8.4直线平面平行的判定及性质

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1、 8.4 8.4 直线、平面平行的判定直线、平面平行的判定 及性质及性质要点梳理要点梳理1.1.直线直线a a和平面和平面的位置关系有的位置关系有 、,其中其中 与与 统称直线在平面外统称直线在平面外.2.2.直线和平面平行的判定：直线和平面平行的判定：(1)(1)定义：定义：；(2)(2)判定定理：判定定理：a a,b b,且且a ab b ；(3)(3)其他判定方法：其他判定方法：,a a .平行平行相交相交在平面内在平面内直线和平面没有公共点，则称直线平直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面行于平面a aa a平行平行相交相交基础知识基础知识 自主学习自主学习3.3.直线和平面平行的性

2、质定理：直线和平面平行的性质定理：a a,a a ,=l l .4.4.两个平面的位置关系有两个平面的位置关系有 、.5.5.两个平面平行的判定两个平面平行的判定 (1)(1)定义：定义：；(2)(2)判定定理：判定定理：a a,b b,a ab b=M M，a a,b b ；(3)(3)推论：推论：a ab b=M M,a a,b b,a ab b=M M,a a,b b,a aa a,b bb b .a al l平行平行相交相交两个平面没有公共点，称这两个平面两个平面没有公共点，称这两个平面平行平行6.6.两个平面平行的性质定理：两个平面平行的性质定理：(1)(1),a a ;(2)(2)

3、,=a a,=b b .7.7.与垂直相关的平行的判定：与垂直相关的平行的判定：（1 1）a a，b b ；（2 2）a a，a a .a aa ab ba ab b基础自测基础自测1.1.若平面若平面平面平面，直线，直线a a平面平面，点，点B B,则在平面则在平面内且过内且过B B点的所有直线中点的所有直线中()()A.A.不一定存在与不一定存在与a a平行的直线平行的直线 B.B.只有两条与只有两条与a a平行的直线平行的直线 C.C.存在无数条与存在无数条与a a平行的直线平行的直线 D.D.存在唯一与存在唯一与a a平行的直线平行的直线 解析解析 当直线当直线a a在平面在平面内且经

4、过内且经过B B点时，可使点时，可使 a a平面平面，但这时在平面，但这时在平面内过内过B B点的所有直点的所有直 线中，不存在与线中，不存在与a a平行的直线，而在其他情况平行的直线，而在其他情况 下，都可以存在与下，都可以存在与a a平行的直线，故选平行的直线，故选A.A.A2.2.下列条件中，能判断两个平面平行的是下列条件中，能判断两个平面平行的是()()A.A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B.B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面一个平面内有无数条直线平行

5、于另一个平面 D.D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析解析 由面面平行的判定定理易由面面平行的判定定理易 知选知选D.AD.A、B B、C C中的两个平面可中的两个平面可 能相交，如图所示能相交，如图所示.D3.3.平面平面平面平面的一个充分条件是的一个充分条件是()()A.A.存在一条直线存在一条直线a a,a a,a a B.B.存在一条直线存在一条直线a a,a a,a a C.C.存在两条平行直线存在两条平行直线a a,b b,a a,b b,a a,b b D.D.存在两条异面直线存在两条异面直线a a,b b,a a,b b,a

6、 a,b b 解析解析 A A、B B、C C中中与与都有可能相交，故选都有可能相交，故选D.D.D4.4.下列命题中正确的个数是下列命题中正确的个数是 ()()若直线若直线a a不在不在内，则内，则a a;若直线若直线l l上有无数个点不在平面上有无数个点不在平面内内,则则l l；若直线若直线l l与平面与平面平行，则平行，则l l与与内的任意一条内的任意一条 直线都平行；直线都平行；如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那 么另一条也与这个平面平行；么另一条也与这个平面平行；若若l l与平面与平面平行，则平行，则l l与与内任何一条直线都内任何一条直

7、线都 没有公共点；没有公共点；平行于同一平面的两直线可以相交平行于同一平面的两直线可以相交.A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4解析解析 a a=A A时，时，a a,错；错；直线直线l l与与相交时，相交时，l l上有无数个点不在上有无数个点不在内，故内，故错；错；l l 时，时，内的直线与内的直线与l l平行或异面，故错；平行或异面，故错；a ab b,b b时，时，a a或或a a，故错；，故错；l l,l l与与无公共点，无公共点，l l与与内任一直线都无公内任一直线都无公共点，正确；共点，正确；长方体中长方体中A A1 1C C1 1与与B B1 1D D1

8、 1都与面都与面ABCDABCD平行，平行，正确正确.故选故选B.B.答案答案 B B5.5.考察下列三个命题，在考察下列三个命题，在“”处都缺少同处都缺少同 一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其 中中l l、m m为直线，为直线，、为平面），则此条件为平面），则此条件 为为 .解析解析 体现的是线面平行的判定定理体现的是线面平行的判定定理,缺的条缺的条 件是件是“l l为平面为平面外的直线外的直线”即即“l l”，它同，它同 样也适合，故填样也适合，故填l l.;/;/lmlmlmlm./lll题型一题型一 直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行

9、的判定与性质 如图所示如图所示,正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1 C C1 1D D1 1中，侧面对角线中，侧面对角线ABAB1 1，BCBC1 1上分别上分别 有两点有两点E E，F F，且，且B B1 1E E=C C1 1F F.求证：求证：EFEF平面平面ABCDABCD.根据直线与平面平行的判定定理或平根据直线与平面平行的判定定理或平 面与平面平行的性质定理来证明面与平面平行的性质定理来证明.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析证明证明 方法一方法一 分别过分别过E E，F F作作EMEMABAB于于M M，FNFNBCBC于于N N，连接，连接MNMN.BBBB1

10、 1平面平面ABCDABCD，BBBB1 1ABAB，BBBB1 1BCBC，EMEMBBBB1 1，FNFNBBBB1 1，EMEMFNFN.又又B B1 1E E=C C1 1F F，EMEM=FNFN，故四边形故四边形MNFEMNFE是平行四边形，是平行四边形，EFEFMNMN.又又MNMN平面平面ABCDABCD，EFEF平面平面ABCDABCD，所以所以EFEF平面平面ABCDABCD.方法二方法二 过过E E作作EGEGABAB交交BBBB1 1于于G G，连接连接GFGF，则，则B B1 1E E=C C1 1F F，B B1 1A A=C C1 1B B，FGFGB B1 1C

11、 C1 1BCBC，又又EGEGFGFG=G G，ABABBCBC=B B，平面平面EFGEFG平面平面ABCDABCD，而，而EFEF平面平面EFGEFG，EFEF平面平面ABCDABCD.判断或证明线面平行的常用方法有：判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义（无公共点）；利用线利用线面平行的定义（无公共点）；利用线面平行的判定定理面平行的判定定理(a a,b b,a ab ba a)；利用面面平行的性质定理利用面面平行的性质定理(,a aa a)；利用面面平行的性质（利用面面平行的性质（,a a,a a,a aa a).).,1111BBGBABEB,1111BBGBBCFC知

12、能迁移知能迁移1 1 如图所示，已知如图所示，已知S S是正三角是正三角 形形ABCABC所在平面外的一点，且所在平面外的一点，且SASA=SBSB=SCSC，SGSG为为SABSAB上的高，上的高，D D、E E、F F分分 别是别是ACAC、BCBC、SCSC的中点，试判断的中点，试判断SGSG 与平面与平面DEFDEF的位置关系，并给予证明的位置关系，并给予证明.解解 SGSG平面平面DEFDEF，证明如下：，证明如下：方法一方法一 连接连接CGCG交交DEDE于点于点H H，连接，连接FHFH，如图所示如图所示.DEDE是是ABCABC的中位线，的中位线，DEDEABAB.在在ACGA

13、CG中，中，D D是是ACAC的中点，的中点，且且DHDHAGAG.H H为为CGCG的中点的中点.FHFH是是SCGSCG的中位线，的中位线，FHFHSGSG.又又SGSG平面平面DEFDEF，FHFH平面平面DEFDEF，SGSG平面平面DEFDEF.方法二方法二 EFEF为为SBCSBC的中位线，的中位线，EFEFSBSB.EFEF平面平面SABSAB，SBSB平面平面SABSAB，EFEF平面平面SABSAB.同理可证，同理可证，DFDF平面平面SABSAB，EFEFDFDF=F F，平面平面SABSAB平面平面DEFDEF，又，又SGSG平面平面SABSAB，SGSG平面平面DEFD

14、EF.题型二题型二 平面与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质 如图所示，三棱柱如图所示，三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1，D D是是BCBC上一点，且上一点，且A A1 1B B平平 面面ACAC1 1D D，D D1 1是是B B1 1C C1 1的中点，求证：的中点，求证：平面平面A A1 1BDBD1 1平面平面ACAC1 1D D.由面面平行的判定定理知只需证由面面平行的判定定理知只需证 BDBD1 1、A A1 1B B平行于平面平行于平面ADCADC1 1,已知已知A A1 1B B平面平面 ACAC1 1D D,则只需证则只需证BDBD1 1平

15、面平面ADCADC1 1.【例例2 2】证明证明 连接连接A A1 1C C交交ACAC1 1于点于点E E，四边形四边形A A1 1ACCACC1 1是平行四边形，是平行四边形，E E是是A A1 1C C的中点，连结的中点，连结EDED，A A1 1B B平面平面ACAC1 1D D，平面平面A A1 1BCBC平面平面ACAC1 1D D=EDED，A A1 1B BEDED，E E是是A A1 1C C的中点，的中点，D D是是BCBC的中点的中点.又又D D1 1是是B B1 1C C1 1的中点的中点.BDBD1 1C C1 1D D，又，又C C1 1D D平面平面ACAC1 1

16、D D，BDBD1 1平面平面ACAC1 1D D，又，又A A1 1B BBDBD1 1=B B，平面平面A A1 1BDBD1 1平面平面ACAC1 1D D.证明面面平行的方法有：证明面面平行的方法有：（1 1）面面平行的定义；）面面平行的定义；（2 2）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；面平行；（3 3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；（4 4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两）两个平面同时平行于第三个平

17、面，那么这两个平面平行；个平面平行；（5 5）利用）利用“线线平行线线平行”、“线面平行线面平行”、“面面平面面平行行”的相互转化的相互转化.知能迁移知能迁移2 2 如图所示，已知如图所示，已知ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱长为是棱长为3 3的正方体，点的正方体，点E E 在在AAAA1 1上，点上，点F F在在CCCC1 1上，上，G G在在BBBB1 1上，上，且且AEAE=FCFC1 1=B B1 1G G=1=1，H H是是B B1 1C C1 1的中点的中点.（1 1）求证：）求证：E E、B B、F F、D D1 1四点共面；四点共面；（2

18、2）求证：平面）求证：平面A A1 1GHGH平面平面BEDBED1 1F F.证明证明 （1 1）连结）连结FGFG.AEAE=B B1 1G G=1=1，BGBG=A A1 1E E=2=2，BG ABG A1 1E E，A A1 1G GBEBE.又又C C1 1F BF B1 1G G，四边形四边形C C1 1FGBFGB1 1是平行四边形，是平行四边形，FGFG C C1 1B B1 1 D D1 1A A1 1，四边形四边形A A1 1GFDGFD1 1是平行四边形是平行四边形.A A1 1G DG D1 1F F，D D1 1F EBF EB，故故E E、B B、F F、D D1

19、 1四点共面四点共面.（2 2）H H是是B B1 1C C1 1的中点，的中点，B B1 1H H=.=.且且FCBFCB=GBGB1 1H H=90=90，B B1 1HGHGCBFCBF，B B1 1GHGH=CFBCFB=FBGFBG，HGHGFBFB.又由（又由（1 1）知，）知，A A1 1G GBEBE，且且HGHGA A1 1G G=G G，FBFBBEBE=B B，平面平面A A1 1GHGH平面平面BEDBED1 1F F.23.32,1111HBGBGB又,32BCFC又题型三题型三 线面、面面平行的综合应用线面、面面平行的综合应用 （1212分）如图所示，平面分）如图所

20、示，平面 平面平面,点点A A,C C,点点B B，D D,点点E E,F F分别在线段分别在线段ABAB,CDCD上，上，且且AEAEEBEB=CFCFFDFD.（1 1）求证：）求证：EFEF;（2 2）若）若E E，F F分别是分别是ABAB，CDCD的中点，的中点，ACAC=4=4，BDBD=6=6，且，且ACAC，BDBD所成的角为所成的角为6060，求，求EFEF的长的长.将异面问题转化为平面问题，通常是将异面问题转化为平面问题，通常是 构造平行线或构造三角形构造平行线或构造三角形.（1 1）证明证明 当当ABAB，CDCD在同一平面内时，在同一平面内时，由由，平面，平面平面平面A

21、BDCABDC=ACAC，平面平面平面平面ABDCABDC=BDBD，ACACBDBD，2 2分分AEAEEBEB=CFCFFDFD，EFEFBDBD，又又EFEF,BDBD,EFEF.4.4分分当当ABAB与与CDCD异面时，异面时，设平面设平面ACDACD=DHDH，且，且DHDH=ACAC.，平面平面ACDHACDH=ACAC，ACACDHDH，四边形四边形ACDHACDH是平行四边形，是平行四边形，6 6分分在在AHAH上取一点上取一点G G，使，使AGAGGHGH=CFCFFDFD，又又AEAEEBEB=CFCFFDFD，GFGFHDHD，EGEGBHBH，又又EGEGGFGF=G

22、G，平面平面EFGEFG平面平面.EFEF平面平面EFGEFG，EFEF.综上，综上，EFEF.8.8分分（2 2）解解 如图所示，连接如图所示，连接ADAD，取，取ADAD的中点的中点M M，连，连接接MEME，MFMF.E E，F F分别为分别为ABAB，CDCD的中点，的中点，MEMEBDBD，MFMFACAC，EMFEMF为为ACAC与与BDBD所成的角（或其补角），所成的角（或其补角），EMFEMF=60=60或或120120，1010分分,221,321ACMFBDME且在在EFMEFM中由余弦定理得，中由余弦定理得，面面平行的性质定理的应用问题，往面面平行的性质定理的应用问题，往

23、往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合应用的综合应用.解题时，要准确地找到解题的切入解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种点，灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种平行关系之间的相互转化平行关系之间的相互转化.197,6132123223cos22222EFEFEMFMFMEMFMEEF或即1212分分知能迁移知能迁移3 3 如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E、F F、G G、H H分别是分别是 BCBC、CCCC1 1、C C

24、1 1D D1 1、A A1 1A A的中点的中点.求证：求证：（1 1）BFBFHDHD1 1；（2 2）EGEG平面平面BBBB1 1D D1 1D D；（3 3）平面）平面BDFBDF平面平面B B1 1D D1 1H H.证明证明 （1 1）如图所示，取）如图所示，取BBBB1 1的中点的中点M M，易证四边形易证四边形HMCHMC1 1D D1 1是平行四边形，是平行四边形，HDHD1 1MCMC1 1.又又MCMC1 1BFBF，BFBFHDHD1 1.（2 2）取）取BDBD的中点的中点O O，连接，连接EOEO，D D1 1O O，则则OEOE DCDC，又又D D1 1G G

25、 DCDC，OE DOE D1 1G G，四边形四边形OEGDOEGD1 1是平行四边形，是平行四边形，GEGED D1 1O O.又又D D1 1O O 平面平面BBBB1 1D D1 1D D，EGEG平面平面BBBB1 1D D1 1D D.（3 3）由（）由（1 1）知）知D D1 1H HBFBF，又又BDBDB B1 1D D1 1，B B1 1D D1 1、HDHD1 1 平面平面HBHB1 1D D1 1，BFBF、BDBD 平面平面BDFBDF，且且B B1 1D D1 1HDHD1 1=D D1 1，DBDBBFBF=B B，平面平面BDFBDF平面平面B B1 1D D1

26、 1H H.方法与技巧方法与技巧1.1.平行问题的转化关系平行问题的转化关系2.2.直线与平面平行的重要判定方法直线与平面平行的重要判定方法 （1 1）定义法；（）定义法；（2 2）判定定理；（）判定定理；（3 3）面与面平）面与面平 行的性质行的性质.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.平面与平面平行的主要判定方法平面与平面平行的主要判定方法 （1 1）定义；（）定义；（2 2）判定定理；（）判定定理；（3 3）推论；）推论；（4 4）a a,a a.失误与防范失误与防范1.1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平在推证线面平行时，一定要强调直线不在平 面内，否则，会出现错误面内，否

27、则，会出现错误.2.2.可以考虑向量的工具性作用，能用向量解决的可以考虑向量的工具性作用，能用向量解决的 尽可能应用向量解决，可使问题简化尽可能应用向量解决，可使问题简化.一、选择题一、选择题1.1.给出下列关于互不相同的直线给出下列关于互不相同的直线l l、m m、n n和平面和平面、的三个命题的三个命题:若若l l与与m m为异面直线，为异面直线，l l,m m,则则；若若，l l,m m,则则l lm m;若若=l l,=m m,=n n,l l,则则m mn n.其中真命题的个数为其中真命题的个数为()()A.3 B.2 C.1 D.0 A.3 B.2 C.1 D.0定时检测定时检测解

28、析解析 中当中当与与不平行时，也能存在符合题不平行时，也能存在符合题意的意的l l、m m.中中l l与与m m也可能异面也可能异面.同理同理l ln n,则则m mn n,正确正确.答案答案 C C,/mlmll中2.2.一条直线一条直线l l上有相异三个点上有相异三个点A A、B B、C C到平面到平面的距的距 离相等，那么直线离相等，那么直线l l与平面与平面的位置关系是的位置关系是()()A.A.l l B.B.l l C.C.l l与与相交但不垂直相交但不垂直 D.D.l l或或l l 解析解析 l l时，直线时，直线l l上任意点到上任意点到的距离都的距离都 相等，相等，l l时，

29、直线时，直线l l上所有的点到上所有的点到的距离都的距离都 是是0 0，l l时，直线时，直线l l上有两个点到上有两个点到距离相等，距离相等，l l与与斜交时，也只能有两点到斜交时，也只能有两点到距离相等，距离相等，故选故选D.D.D3.3.已知直线已知直线m m,n n及平面及平面，其中，其中m mn n,那么在平面那么在平面内内 到两条直线到两条直线m m,n n距离相等的点的集合可能是一条距离相等的点的集合可能是一条 直线；一个平面；一个点；空集直线；一个平面；一个点；空集.其中正确的其中正确的 是是()()A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 当当m m,n n都在都在内时，是一

30、条直线内时，是一条直线.当当m m,n n分别在分别在的两侧都平行于的两侧都平行于且到且到的距离的距离 相等时，是一个平面相等时，是一个平面.当当m m,n n都平行于都平行于，但到，但到的距离不相等时，是的距离不相等时，是 空集，任何时候都不可能只有一个点满足条件空集，任何时候都不可能只有一个点满足条件.C4.4.（20092009福建，理福建，理7 7文文1010）设设m m,n n是平面是平面内的内的 两条不同直线两条不同直线,l l1 1,l l2 2是平面是平面内的两条相交直内的两条相交直 线，则线，则的一个充分而不必要条件是的一个充分而不必要条件是()()A.A.m m且且l l1

31、 1 B.B.m ml l1 1且且n nl l2 2 C.C.m m且且n n D.D.m m且且n nl l2 2 解析解析 如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABAB面面A A1 1B B1 1CDCD,CDCD面面A A1 1B B1 1BABA，但面，但面A A1 1B B1 1CDCD与面与面 A A1 1B B1 1BABA相交，故相交，故A A不正确；取不正确；取ADAD中中 点为点为E E，BCBC中点为中点为F F，则，则EFEF面面ABBABB1 1A A1 1，C C1 1D D1 1面面ABBABB1

32、 1A A1 1，但面，但面ABBABB1 1A A1 1与面与面EFCEFC1 1D D1 1不不平行平行,故故C C不对；虽然不对；虽然EFEFABAB且且C C1 1D D1 1面面A A1 1B B1 1BABA,但是面但是面EFCEFC1 1D D1 1与面与面A A1 1B B1 1BABA不平行，故不平行，故D D不正确不正确.对于选项对于选项B B，当，当l l1 1m m,l l2 2n n且且m m,n n时，时，有有l l1 1,l l2 2.又又l l1 1与与l l2 2相交且都在相交且都在内，内，时，无法推出时，无法推出m ml l1 1且且n nl l2 2.l

33、l1 1m m且且l l2 2n n是是的充分不必要条件的充分不必要条件.答案答案 B B5.5.已知平面已知平面平面平面，P P是是、外一点，过点外一点，过点P P 的直线的直线m m与与、分别交于分别交于A A、C C，过点，过点P P的直线的直线n n 与与、分别交于分别交于B B、D D且且PAPA=6,=6,ACAC=9=9，PDPD=8=8，则，则 BDBD的长为的长为 ()()A.16 B.C.14 D.20 A.16 B.C.14 D.20 解析解析 根据题意可出现以下如图两种情况：根据题意可出现以下如图两种情况：可求出可求出BDBD的长分别为的长分别为 .52424或5242

34、4或B6.6.（20082008湖南理，湖南理，5 5）设有直线设有直线m m、n n和平面和平面、.下列四个命题中，正确的是下列四个命题中，正确的是()()A.A.若若m m,n n,则则m mn n B.B.若若m m，n n,m m,n n,则则 C.C.若若，m m，则，则m m D.D.若若,m m,m m,则则m m 解析解析 若若，m m，n n，可知，可知m m,n n,但但m m与与n n可以相交，所以可以相交，所以A A不对；若不对；若m mn,n,即使有即使有m m,n n,m m,n n,与与也可也可 以相交，所以以相交，所以B B不对；若不对；若，中仍有不与中仍有不与

35、 垂直的直线，例如垂直的直线，例如与与的交线，故的交线，故C C不对；不对；若若,则在则在中可作与中可作与垂直的直线垂直的直线n n,又又 m m，则，则m mn n，又，又m m，所以，所以m m，故，故D D正确正确.D二、填空题二、填空题7.7.过长方体过长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的任意两条棱的中点作直的任意两条棱的中点作直 线，其中能够与平面线，其中能够与平面ACCACC1 1A A1 1平行的直线有平行的直线有 条条.解析解析 如图所示，与如图所示，与ACAC平行的直平行的直 线有线有4 4条，与条，与AAAA1 1平行的直线有平行的直线有

36、4 4条条,连接连接MNMN，则，则MNMN面面ACCACC1 1A A1 1，这样的直线也有这样的直线也有4 4条（包括条（包括MNMN），），共共1212条条.12128.8.到空间不共面的四点距离相等的平面有到空间不共面的四点距离相等的平面有 个个.解析解析 如下图分类，一类如图如下图分类，一类如图(1)(1)将四点视为将四点视为 三棱锥四个顶点三棱锥四个顶点,取棱中点取棱中点,可以做如图可以做如图(1)(1)平平 面平行于三棱锥的底面，并到另一顶点距离与面平行于三棱锥的底面，并到另一顶点距离与 底面距离相等，这样的平面有底面距离相等，这样的平面有4 4个；另一类如图个；另一类如图 (2

37、)(2)取各段中点，四个点形成平面平行于三棱锥取各段中点，四个点形成平面平行于三棱锥 相对棱，这样的平面有相对棱，这样的平面有3 3个，共个，共7 7个个.（1 1）（2 2）7 79.9.如图所示，在正四棱柱如图所示，在正四棱柱ABCD ABCD A A1 1B B1 1C C1 1 D D1 1中，中，E E、F F、G G、H H分别是棱分别是棱CCCC1 1、C C1 1D D1 1、D D1 1D D、DCDC的中点，的中点，N N是是BCBC的中点，点的中点，点M M在在 四边形四边形EFGHEFGH及其内部运动，则及其内部运动，则M M满足条满足条 件件 时，有时，有MNMN平面

38、平面B B1 1BDDBDD1 1.解析解析 由题意，由题意，HNHN面面B B1 1BDDBDD1 1，FHFH 面面B B1 1BDDBDD1 1.面面NHFNHF面面B B1 1BDDBDD1 1.当当M M在线段在线段HFHF上运动时，有上运动时，有MNMN面面B B1 1BDDBDD1 1.M M线段线段HFHF三、解答题三、解答题10.10.如图所示，已知如图所示，已知P P、Q Q是单位正方是单位正方 体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的面的面A A1 1B B1 1BABA和和 面面ABCDABCD的中心的中心.证明：证明：PQPQ平面平面BC

39、CBCC1 1B B1 1.证明证明 方法一方法一 如图取如图取B B1 1B B中点中点E E，BCBC中点中点F F，连结，连结PEPE、QFQF、EFEF，A A1 1B B1 1B B中，中，P P、E E分别是分别是A A1 1B B、B B1 1B B 的中点的中点,PE APE A1 1B B1 1.同理同理QF ABQF AB.PQPQEFEF.又又PQPQ平面平面BCCBCC1 1B B1 1，EFEF平面平面BCCBCC1 1B B1 1，PQPQ平面平面BCCBCC1 1B B1 1.方法二方法二 如图，连结如图，连结ABAB1 1，B B1 1C C，ABAB1 1C

40、C中，中，P P、Q Q分别是分别是A A1 1B B、ACAC的中点，的中点，PQPQB B1 1C C.又又PQPQ平面平面BCCBCC1 1B B1 1，B B1 1C C平面平面BCCBCC1 1B B1 1，PQPQ平面平面BCCBCC1 1B B1 1.又又A A1 1B B1 1 ABAB，PE QFPE QF.四边形四边形PEFQPEFQ是平行四边形是平行四边形.11.11.正方形正方形ABCDABCD与正方形与正方形ABEFABEF所在平面相交于所在平面相交于ABAB，在，在 AEAE、BDBD上各有一点上各有一点P P、Q Q，且，且APAP=DQDQ.求证：求证：PQPQ

41、平面平面BCEBCE.证明证明 方法一方法一 如图所示如图所示,作作PMPMABAB交交BEBE于于M M,作作QNQNABAB交交BCBC于于N N，连接，连接MNMN.正方形正方形ABCDABCD和正方形和正方形ABEFABEF有有 公共边公共边ABAB，AEAE=BDBD.又又APAP=DQDQ，PEPE=QBQB，又又PMPMABABQNQN，四边形四边形PMNQPMNQ为平行四边形，为平行四边形，PQPQMNMN.,DCQNABPMBDBQDCQNAEPEABPM,QNPM又又MNMN平面平面BCEBCE，PQPQ平面平面BCEBCE，PQPQ平面平面BCEBCE.方法二方法二 如图

42、所示，连接如图所示，连接AQAQ，并延长交，并延长交BCBC于于K K，连接连接EKEK，AEAE=BDBD，APAP=DQDQ，PEPE=BQBQ，又又PQPQ平面平面BCEBCE，EKEK平面平面BCEBCE，PQPQ平面平面BCEBCE./,/EKPQ，QKAQPEAPQKAQBQDQBKADBQEQPEAP得由又方法三方法三 如图所示如图所示,在平面在平面ABEFABEF内内,过点过点P P作作PMPMBEBE，交，交ABAB于点于点M M，连接，连接QMQM.PMPMBEBE，PMPM平面平面BCEBCE，即即PMPM平面平面BCEBCE，MQMQBCBC,又又MQMQ平面平面BCE

43、BCE,MQMQ平面平面BCEBCE.又又PMPMMQMQ=M M，平面平面PMQPMQ平面平面BCEBCE，PQPQ平面平面PMQPMQ，PQPQ平面平面BCEBCE.,/,ADMQQBDQMBAMBQDQPEAPBQPEDQAPMBAMPEAP得由又12.12.如图所示如图所示,四棱锥四棱锥P PABCDABCD的底面的底面 是边长为是边长为a a的正方形的正方形,侧棱侧棱PAPA底面底面 ABCDABCD,在侧面在侧面PBCPBC内内,有有BEBEPCPC于于E E,且且BEBE=试在试在ABAB上找一点上找一点F F,使使EFEF 平面平面PADPAD.解解 在平面在平面PCDPCD内

44、内,过过E E作作EGEGCDCD交交PDPD于于G G,连结连结AGAG,在在ABAB上取点上取点F F,使使AFAF=EGEG,则则F F即为所求作的点即为所求作的点.EGEGCDCDAFAF,EGEG=AFAF,四边形四边形FEGAFEGA为平行四边形为平行四边形,FEFEAGAG.又又AGAG平面平面PADPAD,FEFE平面平面PADPAD,36aEFEF平面平面PADPAD.又在又在BCEBCE中中,在在RtRtPBCPBC中中,BCBC2 2=CECECPCP点点F F为为ABAB的一个三等分点，且靠近的一个三等分点，且靠近B B点点.33322222aaaBEBCCE.32.3332aAFEG，PCPECDEGaaaCP又部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！