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1、目录 上页 下页 返回 结束 第九章第九章 第五节第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法隐函数的求导方法 1)方程在什么条件下才能确定隐函数方程在什么条件下才能确定隐函数.例如例如,方程方程02CyxC 0 时时,不能确定隐函数不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时方程能确定隐函数时,研究其连续性研究其连续性,可微性及求导方法问题可微性及求导方法问题.本节讨论本节讨论:目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定
2、理1.1.设函数设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程则方程00),(xyxF在点单值连续函数单值连续函数 y=f(x),)(00 xfy 并有连续并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个的某邻域内可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件满足条件导数导数目录 上页 下页 返回 结束 0)(,(xfxF两边对两边对 x 求导求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的
3、隐函数为方程设yxFxfy在在),(00yx的某邻域内的某邻域内那么那么目录 上页 下页 返回 结束 若若F(x,y)F(x,y)的二阶偏导数也都的二阶偏导数也都连续连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数二阶导数:)(yxFFxxyxxydd则还可求隐函数的则还可求隐函数的 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.验证方程验证方程01esinyxyx在点在点(0,0)某邻域某邻域可确定一个单值可导隐函数可确定一个单值可导隐函数,)(xfy 0dd,0dd22xxyxxy
4、解解:令令,1esin),(yxyyxFx;0)0,0(F,eyFxx连续连续;由由 定理定理1 可知可知,1)0,0(yF,0,)(xfy 导的隐函数导的隐函数 那么那么xyFy cos在在 x=0 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可且且并求并求目录 上页 下页 返回 结束,eyFxxxyFy cos0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0,0yx0dd22xxy)cose(ddxyyxx3100yyx)e(yx)(cosxy)(eyx)1sin(yy1,0,0yyx01sin),(yxeyyxFx2)cos(xy 目录 上页 下页 返回 结束 0 xy30dd22x
5、xy)(,01esinxyyyxyxyycos两边对两边对 x 求导求导1两边再对两边再对 x 求导求导yyyy cos)(sin2令令 x=0,注意此时注意此时1,0yy0e yxyyxxey0 yx)0,0(cosexyyx导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导利用隐函数求导目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.若函数若函数),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数的某邻域内具有连续偏导数;则方程则方程0),(zyxF在点在点),(00yx并有连续偏导数并有连续偏导数,),(000yxfz 定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z=f(x
6、,y),定理证明从略定理证明从略,仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确目录 上页 下页 返回 结束 0),(,(yxfyxF两边对两边对 x 求偏导求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz那那么么zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)(2xz222xzz04
7、22xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对再对 x 求导求导目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用公式利用公式设设zzyxzyxF4),(222那那么么,2xFxzxFFxz两边对两边对 x 求偏导求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz解法解法3 微分法微分法目录 上页 下页 返回 结束 zxFFxz xz例例3.设设F(x,y)具有连续偏导数具有连续偏导数,0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏导数公式利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxF
8、zyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz那那么么)()(2221zyzxFF 已知方程已知方程故故目录 上页 下页 返回 结束 对方程两边求微分对方程两边求微分:1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 2 微分法微分法.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0目录 上页 下页 返回 结束 解法解法1：把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函
9、函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得zy .解解令令,zyxu ,xyzv 那那么么),(vufz 目录 上页 下页 返回 结束 把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 目录 上页 下页 返回 结束 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得)1(1 zyfu),
10、(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 目录 上页 下页 返回 结束),(zyxzyxfz解法解法2.2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx第六节 由由d y,d z 的系数即可得的系数即可得 同理可得其他两个偏导。同理可得其他两个偏导。目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.隐函数隐函数(组组)存在定理存在定理2.隐函数隐函数(组组)求导方法求导方法方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算;方法方法2.利用微分形式不变性利用微分形式不变性;方法方法3.代公式代公式.目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P89 P89 1,2,4,5,7 1,2,4,5,7目录 上页 下页 返回 结束 解解令令那那么么,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx
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