗？选选xeu 行行.)d(sin xeIx xxexxedsinsin xexxexxdsinsin xexexxcosdsin(第二次分部积分第二次分部积分)uu xxexexexxxdcoscossinIxexexx cossinI.)cos(sin2Cxxex
7、两次所选两次所选u的的函数类型不函数类型不变！变！例例6xxxIdsectan2 xx secdtanvudxxsectan xxdsec3uvxxsectan xxxdsec1tan2）（xxsectan I Cxx tansecln故故CxxxxI tanseclnsectan21综合题综合题 例例8xexd tetet(2 Cxex )1(2)te C xt 令令ttd2例例9xxxIdcoscosln2 xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd)1(sec2xxcoslntan Cxx tan xxtandcoslnvud例例10 已知已知)(xf的一个原函数是
8、的一个原函数是,cosxx求求.d)(xxfx 解解xxfxd)()(dxfx )(xfx xxfd)(x xxcosCxx cos xsinCxx cos2，）（xxxfcos)(xxfd)(1cosCxx 故故例例11 求求.d xI 23)1(2x 解解 先换元先换元,后分部后分部令令,tantx teIt3secttdsec2 ttetdcos tetsinttetdsin tetsin ttetdcos tetcos 故故CettIt )cos(sin21xearctan，CettIt )cos(sin21 21tx121x 21xx 211x Cex arctantxtan.d x
9、I 23)1(2x xearctan内容小结内容小结分部积分公式分部积分公式xvuvuxvudd 1.使用原则使用原则:xvuvd易求出易求出,易积分易积分2.使用经验使用经验:“对反代三指对反代三指”,前前 u 后后v3.处理类型处理类型:简化型简化型;方程型方程型;递推型递推型.思考题思考题 下述运算错在哪里下述运算错在哪里?应如何改正应如何改正?xxxdsincos xxxxxdsin)sin1(sinsin xxxxdsinsincos12 xxxdsincos1,1dsincosdsincos xxxxxx得得 0=1答答 不定积分是原函数族不定积分是原函数族,相减不应为相减不应为
10、0.求此积分的正确作法是用换元法求此积分的正确作法是用换元法.xxsinsindCx sinln例例 1-1xxxdcos)6(2 求求解解xxxdcos)6(2 xxsind)6(2 6dsinsin622 xxxx xxxxxdsin2sin62 xxxxcosd2sin62 xxxxxxdcos2cos2sin62 cxxxxx sin2cos2sin62例例2-1xxxde2 求求解解Cxxxxx e2e2e2 xx de222deexxxx xxxxxde2e2 xxxxde2e2xxxxxxde2e2e2 xxxde2 例例3-1xxIdarcsin xxarcsin xxarcs
11、in)1d()1(212212 xxxxarcsin Cx 21vud xxxd12简化简化反反三角函数三角函数三三角函数角函数L对对数函数数函数IA 代代数函数数函数TE 指指数函数数函数选选u的的优优先先顺顺序序例例6-1.d)1(2xxexIx 求求解解(方法方法1)xexxId)1(2 xxxeexxxxd)1()1(22 AExxxeexxxxd)1(2)1(1)1(322 )1(111)1(1)1()1(222 xxxxxx22312(1)(1)(1)xxxxeededxxxx 2233(2)2(1)(1)(1)(1)xxxxxeeee dxdxxxxx .1xeCx 22312(1)(1)(1)xxxxeededxxxx IxexxIxd)1(1)1(2 xxexxexxd)1(d12 )1(1dd1xexxexx xxexexxexxxd11d1.1Cxex (方法方法2)例例6-2)0(d22 axaxI22axx xaxxd22222axx xaxaaxd22222)(22axx xaxd22 22d2axxa2221axxI Caxxa )(ln2222vud故故迎合分母迎合分母22axx I Caxxa )(ln222
高等数学课件：6-3 不定积分的分部积分法
