高等数学：3(2)洛必达法则

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1、1小结小结 思考题思考题 作业作业型未定式型未定式 ,0型未定式型未定式00,1,0 第二节第二节 洛必达法则洛必达法则第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用洛必达洛必达(LHospital)法国数学家法国数学家(1661-1705)型型未未定定式式型型 ,002,)(时时或或如果当如果当 xax其极限都不能直接利用极限运算其极限都不能直接利用极限运算在第一章中看到在第一章中看到,无穷大之商无穷大之商,法则来求法则来求.称为称为)()(lim)(xFxfxax 那末极限那末极限定义定义00 型未定式型未定式.或或如如,xxxtanlim0bxaxxsinlnsinlnl

2、im0)00()(意味着关于它的极限不能确定出一般的意味着关于它的极限不能确定出一般的 未定未定 不能确定不能确定.而并不是在确定的情况下关于它的极限而并不是在确定的情况下关于它的极限结论结论,两个无穷小之商或两个两个无穷小之商或两个洛必达法则洛必达法则两个函数两个函数 f(x)与与F(x)都趋于零或趋于无穷大都趋于零或趋于无穷大,3 这一节介绍一个求未定式极限的有效方法这一节介绍一个求未定式极限的有效方法,此方法的关键是将此方法的关键是将)()(lim)(xFxfxax 的计算问题转化为的计算问题转化为)()(lim)(xFxfxax 的计算的计算.其基本思想是由微积分著名其基本思想是由微积

3、分著名先驱先驱,从而产生了简从而产生了简洛必达法则洛必达法则.后人对他的思想作了推广后人对他的思想作了推广,提出的提出的,17世纪的法国数学家世纪的法国数学家洛必达洛必达(LHospital)便而重要的便而重要的洛必达法则洛必达法则4满足条件满足条件及及设函数设函数)()(xFxf定理定理1型型未未定定式式型型一一、,00);()()(lim)3(或或AxFxfax处处点点的邻域内可导的邻域内可导在点在点aaxFxf(,)(),()2(),(0)(lim)1(或或xfax);(0)(lim 或或xFax;0)(xF且且)可除外可除外)()(limxFxfax则则).()()(lim 或或AxF

4、xfax洛必达法则洛必达法则5证证,)(),(连续连续在点在点若若axFxf.0)()(aFaf,0)(lim)1(xfax;0)(lim xFax则由条件则由条件(1),必有必有,)(),(不连续不连续在点在点若若axFxf,0)(lim xFax.0)()(aFaf.)(),(点点连连续续在在使使axxFxf,0)(lim xfax由于由于可补充定义可补充定义,x任任取取点点).(axaxa 不不妨妨设设 )00(型给出证明型给出证明仅对仅对(),()f x F x 满足1),;2)(,),()0.a xa xF x在上连续在内可导 且洛必达法则洛必达法则2)(),()(),f x F x

5、aa在点 的邻域内可导 点处除外()0;F x且6)()(xFxf)()(Ff )(之间之间与与在在ax,时时当当ax AxFxfax )()(lim)3()()(limxFxfax 柯西定理柯西定理使使内内至至少少存存在在点点在在,),(xa )()(limxFxfax)()(xFxf,a)()(lim Ffa .A)(aF)(af 洛必达法则洛必达法则7注注 00)()(lim)1(xFxfax(多次用法则多次用法则),)2(axax 00)()(limxFxfax.法法则则成成立立 00)()(limxFxfax再求极限来确定未定式的值的方法称为再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达洛

6、必达法则法则.这种在一定条件下这种在一定条件下通过分子分母分别求导通过分子分母分别求导洛必达法则洛必达法则8例例解解.2coslim2 xxx求求)2()(coslim2 xxx原式原式1sinlim2xx .1 例例解解.1coslim30 xxxx 求求203121sinlimxxxx 原式原式)00()00(2sin .洛必达法则洛必达法则9定理定理2);(0)(lim),(0)(lim)1(或或或或设设xFxfxx).()()(lim)()(lim 或为或为AxFxfxFxfxx;0)(,)()(,)2(xFxFxfNx且且可导可导和和时时当当);()()(lim)3(或为或为AxFx

7、fx则则证证,1zx 令令)()(limxFxfx zFzfz11lim0 x则则,0z等价于等价于用定理用定理1有有 2201111limzzFzzfz洛必达法则洛必达法则10)()(limxFxfx ),(x对对注注定理定理2成立成立;zFzfz11lim0A 例例解解.1sinarctan2limxxx 求求xxxx1cos111lim22 原式原式)00(1 洛必达法则洛必达法则11用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项,00)1(才可能用法则才可能用法则的未定式的未定式或或只有只有 ,00 或或只要是只要是则可一直用下去则可一直用下去;(3)每用完一次法则每用完一次法则,要

8、将式子整理化简要将式子整理化简;(4)为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用的其它性质结合使用.(2)在用法则之前在用法则之前,式子是否能先化简式子是否能先化简;洛必达法则洛必达法则12例例.)(arcsin1sinlim20 xxexx 求求)00(解解)0(arcsinxxx201sinlimxxexx 原式原式xxexx2coslim0 )00()00(2sinlim0 xexx .21 洛必达法则洛必达法则13例例解解.3tantanlim2xxx 求求xxxxx3sincos3cossinlim2 原式原式xxxsin3sin3

9、lim2 .3)()00(xxxcos3coslim2 洛必达法则洛必达法则14.|ln|lncoslimaxaxeeaxx 解解 原式原式)(acos|ln|lnlimaxaxeeax xaxcoslim)(acos axeeaxax limaxxaxeeeax 1limxaxe1lim aaeeacos.cosa 先把此定式因式分离出来先把此定式因式分离出来处的导数定义处的导数定义在在用用axex 洛必达法则洛必达法则15例例解解xxxxcoslim 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效.)cos11(limxxx 原

10、式原式.1 洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.注注用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性 当导数比的极限不存在时当导数比的极限不存在时,不能断定函数不能断定函数比的极限不存在比的极限不存在,其一其一,这时不能使用洛必达法则这时不能使用洛必达法则.)(洛必达法则洛必达法则16可能永远得不到结果可能永远得不到结果!分子，分母有单项无理式时分子，分母有单项无理式时,不能简化不能简化.如如xxx21lim 1122lim2xxx )(21limxxx 211limxxx )(xxx21lim 其实其实:.11lim2 xxx杜波塔托夫的一个著名例子杜波塔托夫的一个著名例子.其

11、二其二用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性洛必达法则洛必达法则17例例):(lnlim正正整整数数nxxnx 解解)(11lim nxnxx原式原式nxnx1lim 0 注注.,0 极极限限式式子子仍仍成成立立换换成成 n例例)0,:(lim 正整数正整数nexxnx)(解解xnxenx 1lim 原式原式xnxexnn 22)1(lim )()(0!lim xnxen n次次.ln,xxexnx 洛必达法则洛必达法则:ln.xnexx有18型未定式型未定式二、二、,0例例解解.lim2xxex 求求)0(xexx2lim 2limxxe.,00.型型 0.1步骤步骤:00

12、10 2limxexx 原式原式)()(关键关键 1或或 000 将其它类型未定式化为洛必达法则可将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型解决的类型洛必达法则洛必达法则19例例).arctan2(limxxx 求求)0(解解xxx1arctan2lim 原式原式)00(22111limxxx 221limxxx 1 洛必达法则洛必达法则20例例解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 .0 型型 .2步骤步骤:)00()00(xxxxxxsincoscossinlim0 0101 00洛必达法则洛必

13、达法则21步骤步骤:0例例解解.lim0 xxx 求求)0(0 原式原式e e 0e.1 e 00 1 00 0exxlnxxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxxx 0ln0 e1ln e ln0e)0()(0limx00,1,0 三、三、型未定式型未定式第一章第一章第九节第九节定理定理3洛必达法则洛必达法则22例例解解)(cotlim0 xx 求求)(0 xxxx1sin1cot1lim20 .1 exln1 原式原式 0limxxxxln)ln(cotlim0 e)(e)ln(cotln1xx exxln)ln(cote注注或写成或写成.lncotlnexp xx其中其

14、中expx是指数函数是指数函数xe的一种表示方式的一种表示方式.exponent洛必达法则洛必达法则23例例解解)1(原式原式 xxx1cos2sinlim求求x xxx1cos2sinlne xlim)0(xlime xxx1cos2sinlnxt1 令令e limttt)cos2ln(sin)00(0te 0limtttttcos2sinsin2cos2 2e 1993年考研数学一年考研数学一,5分分还有别的方法吗还有别的方法吗?exxx 11lim洛必达法则洛必达法则24例例解解nnne2lim 求求数列的极限数列的极限转化为函数的未定式的极限转化为函数的未定式的极限!由于由于xxe2l

15、im)0(xxex2lim)(xxe221lim 0 n又又是是x中的一种中的一种特殊情况特殊情况,所以有所以有nnne2lim 0 不能用洛必达法则不能用洛必达法则x洛必达法则洛必达法则25洛必达法则洛必达法则解解 法一法一 用三次用三次洛必达法则可求得洛必达法则可求得.法二法二 结合其它方法用三次结合其它方法用三次洛必达法则可求得洛必达法则可求得.法三法三xexx1,0 时时sinsin01limsinxxxxeexx原式sinsin001limlim1sinxxxxxeexxsin0limsinxxxeexx求极限26洛必达法则洛必达法则法四法四)20(,0 xx设设.sinxx 用拉格

16、朗日中值定理用拉格朗日中值定理;,sin上连续上连续在在xxex(1)(2),),(sin内可导内可导在在xxex.)(xxee ,),(sin内内在在xxsin,sinxxeeexx至少有一点使 O x xsin 同理同理,sin00,lim1sinxxxeexxx对有所以所以,sin0limsinxxxeexx求极限sin00limlim1sinxxxeeexxsin0lim1sinxxxeexx27 naaaxnxxx210lim求求naaa,21其中其中均为正数均为正数.)1(解解x1 原式原式exnaaaxnxxx 210lnlim)00(e 0limx1lnlnln21naaan

17、e naaa21n 法一法一1xnxxnxnxxaaaaaaaaa 212211lnlnln洛必达法则洛必达法则28解解 原式原式 nnaaaxnxxx2101limx1xnnaaaxnxxx1lim210 )00(naaaanxnxxlnlnlim110 naaan)ln(21naaa21ln n 原式原式naaa21n 法二法二 naaaxnxxx210lim求求x1naaa,21其其中中均为正数均为正数.)1(exxx 101lim洛必达法则洛必达法则29洛必达法则洛必达法则四、小结四、小结型型00,1,0 ,型型 型型 0,00型型型型 一、一、二、二、三、三、注意注意但求某些未定式极

18、限不要单一使用洛必达但求某些未定式极限不要单一使用洛必达应将所学方法综合运用应将所学方法综合运用.尤其是下述两种方法尤其是下述两种方法,可使问题大大简化可使问题大大简化.各类未定式极限问题各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用洛必达法则是最常用的工具的工具,法则法则,三大类未定式三大类未定式30 (1)存在极限为存在极限为非零的因子非零的因子,可根据积的极限可根据积的极限运算法则先求出其极限运算法则先求出其极限.洛必达法则洛必达法则 (2)凡乘积或商的凡乘积或商的非零无穷小因式非零无穷小因式,可先用简可先用简单形式的等价无穷小替换单形式的等价无穷小替换.务必记住常用的等价无穷小务必记住常用的等

19、价无穷小.31思考题思考题则则存在存在若若,)(0 xf 000)()(lim0 xxxfxxxfxx )()(lim000 xfxxfxx ).()(000 xfxxf 问上述做法是否正确问上述做法是否正确)00(洛必达法则洛必达法则32思考题解答思考题解答非非,)(0存存在在因因为为条条件件只只给给出出xf 就就至于至于)(xf 正确的做法是正确的做法是000)()(lim0 xxxfxxxfxx 0limxx 000)()(xxxfxfx ).()(000 xfxxf 000)(xxxxxf 不一定存在不一定存在.洛必达法则洛必达法则0000()()limxxxf xx f xxx0000()()x f xx f x33作业作业习题习题3-2(1373-2(137页页)1.(2)(3)(6)(8)(10)(11)(13)(15)(16)3.4.洛必达法则洛必达法则