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1、第五章 特征值问题与二次型5.1 特征值，特征向量与特征空间的特征值。为则称非零解，有即，若和数对于方阵 0 AxAExAxA特征值的特征空间。属于特征值的，叫做记为的解空间，的特征值，是若 0 AVxAEA特征空间 的特征向量。属于特征值的中的非零向量叫做的特征值，则是若AVA特征向量特征多项式的特征多项式。叫做次多项式的是关于则阶方阵，是若 ,AnAEnA命题 1 的根。是特征多项式的特征值当且仅当是方阵 00AEA典型例题84211A：例题。和，的特征值为，特征多项式为 0 7 7842121AAE 41 0 1,111。的一组基得，解VxAE 12 0 2,122。的一组基得，解VxA
2、E2111211122A：例题。和的特征值为，特征多项式为 4 ,1 41211121112212AAE。和的一组基得，解 101 011 0 1,21,111VxAE。的一组基得，解111 0 2,122VxAE0001000103A：例题。仅有一个特征值，特征多项式为 0 00100113AAE 001 0 1,111。的一组基得，解VxAE01104A：例题没有特征值。在实数域内，特征多项式为 1112AAE。，试求的特征向量，这里是：若例题kAAkT 211121112 11 52 ,1021322113322311211121112kkkkkkkkkkkkk或解答：。，试求和相应的特
3、征向量分别为，且和有三个特征值若：例题 221 ,122,212 1 ,0,1 632132133AATTT 1321321321000000PPAPAPA解答：0222102013121222112220220110221222112210000000121222112211A。计算，令，和相应的特征向量分别为且，和有三个特征值若：例题 111 110 011101 3,2,1 732132133nTTTA,AnnnnnjnjjnjjjAAA3132212121321解答：的特征值。是且，则，可逆且的特征值，是若不可逆当且仅当的特征值是，证明给定方阵：例题 0 (2);0 (1)811AAAAAA复域上的特征值问题看成复矩阵把例题 0110:A。和特征值为特征多项式为 1212iiiiAE。的一组基得，解 1 0 1,111iVzAE。的一组基得，解 1 0 1,222iVzAEiiA01练习命题AATr,nAnnn212121 (2)(1),则，为包括重根其特征值阶复矩阵，是若推论 其特征值都不为零。方阵可逆当且仅当
几何代数：5-1特征值问题与二次型
