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1、等比数列的通项公式例 1 已知等比数列a,若 a1+a_+a3=14, a1-a_-a3=64，求 a .123123【思路分析】分析题意根据已知条件列方程组【解】 解法屮代七J .Jai + a3=10 飞冒16当a1 = 2时，qal 1一2- i - 或 q 8，=3a8 ，=2=aa1 当 ?28, a3 = 2. a = 2-2n-1 = 2n或 a = 8-（7）n-1 = 24-n. nn2解法二 由等比数列的定义知 a2= a1q，a3a1q2代入已知得玄 + a1q + a1q2 = 14a-a q-a q2 = 641 1 1a（1 + q + q2） = 14即彳1,a
2、3.q3 = 641a,1 + q + q2） = 14即ta1q = 4 44 将a1 = q代入得q + 4q = 10, 解得q = 2或2, a1 = 2或8. a = 2-2n-1 = 2n或 a = 8-（7）n-1 = 24-n. nn2 规律方法 首项和公比g是等比数列的基本量，只要求出这两|IbI:iI:lI个基本量，其他量都可由这两个基本量来表示，解法一是运用通项公式II :|I|及方程思想建立方程组求解首项呦和公比g,是最基本的方法；解法二|1IJIhII;先应用了等比数列的性质，再建立方程组，方法更灵活简便.:擀巫五II示1.已知数列an为等比数列，a+a3 = 10,
3、 a4+a6=4，求a囿何如 等比数列的判定.例2 已知数列an的前n项和为Sn=1(an1)(nN *).(1)求 a1，a2；求证：数列a 是等比数列.【思路分析】 已知条件是数列的和S与项a的关系，要用到它们之间的关系a =nnnfS1(n =1),判定等比数列需要用到等比数列的定义S S (n2),nn1(1) 【解】当n = 1时，a广S, 所以 S = 3(a - 1) = a,解得 a =- 2当 n = 2 时，S2 = |(a2 - 1) = a1 + a2，解得 a2 = *(2) 【证明】当n2时，Sn = |(an - 1),整理得2a = - a ，所以=- 2. n
4、n-1a2n-1所以数列aj是等比数列.规律方法等比数列的判定方法有定义法：对于数列也訂，若IIIIII空1二g(gHO),则数列巾是等比敎列；等比中项：对于数列J J若anan+2 =a + 1(an HO)，则数列a J是等比数列.其中定义法是最基 本也是最常用的方法.|珍变式训练2.已知数列a 中，a1 = 1, a+2a + 3 = 0(n22).(1) 判断数列an+1是否为等比数列？并说明理由；(2) 求 a .n等比数列的应用从盛满a(a1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀,再倒出1升混合溶 液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若a=2时，
5、至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?【思路分析】 解答本题可设第n次操作后的浓度为a,第n+1次操作后的浓度为a nn，根据题意可得到a 1 = a (1 -1).1n1 n a【解】 设开始的浓度为1,操作一次后溶液浓度a1 = 1 -1，设操作n次后溶液的浓 1a度为 an，n则操作n+1次后溶液的浓度为a = a (1 - )，从而建立了递推关系.n1 n aa 是以a = 1 -1为首项，公比为q = 1 -1的等比数列.n1 aa/,an=a1qn-1 = (1 -i)n，即第n次操作后酒精的浓度是(1 - +)n.当a = 2时，由an =(2)n 需，解得n4.故至少应操作
6、4次后才能使酒精浓度小于10%.| 预潼方:壬皋题是一遥看买域度爲血币同题，晉兎弄溝一次接偲:I|的含义，其次是列出第几次操作后与第71+1次操作后溶液浓度间的递【:I匸一:I推关系，即知+1二(1 -十)，然后利用数列的有关知识解决问题.I1I3农业专家为研究松树林中的松毛虫生长规律及松树林病虫害的预防，将一对松毛虫 放入一亩无害虫实验松树林中，经检测，松毛虫的总数量与星期数的关系记录如下表，已知 该虫数量在松树林中超过106对时松树不能正常生长，但施用某种无公害农药，可杀死松毛 虫的98%.星期数t(个)123456 松毛虫总数N(对)12481632 (1)为了使松树能正常生长，第一次最迟应在何时施用这种农药？(精确到星期)(2)第二次最迟应在何时施用这种农药，才能维持松树正常生长？(精确到星期，已知lg 2 = 0.301 0)
等比数列的通项公式
