高等数学课件：14-3第二类曲面积分

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1、第二类曲面积分第三节 第十四十四章 一、第二类曲面积分的概念及性质一、第二类曲面积分的概念及性质二、两类曲面积分的联系二、两类曲面积分的联系 三、第二类曲面积分的计算法三、第二类曲面积分的计算法一、第二类曲面积分的概念及性质一、第二类曲面积分的概念及性质观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧也随之连续改变方向也随之连续改变方向.若当点若当点P不越过不越过 的边的边界回到出发的位置时，界回到出发的位置时，双侧曲面双侧曲面:处处的的法法向向量量，取取定定点点PP Pn 则当点则当点的一个指向的一个指向,

2、n上连续移动时，上连续移动时，在在 的的指指向向不不变变，则则称称n 是是双侧曲面双侧曲面.典型双侧曲面典型双侧曲面为为称称 单侧曲面单侧曲面.否则，否则，1.曲面的分类曲面的分类莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:对于双侧曲面，其对于双侧曲面，其侧侧可用曲面可用曲面法向量的指向法向量的指向决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.来确定来确定.闭闭曲曲面面的的侧侧)1(为为闭闭曲曲面面设设 内内侧侧：外外侧侧：.的的外外面面指指向向法法向向量量 n的的里里面面；指指向向法法向向量量 n非非闭闭曲曲面面的的侧侧)2(2.曲面的侧与有向曲面曲面的侧与有向曲面上上、下下侧侧)

3、1),(yxzz ：若若),(:zn 轴轴上上侧侧);(0cos,P 为为锐锐角角),(:zn 轴轴下下侧侧).(0cos,P 为钝角为钝角yxzO左左、右右侧侧)2),(zxyy ：若若),(:yn 轴轴右右侧侧);(0cos,P 为为锐锐角角yxzO),(:yn 轴轴左左侧侧).(0cos,P 为为钝钝角角前前、后后侧侧)3),(zyxx ：若若),(:xn 轴轴前前侧侧);(0cos,P 为为锐锐角角(后后)(钝钝)(.0cos00cos)(0cos)()(时时当当时时当当时时当当Sxyxyxy3.有向曲面的投影有向曲面的投影面面上上的的在在xOyS 在有向曲面在有向曲面上取一小块曲面上

4、取一小块曲面S,为为的的投投影影xyS)(,)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 轴正向轴正向为法向量与为法向量与 z的夹角的夹角.类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的类似可以给出有向曲面在其它坐标面上的投影投影.注意注意:投影有正负之分投影有正负之分.4.引例引例 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量设设稳定流动稳定流动的的不可压缩不可压缩流体的速度场为流体的速度场为求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量.),(),(),(zyxRzyxQzyxPv (假定密度为假定密度为1)(1)若若 是面积为是面积为S 的平面域的平面域,单位法向量：单位法向量：流速为

5、流速为常向量常向量v则单位时间内流量为则单位时间内流量为注注.无无关关：与与tv稳定流动；稳定流动；=常数：常数：不可压缩流体不可压缩流体.SvnenecosvS nevS 斜柱体的体积：斜柱体的体积：(2)若若 为为有向曲面有向曲面 ,),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 流速：流速：iv“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”iniSevi i i ni 10lim Svneine),(iii Szyxezyxvnd),(),(5.定义定义 10.5 设设是分片光滑的有向曲面是分片光滑的有向曲面,向量值函数向量值函数kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),

6、(),(),(在在上有界上有界,处处上点上点是有向曲面是有向曲面),(),(zyxzyxen 的单位法向量的单位法向量,如果积分如果积分SzyxezyxFnd),(),(存在存在,则称此积分为则称此积分为在有向在有向向量值函数向量值函数),(zyxF曲面上沿指定侧的第二类曲面积分曲面上沿指定侧的第二类曲面积分,记为记为 SzyxFd),(SzyxezyxFnd),(),(注注1 第二类曲面积分的其他表达形式第二类曲面积分的其他表达形式，若记若记kjizyxencoscoscos),()(1则则),(),(zyxezyxFn kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),(Sd c

7、os),(cos),(cos),(zyxRzyxQzyxP Sd SzyxPdcos),(SzyxQdcos),(SzyxRdcos),(SzyxFd),(通常把上式三项分别记作通常把上式三项分别记作zyzyxPdd),(SzyxPdcos),(xzzyxQdd),(SzyxQdcos),(yxzyxRdd),(SzyxRdcos),(因此第二类曲面积分又记为因此第二类曲面积分又记为yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),()2(SzyxFd),(P(x,y,z)在在 上对坐上对坐标标 y,z 的曲面积分的曲面积分Q(x,y,z)在在 上对坐上对坐标标 z,x 的曲面积

8、分的曲面积分R(x,y,z)在在 上对坐上对坐标标 x,y 的曲面积分的曲面积分2 投影转换关系投影转换关系SzyxezyxFnd),(),(SzyxFd),(SzyxeSnd),(d 有向曲面元有向曲面元)dcos,dcos,dcos(SSS kjizyxen coscoscos),(同方向同方向与与ne于是于是 Szydcosdd cosdS cosdS cosdS Sxzdcosdd Syxdcosdd 3,0cos 则则轴轴的的柱柱面面时时，为为母母线线平平行行于于若若z从从而而必必有有,0cosddd Syx0dd),(yxzyxR如：如：)(:222azhayx 0dd yxz但注

9、意：但注意：0d Sz；表表示示封封闭闭曲曲面面上上的的积积分分记记号号 56.dddddd yxRxzQzyP4 存在性：存在性：上上在分片光滑的有向曲面在分片光滑的有向曲面若若),(zyxF连续，则连续，则.d),(存在存在 SzyxF指指定定侧侧流流向向通通过过以以流流速速nRQPv ),(流体的流量为流体的流量为:6.性质性质线性性质：线性性质：)1(SFSFSFFddd2121可加性：可加性：)2(的的和和拼接而成，并且拼接而成，并且和和由由2121,侧一致侧一致,则则 SFSFSFddd21(3)有向性有向性:用用 表示表示 与与 取相反侧的取相反侧的 有向曲面有向曲面,SFSFd

10、d则则研究第二类曲面积分研究第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.1R ，二、两类曲面积分之间的联系二、两类曲面积分之间的联系由第二类曲面积分的定义可知，由第二类曲面积分的定义可知，yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),(SzyxRzyxQzyxPdcos),(cos),(cos),(SzyxFd),(SzyxezyxFnd),(),(即即.),()cos,cos,(cos),(处处的的单单位位法法向向量量上上点点是是有有向向曲曲面面其其中中zyxzyxen 例例1计算计算 xzyzyxfzyxzyxfIdd),(2dd),(yxzzyxfdd),

11、(1 zyxf是是平平面面为为连连续续函函数数，其其中中.在在第第四四卦卦限限部部分分的的上上侧侧解解的的法法向向量量：1,1,1 n31,31,31 ne单单位位法法向向量量：上侧上侧+31cos,31coscos xyzO Szfyfxfd31)()31()2(31)(SRQPId)coscoscos(Szyxd)(31 Sd131212622131 n)1,0,0()0,0,1()0,1,0(1 zyx三、第二类曲面积分的计算法三、第二类曲面积分的计算法情形情形1.设设:),(yxzz 上上侧，侧，xOy面上的投影区域为面上的投影区域为,xyDxyDyxzz在在),(上具有一阶连续偏导数

12、上具有一阶连续偏导数，.),(上连续上连续在在 zyxR 在在的单位法向量为的单位法向量为曲面曲面),(yxzz 22222211,1,1yxyxyyxxnzzzzzzzze2211cosyxzz 取曲面的取曲面的上上侧侧 SzyxRyxzyxRdcos),(dd),(根据第一类曲面积分的计算方法根据第一类曲面积分的计算方法 xyDyxyxyxzzzzyxzyxRdd111),(,2222 xyDyxyxzyxRdd),(,若有向曲面若有向曲面 取取下下侧时，类似可得侧时，类似可得 yxzyxRdd),(xyDyxyxzyxRdd),(,+上侧上侧为为正正，下侧，下侧为为负负.前前侧侧,),(

13、),(:yzDzyzyxx yzDzyzyzyxPzyzyxPdd,),(dd),(.2情情形形(后后)右右侧侧,),(),(:zxDxzxzyy zxDxzzxzyxQxzzyxQdd),(,dd),(注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.(左左).3情情形形注注的的区区别别及及联联系系曲曲面面积积分分与与对对坐坐标标的的二二重重积积分分 yxyxfyxyxfDdd),(dd),(区别：区别：:dd),(Dyxyxf元元素素：上上的的有有界界闭闭区区域域，面面积积面面是是与与方方向向无无关关，xoyD0ddd yx联系：联系：为为上上侧侧时时，

14、由由定定义义知知当当 Dyxyxfyxyxfdd),(dd),(下下)-.:面上的投影区域面上的投影区域在在xoyD :dd),(yxyxf有有向向曲曲面面，投投影影：是是空空间间的的方方向向有有关关，与与 .0cos00cos,d0cos,ddd 时时当当时时当当时时当当 yx ,ddyxxyz计算计算例例2其中其中是球面是球面的部分。的部分。外侧在外侧在0,01222 yxzyx解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:221yxz ,1:222yxz 12ddddddyxxyzyxxyzyxxyz xyxyDDyxyxxyyxyxxydd)1(dd12222 xyDyxyxxydd12

15、22.152dd1cossin222 xyD 对第二类曲面积分如何利用积分区域及被积函数对第二类曲面积分如何利用积分区域及被积函数的对称性？的对称性？思考思考:下述解法是否正确下述解法是否正确:根据对称性根据对称性0ddyxxyz注注),(zyxR是光滑的有向曲面，是光滑的有向曲面，设设 面面及及其其侧侧关关于于若若上上连连续续在在xOy .对对称称，则则 ),(),(,dd),(2),(),(,0dd),(1zyxRzyxRyxzyxRzyxRzyxRyxzyxR.0:1部部分分在在 z所截部分的外侧所截部分的外侧被平面被平面锥面锥面为为其中其中计算计算2,1,dddddd222 zzyxz

16、yxzxzxzyyID 例例3 解解 yoz 坐标面上的投影均为坐标面上的投影均为,21,:zyzDyz分为前后两片曲面，在分为前后两片曲面，在0dd zyy被积函数对变量被积函数对变量x是偶函数是偶函数0dd xzx同理同理,41:22 yxDxy xyDyxyxId)d(22 21220dd .215 例例4计算计算 yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中其中 是以原点为中心是以原点为中心,边长为边长为 a的正立方的正立方体的整个表面的体的整个表面的外侧外侧.解解 利用对称性利用对称性原式原式 yxxzdd)(3 的顶部的顶部),(:2221aaayxz 取上侧取上侧 的底部

17、的底部),(:2222aaayxz 取下侧取下侧 1dd)(3yxxz yxDyxxadd)2(3 yxxz 2dd)(yxxayxD dd)2(yxDyxadd333axzy计算曲面积分计算曲面积分 yxzzyxzdddd)(2.20)(2122之间的部分的下侧之间的部分的下侧及及于平面于平面介介旋转抛物面旋转抛物面是是其中其中 zzyxz解解将原式分为二式将原式分为二式 yxzzyxzdddd)(2讨论第一式讨论第一式 Sxzzyxzdcos)(dd)(22代入上式代入上式将将 ddcos1dyxS oyxz2例例5将将yz型积分转型积分转化为化为xy型积分型积分yxxzddcoscos)

18、(2 zyxzdd)(2,1cos22yxx ,11cos22yx yxzzyxzdddd)(2 yxzxxzdd)(2yxyxxxyxxyDdd)(21)()(4122222 0dd)(41 222 xyDyxyxx由对称性知由对称性知x coscosyxyxxxyxxyDdd)(21)()(4122222 0dd)(41 222 xyDyxyxx由对称性知由对称性知yxyxxxyDdd )(21222 原式原式8d)21cos(d 2202022 rrrr位于原点电量为位于原点电量为 q q 的点电荷产生的电场为的点电荷产生的电场为解解Srqd2 SRq d2q4。q)(),(22233z

19、yxrzyxrqrrqE 求求E 通过球面通过球面 :r=R 外侧的电通量外侧的电通量 .SE d SnEdSrrd rrq3例例6向量点积法向量点积法 ,1,),(:yxffyxfz 法法向向量量为为设设 RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1,dSnA0.1,dxdyffRQPxoyyxDxy 面投影面投影在在将将思考与练习思考与练习所截部分的外侧所截部分的外侧被平面被平面锥面锥面为为其中其中计算计算2,1,dddddd222 zzyxzyxzxzxzyyI例例3 D 解法解法2 2,22yxxfx ,22yxyfy SyxyyxxzxyId1,22222 dS1,222

20、22 yxyyxxzxyI dSz2 xyDdxdyyx)(2241:22 yxDxy 21220rdrrd.215 ,),(Czyxf设设是平面是平面1 zyx在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧 ,计算计算 zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2 yxzzyxfdd),(解解求出求出 的法方向余弦的法方向余弦,转化成对转化成对 xy 的曲面积分的曲面积分备用题备用题 1.,31cos ,31cos 31cos xyoz111 ,31cos ,31cos 31cos yzyxfxzyxfIcoscos),(2coscos),(yxzzyxfdd),()1(),(21),(y

21、zyxfxzyxfyxzzyxfdd),(yxzyxdd)(yxdd21，xyDyxyxRyxyxzyxdd dd2222222解解的的下下半半部部分分的的下下侧侧。是是球球面面其其中中计计算算222222,ddRzyxyxzyx ,222yxR ：222,RyxyxDxy ：RR20022422ddcossin可用极坐标计算可用极坐标计算例例3-1 RR2002242dd2sin41 RR20022422ddcossin tttRtRtRR200442dcossincossind4cos181Rsint 令令 20257dcossin82tttR 20257dsin1sin4tttR)325

22、4763254(47 R71052R 面面上上方方的的部部分分的的上上侧侧。在在是是抛抛物物面面计计算算xOyyxzyxydzdxI228,dd2 解法解法1:,ddcoscosdcoscoscosdcosddyxSSxz ,44122212cos2222yxyyxy 所所以以法法线线向向量量,1,2,2yxn ,44112211cos2222yxyx 例例5-1 yxyyxxzdd2ddcoscosdd yxyyxxzyIdd12dd2dd2 xyDyxydd122 ,8,:22 yxyxDxy,4412cos22yxy ,4411cos22yx dd20220221sin2 20202d8

23、212dsin4642 dd20220221sin21632 48 解法解法2,dd1 xzyI令令，左左侧侧：)(,822zxy ，右右侧侧：)(821zxy ,2222,80,2 xxzzxDzx 21dd1xzyI zxzxDDxzzxxzzxdd8dd822 zxDxzzxdd822 2222802282xdzzxdx 222232834dxx 22032838dxx zxDxzzxdd822ttxtxdcos22d,sin22 令令 2033dcos22cos2238ttt 204cos6438 tdt221436438 32 yxIdd22 xyDyxdd2 ，8,22 yxyxDxy 2222 16 21dd2IIyxydzdx 481632