弹性力学基本概念和考点

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1、基本概念：（1）面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大 小相等，正负号也相同）。（3）弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。（4）平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这 时， 。=0, T =0, T . =0,由切应力互等，b =0, T =0, T =0，这样只剩下平行于 xy面的三个平面应力分量，即七Qy,T =T虾，所以这种问题称为平面应力问题。设有很长的柱形体

2、，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截 面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化， 由对称性可知，T , = 0, T . =0，根据切应力互等，T - 0,T - 0。由胡克定律， y.=0,七=0，又由于z方向的位移W处处为零，即8广0。因此，只剩下平行 于xy面的三个应变分量，即8 ,8 , Y，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。x y xy（5）一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力 （主失相同，主矩也相同），那么，近处

3、的应力分布将有显著的改变，但是远处所 受到的影响可以忽略不计。（7）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是 对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移 也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题.一、平衡微分方程：（1）平面问题的平衡微分方程;（记）平面问题的平衡微分方程（极坐标）;二1笔。+=08p p 卯 p p1 % + + = 0p 8中 8p p 中1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是 平衡的.2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。二、几何方程；（1）平面问题的

4、几何方程；8u& =x8xE广（记）Yxy8v 8u + - 8x 8y（2）平面问题的几何方程（极坐标）;= 8p1 +8p 28u8p_ u 1 8v中 w +瞠 p * p 8中8v8uv=y +y = +psp? 28pp8中p1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。2、当位移完全确定时,应变也确定;反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。（刚体位移）三、物理方程； （1）平面应力的物理方程;)(记)2 (1+ 日)Y 丁 E T。(2) 平面应变的物理方程;8 = 12 b -b y E y 1 -p xJ2 (1+ p)xyEXy(3) 极坐标的物理方程(平面应力);1 ,、8 =

5、一(b -Vb )p E p 中18 = (b -Vb )=1 t = 2(1+v ) tpw G pw E pw(4) 极坐标的物理方程(平面应变);1-p2p8广 Z (?-c1- P2/p 、/%)2(1+p) TE pw四、边界条件;(1)几何边界条件;(u ) = u (s) 平面问题：(v)s = _(v)(2)应力边界条件； 平面问题：(bx + + yX)?在s上;u=fJ (记)=fy(t + mb )（3）接触条件;光滑接触:G=（气）n为接触面的法线方向非光滑接触：（：）n为接触面的法线方向nn（4）位移单值条件；（u ）广（七甫（5）对称性条件:在空间问题中，如果弹性体

6、的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用, 都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和 位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。一、概念1 .弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。2。固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合 材料力学。3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、 形变和位移及其分布情况等。4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围 更为广泛5。弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法.6弹性力学研究问题，在弹

7、性体内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界 上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答;。7. 弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。8. 几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。9. 物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系10. 平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系.11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位 移分量却不能完全确定。12。边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式.它可以分为位移边界 条件、应力边界条件和混合边界条件。13 .圣维南原理主要内容:如果把物

8、体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同 但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有 显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。14。圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩 都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计.这是因为 主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力15。求解平面问题的两种基本方法:位移法、应力法。16。弹性力学的基本原理：解的唯一性原理、解的叠加原理、圣维南原理会推导两种平衡微分方程17。逆解法步骤：（1

9、）先假设一满足相容方程（2-25）的应力函数（2）由式（2-24），根据应力函数求得应力分量（3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件（215）或次要边界上的积分边界条件，分析 这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数 可以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量 表达式中的待定系数18。半逆解法步骤：（1）对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变 形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设 部分或全部应力分量的函数形式（2）按式（224），由应力推出应力函数f的一般形式

10、（含待定函数项）；（3）将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表 达形式；（4）将应力函数f代入式（2-24），由应力函数求得应力分量（5）根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全填空5.平面问题的应力边界条件为（+T灌）广七（S）（t l + b m） = f （s）7.圣维南原理的三个积分式dy 1 = Jh/2 f (y)dy -1x=1-h/2 xJh/2 f (y)ydy -1-h/2 xh/2 fy (y)dy 1fh/2 (b )h/2 xJh/2 (b ) ydy .1 = h/2 x 村士1Jh/2(t ) dy .1 = -h/2 旧

11、 一I-h/2计算理解如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，则三个积分边界条件变为Jh/2 (b ) dy 1 = Fn Jh/2 (b ) ydy 1 = M -h/2x x=1Jh/2 (T ) dy 1 = Fd2巾(x, y) d2巾(x, y) d2巾(x, y)8。艾里应力函数 b =- f x, b = 3 f y, t =_ n计算 y2 x2 xy一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10分）1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（C ）求解 这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移.A.相容方程B.近似方法C.边界条件D.附加假

12、定2、根据圣维南原理,作用在物体一小部分边界上的力系可以用（B ）的 力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。A.几何上等效B.静力上等效 仁平衡D.任意3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本 方程不完全相同，其比较关系为（B ）。A-平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B-平衡方程、几何方程相同，物理方程不同。平衡方程、物理方程相同，几何方程不同。.平衡方程相同，物理方程、几何方程不同在研究方法方面：材力考虑有限体的平衡，结果是近似的；弹力考虑微 分体dV的平，结果比较精确.4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为 翌+ 2+詈=0

13、，6、设有函数=qx 2Tqy25（1）判断该函数可否作为应力函数？ （3分）（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见 题九图）中能解决什么问题（/h）. （15分）解：（1）将中代入相容方程芸+ 2-X- +尹=0，显然满足。因此，该函数可以作为应力函数.Oh/2Jh/2z(2)应力分量的表达式:xy8x8y6qx2yh34y 34qy3h33y+ T3qy3h6qx (h2一 y24h3考察边界条件：在主要边界y=h/2上，应精确满足应力边界条件()4y3=qy=-C)二y y=h 2xyy= h 24y3h36qx ( h 2h3y= h 2在次要边界x=0上，

14、应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件:h/2dy =x=0jh/2(o )h/2h/2h/2xyjh/2h/2ydy =x=04qy3 3qy3h(奇函数)jh/2h/2dy = 0x=04qy33qyh33hydy = 0在次要边界X=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件:jh/2 (b )dy =jh/26ql2 y + 4qy33qyh/2X=lh/2h3h33h(奇函数)jh/2 (b )ydy =jh/26ql2 y * 4qy3qlh/2X=lh/2h3h3J*/2 （ ） dy J啤（竺-y 2 = -ql-h/2 尤y x=l-h/2 h3 I 4 J对于

15、如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发 生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力;而 上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶 和铅直面力.所以，能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q的问题.20092010学年第 二 学期期末考试试卷 （A ）卷一.名词解释（共10分，每小题5分）1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。2. 圣维南原理:如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分

16、布将有显著的改变，但是远处所 受的影响可以不计。应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负。4.弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面1. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题?分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪 些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的 弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是:面力、体力的作用面平行于 町平面，外力沿板厚均匀分布,只有平面应力分量。x ,。y , Txy存在,且仅为x,y的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其

17、特征为：面力、体力的作用面平行于巧平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量，8 ,Y存在，且仅为x，y的函 x y xy数。2. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解，应力 函数必须满足哪些条件？答：（1）相容方程：V 40 = 0（2 ）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，S =七）: hx + 以yxL 在 = s 上）。Vnb + It）= f。（3）若为多连体，还须满足位移单值条件.二.问答题（36）1.（12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚5 = 1图5-1解：在主要边界y = h.2

18、上，应精确满足下列边界条件：（）=0；（ ）= 0y:x y=-h 2y y=+h 2应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，G )= qxl，y y=h 2在次要边界X = 0上，()=qy=+h 21当板厚5 = 1时，j+S ) dy = Fn,j+2（7 ） ydy = M，在次要边界x = l上，有位移边界条件：（u） = 0， 可以改用三个积分的应力边界条件代替：j+2( ) dy = Fs(v ) = 0.这两个位移边界条件 x=l2G ) dy = F + ql-h 2j+h 2-h 2x x=0N 1xy =o 内= Fs -告j+h 2G ) ydy = M Fl 生 +

19、 必h 2 x x=0s 6 22. （10分）试考察应力函数中=cxy3,c 0，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体 力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和 主矩。it 20尤心图5-2.a 4八a 4a 4八解：（1）相容条件:将中= cxy3代入相容方程否7 + 2ax2ay2 +ay =。，显然满足。一一 .a 2 中,（2）应力分量表达式：。=ayr = 6cxy，。y = 0，Txy =3cy2()=3chx , y=h 2(3) 边界条件：在主要边界y = 2上，即上下边，面力为()3人T = ch 2 xy y=h 24在次要边界x

20、= 0,x = l上，面力的主失和主矩为J+h 2G ) dy = 0 -h 2 x x=0 2G ) ydy = 0 h 2 x x=0J+h2( ) dy = J+h23cy2dy = Ch3I h 2 xy x=0h 24J+h 2G ) dy = +h： 26clydy = 0h 2 x x=lh 2E2G ) ydy = f+h： 26cly 2dy =号J+h2( ) dy = +h 23cy2dy = ch3 、h 2 xy x=0h 24弹性体边界上的面力分布及在次要边界x = 0,x = l上面力的主失量和主矩如解图所示。3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为P，在一边

21、侧面上受均布剪力q， 如图53所示，试求应力分量。（提示:采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材 料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 b = 0 ）图53解:采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量。x = 0，（1）假设应力分量的函数形式qx = 0（2） 推求应力函数的形式。此时，体力分量为fx = 0, fy = pg。将bx = 0代入应力公式 =匿有a =兽 =0对x积分，得籍=f G)，xoy 2xcy 2oy(a)中=yf。+喜)。(b)

22、其中f (x)，f*)都是x的待定函数。(3)由相容方程求解应力函数.将式 力)代入相容方程中4 = 0，得 d 4 f (x)+ d 4 f (x )= 0这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根(全部竖柱内的y值都应该满 d 4 f (x)八一人工十 =0，两个方程dx4dx 4dx4一一又一 d4 f (x)八 足)，可见它的系数和自由项都必须等于零.n=要求f (x)= Ax3 + Bx2 + Cx，f (x)= Dx3 + Ex2f (x)中的常数项，fQ中的一次和常数项已被略去 中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数中=y (Ax 3 + Bx 2 + Cx)+ (

23、Dx 3 + Ex 2)(c)因为这三项在的表达式(d)(4)由应力函数求应力分量。O2中a = xf = 0 .,xoy 2x(e)0 2中-yf = 6 Axy + 2 By + 6 Dx + 2 E - pgy, ox 2y(f)d 2 -T =-=-3 Ax 2 - 2 Bx - C。xydxdy(g)(5)考察边界条件。利用边界条件确定待定系数先来考虑左右两边x = 土 b, 2的主要边界条件：(a)= 0，( )= 0，()x x=b 2xy x=-b 2xy *=+b 2将应力分量式(e)和龟)代入，这些边界条件要求：)=-3 Ab 2 + Bb - C = 0 ( h)IAxy

24、 x=-b 24G )= 0，自然满足;x x=b 2)=-3 册-Bb - C = qy x=+b 24由得B=-2b(j)考察次要边界y = 0的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为)dx = j+b 2(6 Dx + 2 E)7x = 2 Eb = 0 ；-b 2 y y=0-b 2)xdx = j+b 2(6Dx + 2 E )xdx = = 0)dx = j+b2一3Ax2 + qx一C dx =- -b 2 xy y=0-b 21b )A3 - bC = 04E = 0D = 0(k)由（h）（j）（k）得将所得A、B、C、D、E代入式）（f）（g）得应力分量为:q

25、_ q x=0， y=6 膈 xy - by -pg，qqqT = 3x 2 + x -xyb 2b4填空题（每个1分，共10X1=10分）。1. 弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套方程，即 方程、方程以及 方程;在弹性体的边界上，还要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。2. 弹性力学基本假定包括 假定、假定、假定、假定和 假定。1. 平衡微分 几何 物理 应力 位移2. 连续 均匀各向同性完全弹性小变形一、单项选择题（每个2分，共5X2=10分）。1. 关于弹性力学的正确认识是4。A. 弹性力学在工程结构设计中的作用日益重要。B. 弹性力学从微分单

26、元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同不需要对问题作假设。C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象。D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。2. 所谓“完全弹性体”是指 B。A。材料应力应变关系满足胡克定律。B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关。C。本构关系为非线性弹性关系.D. 应力应变关系满足线性弹性关系。3. 所谓“应力状态”是指。A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同。B。一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变。C. 3个主应力作用平面相互垂直.D。不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。4 .弹性力学的基本未知量没有匚。A。应变分量。(

27、1)m = - sin p ；f = 0,f = 0y代入公式(1)，得fa cos p -t sin p = 0r cos p -a sin p = 0在x =成寸处，l = - cos a，m = - sin a .,f =y y cosax,f =y y sin ay代入公式(1)，得(1)(1)(1)(1)Bo位移分量。C。面力分量.Do应力分量.5.下列关于圣维南原理的正确叙述是L。Ao边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。B.等效力系替换将不影响弹性体的变形。Co圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意 平移.D.等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应 力分布，对于远离边界的弹

28、性体内部的影响 比较小。二、计算题(共15分)如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为y 的液体，右侧为自由表面。试写出以应力分量表示的边界 条件。解：在平面应力边界条件下，应力须满足。l +t m = f气 l + b m = f(1)(5)在 x = ytg p 表面处,l = cos p ，-a cos a -t sin a = y y cos a(1)xyx-t cos a -a sin a = y y sin axyy四、计算题(共10分)试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在，需满足什么条件? = Axy， = By3，y = C - Dy2 ；解：应变分量存在的必要

29、条件是满足形变协调条件，即a 2d 28g + =*dy 2dx2dxdy将各分量分别代入，得a 28x =0，ay 2a 28=0,ax 2a 2 =0 axay无论A、B、C、D取何值基本概念解释（24分，6小题）（1）弹性力学的基本假定（2）平面应变问题（3）平面应力问题（4）圣维南原理（5）逆解法（2）（2）（2）都满足形变协调条件。1、简单题（40分，4题）（1）列出图示全部边界条件。（2）求出下列应力函数的应力分量，并考察该应力函数是否满足相容方程A： O = x 4 y 2（3h 2 + 4 y 2）2h 3B： O =牛（4f -3y-1） + 票哗-y）4h 3h 10h 3h 根据圣维南原理，比较图示中OA边的面力是否等效，h b .X（2） 矩形截面的长柱,密度为P ,在一边侧面上受均布正应力q，试求应力分量，体力不计。