第八章多元微分学

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1、第八单元多元函数微分法及其应用(一) 内容提要与基本要求内容提要一、多元函数的基本概念1. 二元函数z = f (x, y)的定义说明(1) 自变量 x、y 独立变化，彼此间没有依赖关系，其 中一个变量不能用另一个变量表示。(2) 点函数u=f(p)将一元与多元函数统一起来，点 p 在几维空间，即表示几元函数。(3) 由不等式(组)描绘二元函数的定义域时关键是先 确定边界线方程(将不等式变为等式)，然后分清在边界线的 哪一侧(将不等式变形为y (或v)申(x),或x (或v)申 (y),贝Iy为上侧，y为下侧；x为右侧xv为左侧)最后确 定是否包括边界线。2. 二元函数的极限 lim f(x,

2、y)= AXT X0y T y0说明(1) 二元函数的极限要求p(x,y)fp0(x0,y0)要求以任 意方式、任意路径，由此使二元函数的极限产生了一些与一 元函数的极限有本质差异的新内容。(2) 一元函数极限的运算法则及由极限定义推导出的性 质和定理对于多元函数极限均成立。3多元函数的连续性(1)函数在一点连续定义lim f (P)二f (P )P T P00( 2)多元初等函数在其定义的区域内连续。(3) 有界闭区域上的多元连续函数必有最大值及最小 值。二、多元函数的微分法1偏导数( 1)二元函数偏导数的定义A zf (x , y ) = lim x 0 0 Ax T 0 Axf (x +

3、Ax, y ) - f (x , y ) =lim ooo oAx T0Ax其中A z叫f (x, y)对x的偏增量。x类似地可定义为 f (x , y )yoo说明偏导数表达了多元函数中个别因素所引起的瞬时变化 率。偏导数是研究多元函数的重要工具。函数在一点偏导数存在不能保证函数在该点连续，这 与一元函数可导必连续有本差质异。(2) 偏导数的几何意义。(3) 高阶偏导数及混合偏导数定理。2全微分(1) 二元函数全微分定义：如果z = f (x, y)在点(x,y) 处的全增量z=AAx+BAy+o( p),则 f (x, y)在(x, y)可微， dz=AAx+BAy。(2) 全微分与连续的

4、关系：可微=连续(3) 全微分与偏导数的关系：可微=可导，dzQz且dz = dx + dy (全微分=偏微分之和)。QxQy(4) 全微分存在定理：偏导数连续=全微分存在 3复合函数的微分法链锁法则(1)定理：设 u = u(x, y), v = v(x, y)在(x,y)处具有偏 导数，z = f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合 函数z = f u(x, y), v(x, y)在(x,y)点偏导数存在，且有比az-c- -比-ax比-avQu Qz Qv+ .Qx Qv Qx Qu Qz Qv Qy Qv Qy推广：法则可推广到中间变量及自变量为一个或多于两 个的情形。

5、当 u = 6(t), v =屮(t)时，dzdt-(t) uZ (t)v为全导数注意：复合函数求导，关键是： 分清复合层次，可用图解法表示出函数的复合层次。 分清每步对哪个变量求导，哪个是自变量，哪个是中 间变量，固定了哪些变量。 对某自变量求导，应注意要经过各层次有关的中间变 量而归结到该自变量。在每个层次中是求偏导还是求全导。（2）全微分形式不变性f(x,y),则 dz dx dyxy不论x、y是自变量，还是中间变量，公式总成立，全微 分的这个性质称为全微分形式不变性。说明 利用全微分形式不变性求复合函数的全微分或偏 导数比较方便，求全微分时可同时获得函数对各个自变量的 偏导数。运算过程

6、中不必考虑每个变量所处的位置是中间变 量还是自变量，直到不能再继续求微分为止，然后整理合并， 步骤分明、有条不紊。（3）复合函数的高阶偏导数注意：求复合函数的高阶偏导数时，要注意对中间变量zz的偏导数一、一仍是复合函数，继续求导时，要用复合函uv数的求导法则。4隐函数的微分法（1）隐函数存在定理(2) 隐函数的导数公式设F(x,y)=O确定了隐函数y=y(x)，贝 dy _ Fx , ,dx Fy设F (x, y, z)=0确定了隐函数z=z(x,y)，则 dz _ Fxdz _ Fy ,dxFzdy FzIF(x, y, u, v). _ 0 设方程F(x, y,u, v). _ 0确定了隐

7、函数u _ u(x,y), v _v(x,y),贝du1FxFvdu1FyFvdxJGxGvdy-了GyGvdv1FuFxdv1FuFydxJGuGxdyJGuGy其中 J 为雅可比行列式：j _d(F, G) _Fu Fv丰0d (u, v)Gu Gv5方向导数与梯度( 1)方向导数定义 f _ lim f(x + 肚 y + 3 f(巴 y) dlpTOP方向导数存在的充分条件及计算法如果f （x, y）在P点可微，则函数在P点沿任何方向的 方向导数都存在，且dfdfdf .=cos申+ sin申 （单为x轴正向到l的转 dldxdy角）（ 2 ）梯度 定义 gradf （x, y）=孚

8、i + fdxdy 梯度与方向导数的关系三、多元函数微分法的应用1几何应用（ 1 ）空间曲线的切线及法平面x = x(t)参数方程y = y (t) t T M (x , y , z )0 0 0 0 0 z = z (t)切向量 T = h(t 0),y (t 0),z (t 0)x - xy - yz - z切线 4=0 =0x(t )y(t )z(t )0 0 0法平面 x(t )(x - x ) + y(t )(y - y ) + z(t )(z - z ) = 00 0 0 0 0 0一般方程F(x, y, z)二 0G(x, y, z)二 0M (x ,y ,z )0 0 0 0-

9、i j k切向量T二Fx Fy FzGx Gy GzMo注：曲线由一般方程给出时，求切线也可分别求曲面 F (x,y,z)=O与G (x,y,z)=O在M0点的切平面，两切平面 的交线即为曲线在Mo点的切线。(2)曲面的切平面及法线隐式 F(x,y,z) = 0Mo (x0, y0, z0)*法向量 n = F (Mo),F (Mo),F (Mo)x0y0z0切平面 F (M )(x - x ) + F (M )(y - y )x00yoo+ F (M )(z - z ) = 0z 00x-xy-yz-z法线-o _ oF (M )F (M )F (M )x0yozo显式 z 二 f(x，y)

10、 Mog，yo,茅，切向量：n 二f(x ,y ), f (x ,y ),-1x 0 0 y 0 02多元函数的极值(1)二元函数极值定义(2)二元函数极值的必要条件可导函数fx,y)在(x , y )点有极值的必要条件是 00/(x ,y )二 0,/(x ,y )二 0x 00y 00(3) 二元函数极值的充分条件设函数f(x,y)在(x ,y )点某邻域内具有一阶、二阶连续00偏导数，且 f (x , y )二 0, f (x , y )二 0x 00y 00xx 00令f (x ,儿)二 A,fxy(%,y0)二 B，fyy(%，y0)二 C AC B2 0, 0, W(x , y )

11、为极小值;00AC - B2 0,则无极值AC - B2 = 0,此条件失效。(4) 条件极值求函数z=fx,y)在条件(p (x,y)=0下的极值 方法一 化为无条件极值从0 (x,y) = O中解出y,代入z=fx,y)中，化为一元函数 z=fx,y(x)的无条件极值问题。方法二 拉格朗日乘数法作辅助函数F(x,y)=f(x,y)+X 0 (x,y)(A 为参数)则函数z=f(x,y)在条件0 (x,y) = O下取得极值的必要条件 是：F = f + 九* = 0F = f + 九 = 0卜(x, y) y= 0 y拉格朗日乘数法可推广到n元函数f(p)= /(x ,xx )1 2 n在

12、m个条件申(p) = 0(i = 1,2,m)下的极值问题(m 0且可导，则 QzQx20. 设 ln(xz) + arctan(yz) = 1 确定函数 z = z(x, y)，贝Iz =x21.设x = x(y, z)由方程arctan(xez) + yex = 1 确定,贝 x =。z22.设函数z = z(x,y)由方程z + x = ez-y所确定则d 2zdydx23. 设函数x二x(u, v)和y二y(u, v)由方程组xy 二 uv所确定，则 x =。x y 二 u / vv24. 函数zxy在闭域x20,y20,x+yWl上的最大值是 。25. 曲线x = t2,y = t3

13、,z = 3;t2 在点(1,1,1)处的一个切线向量与oz轴正向的夹角成钝角，则它与ox轴正向夹角 的余弓弦cos a =。| x 2 + y 2 + z 2 = 626. 曲线在点(2,1,1)处的切线与yx 2 + y 2 一 z 2 = 4轴夹角的余弦是。27. 过空间曲线x=fy),y=g(z)(其中fy),g(z)均是可微函数)上相应于z=z0点处的切线方程是。28. 设f(u,v),g(u,v)皆具有连续偏导数，且f - g丰0 ,vv则曲线fx,y)=0,g(y,z)=0在其上(x , y , z )点处的切线方程 000是 。29. 曲面 zfx,y)经过点 M(1,1,2)

14、, fx,y)可微，f (1厂1) = 2,f (1厂1) = 一2,过M点作一法向量n, n与oyxyt-轴正向夹角为锐角，贝1n与ox轴正向夹角的余弦cos a=。30. 若(x .y .z )是曲面F(x,y,z) = 0上一点，且在这一000点处有F = F = 2而F = 22，那么曲面在这一点处的x yz切平面与坐标面xoy所成的二面角。31. 设 F(u,v,w)是可微函数，且F (2,2,2) = F (2,2,2)uw=3, Fv(2,2,2)二6，曲面 F(x+y,y+z,z+x)=0 通过(1,1,1) 点，贝过这点的法线方程是。32. 设(1,1,2)是曲面 z=f(x

15、,y)上一点,若 f (1,1) = 3，x在任一点(x,y)有 xf (x, y) + yf (x, y) = f (x, y).则曲面在这xy一点的切平面方程是。二、选择题：33 若z=f(x,y)在点P(x ,y )处可微，则f(x,y)在点00P(x , y )处沿任何方向的方向导数00(A) 必定存在；(B) 一定不存在；(C) 可能存在，也可能不存在；(D) 仅在x轴、y轴方向存在，其它方向不存在。答：( )34. 对于二元函数z=fx,y)，在点(x , y )处连续是它在00该点处偏导数存在的：(A) 必要条件而非充分条件；(B) 充分条件而非必要条件；(C) 充分必要条件；(

16、D) 既非充分又非必要条件。答：( )35. 对于二元函数z=f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是：(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在；(B) 偏导数连续，则全微分必存在；(C) 全微分存在，则偏导数必连续；(D) 全微分存在，而偏导数不一定存在。答：( )x 2 y 236 函数 f (x, y)二 x4 + y4 (x，y)丰(0，0)在点(0,0) 0 ,(x, y) = (0,0)处：(A)连续但不可微:(C)可导但不可微;(B) 连续且可导；(D)既不连续又不可导。答：( )137.函数 z(x, y) = 0)上对应于t二；6的点处的切线与yoz平面的夹角为:

17、(A)-；兀(D)-。答：（ ）60y兀曲面z二arctan -上点（1气）处的切平面方程是:兀(A) x - y + 2z 二；兀(B) x + y + 2z = 2 +;2兀(C) X - y - 2 z 二-2；兀(D) x + y 2z 2 。2答：（ ）61.曲面x2 - 4y2 + 2z2 6上点（2,2,3）处的法线方程是：A)-1 y-6-4B)x-y-2z-3-1-4x-1y-6z-1(D) x-2y - 2 z - 34 一 3答：（ ）x2z 262.曲面丁 + y2 +丁 = 1上M点处的法向量与三坐标轴正向的夹角相等，则M点为：A）151 5（1,）和（1, ,）；3

18、33 3B）1 51 5（1， 3， 3）和（1，33）；1515（1,，一 ）和（1，）；3 333D）1 5 1 1（-1， 3， 3）和（1，3，5）。答：（ ）三、计算题：63. 在半径为 R 的球内作一个以矩形为底的内接正棱锥体，试求该正棱锥的体积v和矩形的长与宽的关系。64. 设正六棱台的上底边长为x，下底边长为y，高为z。试把它的侧面积S表成x，y，z的函数。65. 设 z=x+y+f（xy），若当 y=0 时，z=x2,求函数f 及z。| z = X 2 + y 266. 求曲线上的点（1,6,37）处的切线的斜y = 6率。67.求曲面z =、1 + x2 + y2与平面x

19、= 1的交线在在点（1丄.3）处的切线与0y轴正向的倾角。681设 z 二(y sin x)3，求6970dzdx。“x + y 、dzdz设 z = arctan ，求 和 。x - ydxdy dzdz设z 二 arcsin(y、.：x);求 一和=。dxdy7172设 u 二 3 xy ln x + y 3 - sin a，求 u , u。xydudu设 u = tan(3x y) + 8y+x 求和 dxdy73 设 f(x,y,z)=ln(xy+z) ， 求 f (1,2,0), f (1,2,0) 和 xyf (1,2,0) 。zdu du74设u=f（x）灿且曲均为可导函数求忘石

20、du和石。75设/（x，y）=沁,求恚76.求函数f (x, y)二 y cos(x - 2y)当 x 二4, y, 兀 ,dx二孑dy时的全微分。77. 设u 二 xy2，求 du。78. 设 u =ax+yz Inxa (a 0)，求 du。y79 .设 z = ln tan ，求 dz。x80. 设u 二 ln(xxyyzz)，求 du。81. 设 z 二(ln x)cos y，求 dz。x82.求函数z二arcsin的全微分。x2 + y283.84.dz 设z 二 e3x+2y,而x 二 cost,y 二 t2,求dt.du设 u = ex2+y2+z2,而 z 二 x2 sin y

21、,求 dx85.xdz设z =,x = ct, y = lnt,其中c为常数，求。ydt86.设u = exf (x, y) + g(u,v),u = x3,v = xy,其中fx,y)为可导函数，g(u,v)具有连续的一阶偏导数，求。ox87. 设 z=xy+f(x+y,xy), 而x=ln(s+t),y=2s3t,其中 f(u,v) 具有连续的一阶偏导数，求0Z。os88. 设二 f (x, y, z),z 二申(y,t),t 二屮(y,x)，其中 f,(P具有连续的一阶偏导数，屮为可导函数，求丁，丁。0x 0y89. 设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,f (1,1

22、) = a,f (1,1) - b,又g (x)=fx,fx,fx,x),求申,申 1290. 设函数z=f(u,v)具有连续的二阶偏导数，其中sin , , 0 2 zu 二 sm x, v 二 e 2x+y,求0x0yx91. 设函数f(u,v)具有二阶偏导数，而z = f (x,)，求y0 2 z0x292. 设z二xf (x,-),其中f具有连续的二阶偏导数，求x02 z0x0y 93.设z=f(x,u),而u=xy，且f(x,u)具有连续的二阶偏导数,七。2 z求ax 294. 设u二f (x + y,x2 + y2)，其中f具有连续的二阶a2u偏导数，求 。ay295. 设函数z=

23、F(x+ (xy),y，其中Fg具有连续的二 阶偏导数，求里;。axay96. 设 z = uv + arcsin w, u = ex, v = cos y,xw =，求函数z对变量x,y的全微分dz。0,h0)。135 .在xoy平面上求一点 M(x,y),使它到三条直线x=0 ,y=0 ,x y+ 1 =0 的距离的平方和为最小。136.在椭圆罕+罕=1的第一象限部分上求一点，使24 过该点的切线、椭圆及坐标轴在第一封限内所围成的图形的 面积最小。137.在椭球面4x2 + y2 + z2二4的第一卦限部分上求 一点，使得椭球面在该点的切平面、椭球面及三个坐标面所 围成的第一卦限部分的立体

24、的体积最小。x2y 2138. 求椭球面=+片+ Z2 = 1被平面x+y+z=O截得32的椭圆的长半轴与短半轴之长。五、证明题：139. 设P(x, y)二 ex cos y,V(x, y)二 ex sin y，试证:P 2(x, y)屮 2(x, y)(2x,2y)。口、，(x，y)丰(，)*上140.证明：f (x, y) = 0, B2 AC 0,证明：存在一点(x ,y )，使得00f ( x , y ) 为极小值。00154. 利用求条件极值的方法，证明对任何正数a,b,c成a + b + c、立不等式：abc3 27()5。155.证明曲线；(X，y，Z) - 0在xoy平面上投

25、影曲线的|G(x,y,z)二 0切线即是相应切线在xoy面上的投影，其中F与G具有连续 的一阶偏导数。(三) 习题选编一、填空题1.函数f (x, y)二sin(x2 + y2)的定义域为2.函数Z = In Jx2 + y2的间断点为3.设f (x, y)二 x2 + y2,申(x, y)二 x2 y2，则ffx,y), (p (x,y)=”、儿、丄 sin(x2y), xy 丰 04设 / (x, y) = xy,0, xy = 0贝 gf (o，1) =。xz 二 3 (x2 + y2)在点(1,1,1)处的切线与 y 轴正向所成的倾角为。6. 设函数 z 二 y sin(xy) (1

26、y)arctanx + e-2y，则 dzBx x=1, y=07. 设z =ln(y + px2 + y2),贝idz=。y8. 设z=z(x,y)由方程exz + sin = 0确定，则xz =。x9. 函数z = x2 + 3xy在点(1,2)处沿x轴正方向的方向导数等于。10. 设F(u,v)有连续的一阶偏导数，且F (3,1) = 1uF (3,1) = 1，曲面 F(x + y,x z) = 0 通过点(2,1,1),v则曲面过这点的法线与xoy面的交角 。二、选择题11. 设 f (x, y) = ln(x + 壬),则 f (1,0)等于：2 xy1(A) 1；(B) - ；(

27、C) 2；(D) 0。答：( )12. 设 z=f(u,v,w)而u 二申(x, y), v 二屮(x), w 二 F(y)，其 中f(u,v,w)具有连续的一阶偏导数，申(x, y)，屮(x), F(y)均为 可导函数，则密是：ox(A) f 9 + f ；u x v(B) f 9 + f 屮 + f F ；uxvxwy(C) f 9 + f 屮；uxvx(D) f 9 + f 屮 + f 屮 + f F。uxuyvxw y答：( )13. 设函数z=z(x,y)由方程 2xz2xyz+ln(xyz)=0 所确定,则丟是:z(A)；x(B)；xzz(C)；x(D)-xz答：( )1114.函

28、数 u x 2 xy + y 2 在点(1,1)处沿1 4,4方向的方向导数为：(A)最大;C) 1；(B) 最小;(D)零。答：( )15. 曲线2x二y2, z二x2在某一点处的切向量与三个坐 标轴正向的夹角相等。与这一点相应的x值等于：11(A)1；(B) 2；(C) 2；(D)3。答：( )三、计算题16. 设 z = fy + f Gx 1)，其中 x20,y20,如果当 y=1时z=x,试确定函数f和z。yx17. 设 u = yz - sec - In ，求 u , u , u。x y x y z18. 设u 二 lnsin-i，其中 x = 3t2, y = t2 +1，求 d

29、udt。dz19. 函数z=z(x,y)由方程ez - z + xy = 3所确定，求亍。ox20. 求函数u=xyz在点M(1,1,1)沿从点(1,1,1)到点(2,5,3) 的方向的方向导数。21.求函数z二(1 + ey )cosx yey的极大值点或极小值点。(四) 自测题一、填空题：(每题5 分,共 20分)1 .设 z = exy cos exy，则 dz。z = xy2曲线1在点(2,1,2)处的切线与x轴正向所成的y 二1倾角为。3. 设 z=z(x,y)由方程3xy + xcos(yz) z3 二 y 所确定，则 zy=。4. 若函数 f (x, y) = 2x2 + ax

30、+ xy2 2y 在点(1,1)取得极值，则常数a=。二、选择题(每小题5 分,共 20 分)2 xy5.函数 f (x, y) = Jx 2 + y2,x 2 + y 2 丰 0在点(0,0)处：0, x 2 + y 2 = 0(A)连续且可导;(B)不连续且不可导;(C) 可导且可微；(D)可导但不连续。答：( )dw6.设w=f x,y)g(x)+h(x,y)，其中f,g,h均为可微函数，则ox是：(A) f - g+h ；x(B) f - g + h ；xx(C) f - g+h ；xx(D) f - g + f - g+h。xx15(B)飞53(D) T答：( ) 7.函数u 二 l

31、n(xy - z) + 2yz2在点(1,3,1 )沿l=l,l, 1方向的方向导数等于15(A)-；215(3(C)- -6答：( )8.曲线 x = t2, y =+，z = 4丘 在点(16,4,8)处的法平B) 8xy2z=140;D) 16xy2z=244。答：( )面方程是：(A) 8xy2z=108;( C) 16xy2z=268;三、试解下列各题(每题8 分,共 32 分)9.设 z 二 ln(x + In y),求 |Z和Oz10. 设z=f(u),其中u = xy +上，且f为可导函数，求麥xox工0z 和。oy11. 设F(u,v)具有连续的一阶偏导数，且z = xF (xy 2, ex 4)，求 dz。ou12. 设u=u(x+y,xy)具有连续的二阶偏导数，求及oxO 2zOxOy 四、应用题(每题8分,共 32分)x -1 = 013.求过直线仁1八且与曲面x2 4y2 = 4z|2 y + z 1 = 0相切的平面方程。14.在以o(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形所围的闭区 域上求一点，使它到三个顶点的距离平方和最大，并求最大 值。五、证明题（8 分）y15.试证曲面z xex上所有点处的切平面都通过宀J-定点。