概率论与数理统计：第二章随机变量及其分布

《概率论与数理统计：第二章随机变量及其分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：第二章随机变量及其分布（74页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机试验的结果未必是数量的随机试验的结果未必是数量的,如抛硬币如抛硬币得正面或反面得正面或反面,检查产品是正品和次品等等检查产品是正品和次品等等,为了数学处理的方便以及理论研究的需要为了数学处理的方便以及理论研究的需要,我们将随机试验的结果与实数对应起来，将我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念概念.2.1 随机变量随机变量1 例例抛抛硬硬币币的的试试验验中中，S=HS=H，TT，定定义义0,e=T0,e=TX=X(e)=X=X(e)=1,e=H1,e=H例例2 2在在一

2、一袋袋中中装装有有编编号号为为1 1，2 2，3 3的的3 3只只球球，在在袋袋中中任任取取一一只只球球，放放回回，再再任任取取一一只只球球，记记录录它它们们的的编编号号。我我们们关关心心的的是是它它们们的的号号码码之之和和，则则试试验验的的样样本本空空间间S=e=S=e=(i,j),i,j=1,2,3(i,j),i,j=1,2,3 以以X记两号码之和，对于每一个样本点记两号码之和，对于每一个样本点e，X都有一个值与之对应。都有一个值与之对应。(),(,),1,2,3，XX eij ei ji jS1.定义定义:设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S=e，若对于，若对于每一个每一个e

3、S,有一个实数有一个实数X(e)与之对应与之对应,即即X(e)是定是定义在义在S上的单值实函数，称为上的单值实函数，称为随机变量随机变量。（random variable,简记为简记为r.v.)例例3.测试灯泡寿命试验测试灯泡寿命试验,其结果是用数量表示其结果是用数量表示的的.记灯泡的寿命为记灯泡的寿命为X,则则X是定义在样本空间是定义在样本空间S=e=t|t0上的函数上的函数,即即X=X(e)=t,e=tS.e1有了随机变量有了随机变量X,以前的各种随机事件均可用以前的各种随机事件均可用X的的变化范围来表示变化范围来表示:如例如例1中中:A=“正面朝上正面朝上”用用X=1表示表示B=“背面朝

4、上背面朝上”用用X=0表示表示反过来反过来,X的一个变化范围表示一个随机事件的一个变化范围表示一个随机事件.0X2=“正面朝上正面朝上”.X3”.(2)随机变量随着试验的结果而取不同的值随机变量随着试验的结果而取不同的值,在在试验之前不能确切知道它取什么值试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机但是随机变量的取值有一定的统计规律性变量的取值有一定的统计规律性概率分布概率分布.LXLXLBe|X(e)LPXLP(B)Pe|X(e)L 一一般般地地，若若是是一一个个实实数数集集合合，将将在在上上取取值值写写成成，它它表表示示事事件件则则有有2.分类：分类：(1)离散型随机变量离散型随机变量;(2)

5、非离散型随机变量非离散型随机变量.10 连续型随机变量连续型随机变量20 非连续型随机变量非连续型随机变量2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律1.定义定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个或可列无限多个,则称为则称为离散型随机变量离散型随机变量.2.r.v.:离离散散型型的的分分布布律律kkk r.v.Xx(k1,2,3,.)PXx p,k1,2,.(1)设设离离散散型型所所有有可可能能取取值值为为kkkk 1p:p0,k1,2,.,p1,满满足足且且(1)r.v.X.则则称称式式为为离离散散型型的的概概率率分分布布或或

6、分分布布律律(1):式式也也可可用用表表格格形形式式表表示示X x1 x2 xn pk p1 p2 pn .例例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯信号灯,每组信号灯以概率每组信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过,以以X表表示汽车首次停下时已通过信号灯的组数示汽车首次停下时已通过信号灯的组数,求求X的的分布律分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的设各信号灯的工作是相互独立的).解解:X 0 1 2 3 4 pk即即 PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3.(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4PX=4=(1-p)4 p 几

7、种重要的离散型随机变量几种重要的离散型随机变量（一）（一）0-1 分布分布 设随机试验设随机试验E有两种可能的结果：有两种可能的结果：S=e1,e2,设随机变量设随机变量X：12k1 k1,eeXX(e)0eePXkp(1p),k0,1X01 当当，当当分分布布律律为为称称 服服从从参参数数为为p p的的分分布布(二二)伯努利试验伯努利试验 、二项分布二项分布:EAA,E P(A)p (0p1),En,n.定定义义设设试试验验 只只有有两两个个可可能能结结果果 与与则则称称 为为伯伯努努利利试试验验。设设将将试试验验 独独立立重重复复地地进进行行 次次 这这样样的的试试验验称称为为 重重伯伯努

8、努利利试试验验例例1.设设X是是n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的发生的次数次数,每次试验中每次试验中A发生的概率为发生的概率为p,则则X是一是一个随机变量个随机变量,我们来求它的分布律我们来求它的分布律.一般地有一般地有nkn kkPXk()p(1p),k0,1,2,.,n 称称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布,记为记为Xb(n,p).当当n=1时时,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为即为0-1分布分布.例例2.某种电子元件的使用寿命超过某种电子元件的使用寿命超过1500小时为小时为一级品一级品,已知一大批该产品的一级品率为已知一大批该产品的一级品率

9、为0.2,从中随机抽查从中随机抽查20只只,求这求这20只元件中一级品的只元件中一级品的只数只数X的分布律的分布律.解解:Xb(20,0.2).20k20 kkPXk()(0.2)(0.8),k0,1,2,.,20.则则例例3.某人进行射击某人进行射击,每次命中率为每次命中率为0.02,独立射击独立射击400次次,试求至少击中两次的概率试求至少击中两次的概率.:400X,X b(400,0.02).解解设设次次射射击击中中击击中中的的次次数数为为则则当当n较大较大,p又较小时又较小时,二项分布的计算比较二项分布的计算比较困难困难,例如例如 0.98400，0.02400,可以用可以用Pois-

10、son分布近似计算分布近似计算.400k400 k kPXk()(0.02)(0.98),k0,1,.,400.PX21-PX0-PX1 则则4003991(0.98)400(0.02)(0.98).例例4.设有设有80台同类型设备台同类型设备,各台工作是相各台工作是相互独立的互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01,且一且一台设备的故障由一个人处理。考虑两种方台设备的故障由一个人处理。考虑两种方法，其一是由法，其一是由4人维护，每人负责人维护，每人负责20台，台，其二是由其二是由3人共同维护人共同维护80台，试比较这两种台，试比较这两种方法在设备发生故障不能及时维修的概率的方法

11、在设备发生故障不能及时维修的概率的大小。大小。(三三)泊松分布泊松分布(Poisson)keX PXk,k0,1,2,.,k!0,X.X().若若 的的分分布布为为其其中中是是常常数数 则则称称 服服从从参参数数为为 的的泊泊松松分分布布记记为为kkk 0k 0k 0e (1)PXkek!k!e e1.(2)泊松分布有很多应用泊松分布有很多应用.泊松泊松(Poisson)定理：定理：nnnX,X b(n,p),设设随随机机变变量量序序列列则则kkn knnnnnnelimPXklimp(1p),kk!n np0,k.其其中中为为任任一一固固定定的的非非负负整整数数证明证明:nn np,pn,由

12、由则则则则 kn kn kknnnn(n1).(nk1)p1p1kk!nn nkk12k1111111k!nnnnn ke.(n)k!(3)二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出.泊松定理的意义泊松定理的意义：1.在定理的条件下在定理的条件下,二项分布的极限分布是二项分布的极限分布是 泊松分布泊松分布.2.当当n很大且很大且 p又较小时又较小时,kn kkne p1p,np,kk!其其中中.这这就就是是二二项项分分布布的的概概率率 近近似似计计算算公公式式3,X b(400,0.02),在在例例 中中np4000.028 ,PX21PX

13、0PX1 4003991(0.98)400(0.02)(0.98).88 1e8e0.997 (四四)几何分布几何分布 进行重复独立试验进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为设每次试验成功的概率为p,失败的概率为失败的概率为1-p=q(0p1),将试验进行到出现一将试验进行到出现一次成功为止次成功为止,以以X表示所需的试验次数表示所需的试验次数,则则X的分布的分布律为律为:PX=k=qk-1p,k=1,2,称为称为X服从参数为服从参数为p的的几何分布几何分布.例例 设某种社会定期发行的奖券设某种社会定期发行的奖券,每券每券1元元,中奖率为中奖率为p,某人每次购买某人每次购买1张奖券张奖券,如

14、果没有中奖下次继续再买如果没有中奖下次继续再买1张张,直到中奖止直到中奖止,求购买次数求购买次数X的分布律的分布律.解：解：PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,3,若该人共准备购买若该人共准备购买10次共次共10元钱元钱,即如即如果中奖就停止果中奖就停止,否则下次再购买否则下次再购买1张张,直直到到10元共花完为止元共花完为止,求购买次数求购买次数Y的分的分布律布律.解：解：PY=k=p(1-p)k-1,k=1,2,9,PY=10=p(1-p)9+(1-p)10=(1-p)9.3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 对于非离散型对于非离散型r.v.已不能用分布律来描述它已不能用分布

15、律来描述它,需要考虑需要考虑r.v.的取值落入一个区间的概率的取值落入一个区间的概率,如如1.定义定义：设：设r.v.X,x为任意实数为任意实数,则则 F(x)=P Xx 称为称为X的的分布函数分布函数.P x1Xx2,P Xx 等等,为此引入随机变量的分布函数为此引入随机变量的分布函数.(1)P x1x1,F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.(2)0F(x)1,F(-)=0,F(+)=1.(3)F(x)至多有可列个间断点至多有可列个间断点,而在其间断点而在其间断点 上也是右连续的上也是右连续的,F(x+0)=F(x).例例1.离散型离散型r.v.,已知分布律可求出分布函数已知分布律可求

16、出分布函数.X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求：求：X的分布函数的分布函数,并求并求P X1/2,P3/2X5/2.0,x11/4,1x2F(x)PXx1/4 1/23/4,2x31/4 1/2 1/41,x3 PX 1/2kkkkk:xx,r.v.X,PXx p,k1,2,.F(x)PXxp.总总之之 离离散散型型的的分分布布函函数数是是阶阶梯梯函函数数若若分分布布律律则则分分布布函函数数为为=F(1/2)PX 1/2=PX=-1=1/4,=1/4 或由分布律或由分布律直接得直接得P3/2用实数来标识用实数来标识=随机变量随机变量=随机变量的分布函数随机变量的分布函数.1.作

17、一个从样本空间到实数集的映射作一个从样本空间到实数集的映射,使样本使样本 从从“语言描述语言描述”变成变成“实数变量实数变量”.2.介绍了几种离散型随机变量的分布律介绍了几种离散型随机变量的分布律.3.针对实践中人们关心随机变量落入某个区间针对实践中人们关心随机变量落入某个区间 的概率的概率,定义了分布函数的概念定义了分布函数的概念.4.由分布函数的连续积分表达式定义出连续型由分布函数的连续积分表达式定义出连续型 随机变量的概率密度随机变量的概率密度,使概率的求解转化为使概率的求解转化为概率密度的定积分的计算概率密度的定积分的计算.2321.X b(4,),ttXt0.5X0.10p_ _._

18、设设随随机机变变量量则则关关于于 的的方方程程没没有有实实根根的的概概率率2.45%XXX一一篮篮球球运运动动员员的的投投篮篮命命中中率率为为，以以表表示示他他首首次次投投中中时时已已投投篮篮的的次次数数，写写出出 的的分分布布律律，并并计计算算 取取偶偶数数的的概概率率。三三.练习练习2213821433811.(X)4(0.5X0.1)0,X2X0.40,X0.75X1.25,X1,P(X1)C()()的的值值为为只只有有k 12k 1k 1k 1113122.P(Xk)(0.55)0.45k1,2,P(X2k)(0.55)0.450.550.450.35481(0.55)23.XAx0

19、x2f(x)A(4x)2x401A23P1X3 设设随随机机变变量量 的的密密度度函函数数为为其其它它（）求求常常数数；（）分分布布函函数数，（）24231431402xx231402x233141402(1)f(x)dx1Ax dxA(4x)dxA1,A(2)F(x)f(x)dx0 x0 x dx0 x22x4x dx(4x)dxx41 解解3x14336528772328232331414120 x00 x2(2)F(x)xx2x41x4(3)P1X3F(3)F(1)P1X3x dx(4x)dx 或或224.,0()0,0 设设随随机机变变量量X X的的分分布布函函数数为为xABexF x

20、x(1)2()3 12.求求，的的值值；(）；（）ABfxPX5.X U0 1Y2lnX 设设（，）（即即均均匀匀分分布布）求求：的的概概率率密密度度。y2y/2y2YYxe12yYy0,F(y)0y0,F(y)PYyP 2lnXyPXef(x)dxy0ef(y)F(y)y00 解解时时时时以可以用公式法以可以用公式法22240.3,0 6.6.设设（，），又又求求：XNPXP X 2XX2,:Y1e(0,1).例例设设随随机机变变量量服服从从参参数数为为 的的指指数数分分布布 证证明明在在区区间间上上服服从从均均匀匀分分布布2x2x122X12x01e,XF(x)x00,y1e,xln(1y

21、)YF(y)PYyP1ey0,y0PXln(1yy,0y11,y1Y(0,1).证证的的分分布布函函数数为为是是单单调调函函数数 其其反反函函数数为为则则的的分分布布函函数数则则服服从从上上的的均均匀匀分分布布150021500150011500 100010002 PX1500f(x)dxdx|x3x 例例 任任取取 只只电电子子管管寿寿命命大大于于小小时时的的概概率率为为5,1500,Y,Y b(5,2 3)任任取取 只只电电子子管管 其其中中寿寿命命大大于于小小时时的的只只数数为为随随机机变变量量 记记为为则则54PY21PY0PY11(1 3)5(2 3)(1 3)232 243.例例

22、.Xb(n,p),求求k,使使PX=k取最大值取最大值.:,.解解 此此类类离离散散型型函函数数求求最最大大值值不不能能用用可可导导函函数数求求极极值值的的办办法法来来求求 应应该该用用差差分分的的方方法法求求kkn knk 1k 1n k 1n()p(1p)PXk(nk1)p PXk1k(1-p)()p(1p)(n1)pk1k(1p)k(n1)p,PXkPXk1;当当时时k(n1)p,PXkPXk1.当当时时(n1)pm,PXkpXk1,若若为为正正整整数数时时kmkm1.(1)此此时时及及两两项项为为最最大大(n1)p,m 若若不不是是正正整整数数 则则有有正正整整数数满满足足 (n1)p

23、-1m(n1)p,PXm .(2)使使最最大大PXk1(n1)p(k1)1PXk(k1)(1p)因因(n1)p1k1(k1)(1p)k(n1)p1,PXkPXk1 当当时时k(n1)p,PXkPXk1,m(n1)p 同同时时由由上上讨讨论论可可知知当当时时由由此此可可得得x,0 x1,.(18(2):f(x)2x,1x2,X.0,.例例 第第题题已已知知求求 的的分分布布函函数数其其它它x:r.v.F(x)f(x)F(x)f(t)dt.分分析析 利利用用连连续续的的与与的的关关系系式式求求解解x0,F(x)0;当当时时0 x200 x1,F(x)0dttdtx2;当当时时01x0121x2,F(x)0dttdt(2t)dt 12xx2;当当时时12x012x2,F(x)tdt(2t)dt0dt1.当当时时例例.设设XN(0,1),求求Y=2X2+1的概率密度的概率密度.2x2X1:f(x)e,-x,2 解解Y.先先求求的的分分布布函函数数Yy1,F(y)PYy=0时时2Yy1,F(y)PYyP2X1y时时y1y1PX22y 12Xy 12f(x)dx y 141e,y1,2(y 1)0 ,y1.YYXXf(y)F(y)y1y1y1y1f()()f()(),y1,2222 0 ,y1.