高等数学课件：9-2一阶微分方程

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1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 9.2 一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程 三、一阶线性微分方程 二、齐次微分方程 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式是F(x,y,y)0 一阶微分方程的通解含有一个任意常数 为了确定这个任意常数 必须给出一个初始条件 通常都是给出xx0时未知函数对应的值yy0 记作 y(x0)y0或00|yyxx 一阶微分方程的初值问题为:;)(),(00yxyyxfy或.),(00yyyxfyxx首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 一、可分离变量的一阶微分方程 如果方程F(x,y,y)0能写

2、成形如 的形式 则方程F(x,y,y)0称为可分离变量的微分方程 形如 g(y)dyf(x)dx的一阶微分方程称为变量已分离的微分方程可分离变量的微分方程 d()()dyf x g yx 或 M1(x)M2(y)dxN1(x)N2(y)dy ,d)()(dxxfygyyyMyNxxNxMd)()(d)()(2211首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 方程的解法 (1)分离变量 g(y)dyf(x)dx (2)两边同时积分 一、可分离变量的一阶微分方程 其中C是任意常数 这就是可分离变量微分方程的通解 如果方程F(x,y,y)0能写成形如 的形式 则方程F(x,y,y)0称为可分离变

3、量的微分方程 可分离变量的微分方程 d()()dyf x g yx 或 M1(x)M2(y)dxN1(x)N2(y)dy ()d()dg yyf xx C 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 分离变量得 解 为简便,此类积分可不写绝对值号,两边积分得 ln ylnxlnC 这就是所给微分方程的通解 例 1 求微分方程ddyyxx的通解 ddyxyx 即 xyC 或Cyx(C 为任意常数)两边积分得,lnln1Cxy即1Cexy 或.e1Cxy得方程的通解为记,1CeC.Cxy 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 221122yxC(C 为任意常数)解 分离变量得两边积分

4、得 ydyxdx 令2Cr2(r为任意常数)则上式写成 x2y2r2 这就是所给微分方程的通解 例 2 求微分方程ddyxxy的通解 几何意义:圆心在原点半径为任意实数的同心圆簇.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 求方程求方程)1(122xxyyy 满足满足2)1(y的特解的特解.解解例例3xxxyyyd)1(1d122 分离变量，两边积分)1ln(212y 222d)1(121xxx 222d)111(21xxxCxxln211ln2122 通解为 ,11222xxCy 将将2)1(y代代入入得得 10 C，所求特解为.1101222xxy 首页上一页下一页结束微积分 (第三版

5、)教学课件 (xyy2)dx(x22xy)dy0 22ddyyxxyx d()dyyfxx 二、齐次微分方程 如果方程F(x,y,y)0能写成形如 的形式 则方程F(x,y,y)0称为齐次微分方程 齐次微分方程 齐次微分方程举例 22ddyyxxyx 2()dd1yyxxyx (xyy2)dx(x22xy)dy0 222()dd21 2yyyxyyxxxyxxyx 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 第三步 两端积分 得dd()uxCf uux 齐次方程的解法 解齐次方程d()dyyfxx的过程是 第一步 作变换yux 将方程化为d()duuxf ux 第二步 分离变量 得dd()

6、uxf uux 第四步 作逆变换yx代替 u uxuxxyxuydddd首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 22()dd()xuuuxxx xux 即 1d(1)dxuux 例 4 求微分方程22ddyyxxyx的通解 提示 解 这是一个齐次方程分离变量 得 ulnulnxC1两边积分 得 或 uln(xu)C1 令yux 则原方程变为 方程可化为2()dd1yyxxyx 这是一个齐次方程 22()dd()xuuuxxx xux 即dd1uuxxu 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 1ln()yyCx 或以yx代上式中的 u 便得所给方程的通解 22()dd()xuu

7、uxxx xux 即 1d(1)dxuux 例 4 求微分方程22ddyyxxyx的通解 解 这是一个齐次方程分离变量 得 ulnulnxC1两边积分 得 或 uln(xu)C1 令yux 则原方程变为 22()dd()xuuuxxx xux 即dd1uuxxu 代上式中的 u 便得所给方程的通解 1ln()yyCx 或eyxyC 其中1ecC是任意常数 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例例5解解作作变变量量代代换换 xyu,xuy ,ddddxuxuxyxxueud1d 即两边积分 得 ,lnCxeu即).lnln(Cxu将 代入上式,得xyu).lnln(Cxxy故C=1,

8、从而所求特解为.1ln),ln1ln(xexxyxy或首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 两边积分 得ln()dlnyp xxC(C 为任意常数)分离变量 得d()dyp xxy 三、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 形如yp(x)yq(x)的方程称为一阶线性微分方程 方程yp(x)y0称为一阶线性齐次方程 方程)0/)()()(xqxqyxpy称为一阶线性非齐次方程 一阶线性齐次方程的解法 一阶线性齐次微分方程yp(x)y0是可分离变量的方程 解出 y 得通解()dep xxyC 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 ()d()ep xxy u x 一阶线性非齐次方程

9、的解法(常数变易法)设一阶线性非齐次微分方程yp(x)yq(x)的通解为 于是一阶线性非齐次微分方程的通解为 微分方程 yp(x)y0 的通解为()dep xxyC 将()d()ep xxy u x代入方程 yp(x)yq(x)得 ()d()d()d()e()()e()()e()p xxp xxp xxu xu x p xp x u xq x ()d()()ep xxu xq x()d()()ep xxu xq x()d()()edp xxu xq xx C ()d()de()edp xxp xxyq xx C (C 为任意常数)首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例 5 求一阶线

10、性微分方程32(1)1yyxx的通解 解 这里先解齐次方程,012ddyxxy分离变量,得,1d2dxxyy积分后得.)1(2xCy令则,)1)(2xxuy).1)(2)1)(2xxuxxuy把上式代入要解的非齐次方程后得,1)(xxu积分后得,)1(21)(2Cxxu于是原方程的通解为Cxxy22)1(21)1(24)1()1(21xCx本题也可直接代通解公式来解.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 232(1)(1)(1)dxxxx C 22()d()d311e(1)edxxxxxx C 例 5 求一阶线性微分方程32(1)1yyxx的通解 方程 yp(x)yq(x)的通解为(

11、)d()de()edp xxp xxyq xx C 解 这里 ()d()de()edp xxp xxyq xx C 221(1)(1)2xxC 解 这里2()1p xx q(x)(x1)3 由通解公式 q(x)(x1)3 由通解公式 de)1(e)1ln(23)1ln(2Cxxxx首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 11dd2eedyyyyyy C ()d()de()edp yyp yyxq yy C 这是一阶线性非齐次微分方程 其中1()P yy q(y)y2 2d1dxxyyy 解 提示 例6 求微分方程ydx(xy3)dy0(y0)的通解 将原方程改写为 由通解公式得 原方程

12、可改写为3d0dyyxxy 但这不是线性微分方程 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 2411 1d4yyy cyCyy 或 4xyy4C1(C14C为任意常数)11dd2eedyyyyyy C ()d()de()edp yyp yyxq yy C 这是一阶线性非齐次微分方程 其中1()P yy q(y)y2 2d1dxxyyy 解1 将原方程改写为 由通解公式得 例6 求微分方程ydx(xy3)dy0(y0)的通解 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 或 4xyy4C1(C14C为任意常数)这是一阶线性非齐次微分方程 其中1()P yy q(y)y2 2d1dxxyyy 解2 将原方程改写为 例6 求微分方程ydx(xy3)dy0(y0)的通解.0ddyxyx先解对应的齐次方程,ddyyxx,ddyyxx,lnlnlnCyx.yCx 则令,)(yyux,)()()()(dd22yyuyyuyyuyyuyx.)(2yyyu得.41)(4Cyyu.41,4Cyxy方程的解为因此作业:p.410 2(1)(4)(7);3(3)(6)4(1)(4)(7)