导数解题技巧

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1、导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：导数应用：导数一函数单调性一函数极值一函数最值一导数的实际应用.【考点透视】1 .了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的 定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2 .熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数 的导数.3.理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.【例题解析】考点1导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背

2、景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念 例1.(2006年辽宁卷)与方程二心-2ex + 1(x 0)的曲线关于丁 = x对称的曲线的方程为A. y = ln(1 +侦x)B. y = in(1yx) C. y = _m(1+工)D. y = _m(1x)考查目的本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力解答过程 y = e2x 2ex + 1(x 0) n (ex 1)2 = y， Q x 0,. ex 1，即：ex = 1 +y nx = ln(1+(y),所以 f -1(x) = ln(1 + vx).故选A.例2. ( 2006年湖南卷)设函

3、数f (x)二,集合M=xf (x) 0,若mMp,则实数a的取值范围是 x - 1()A.(-8,1)B.(0,1)C.(1,+8)D. 1,+8)考查目的本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.解答过程由xa 1时,1xa;当a1时,a x 1.综上可得mMp时，. a 1.考点2 曲线的切线(1) 关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P (x,y)的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.(2) 关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.典型例题例3.（2004年重庆卷）已知曲线=1X3+ 4，则过点P（2,

4、 4）的切线方程是,3 3思路启迪：求导来求得切线斜率.解答过程：时=X2,当X=2时，时=4.切线的斜率为4.切线的方程为y4=4 （X2），即y=4x4.答案：4xy4=0.例4. （2006年安徽卷）若曲线y = X4的一条切线,与直线X + 4y-8 = 0垂直，则l的方程为（）A. 4x- y-3 = 0B x + 4y-5 = 0C- 4 x - y + 3 = 0D- X + 4 y + 3 = 0考查目的本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.解答过程与直线x + 4y-8 = 0垂直的直线l为4x- y + m = 0，即y = X4在某一点的导数为4,而矿=4

5、x3，所以y = x4在（1， 1）处导数为4,此点的切线为4x-y-3 = 0.故选A.例5. （ 2006年重庆卷）过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+5=0相切的直线的方程为（）2A.y=-3x 或 y=1 xB. y=-3x 或 y=-1 x C.y=-3x 或 y=-1 xD. y=3x 或 y=1 x3333考查目的本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.解答过程解法1：设切线的方程为y = kx,:.kx - y = 0.又(X - 2+ (y +1=5,:圆心为(2,-1).2|2k +11M1:=产，.：3k2 + 8k -3 = 0.: k =

6、,k = -3. vk 2 +1=g /XX.:2(x - 2) + 2 (y +1) y / = 0,X 2,: y / = -.=-3,k = y /(2,-2)a 1:.y = -3x, y = 3 x.故选A.例6已知两抛物线q： y = x 2 + 2 x, C 2： y = - x 2 + . , a取何值时上有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.思路启迪：先对C1 : y = x2 + 2x, C2 : y = -x2 + a求导数.解答过程:函数y = x 2 +2x的导数为y= 2 x + 2，曲线G在点P(x , x2+ 2 x )处的切线方程为y - (x 2 + 2

7、 x ) = 2(x + 2)( x - x )，11111111即 y = 2(x1 +1) x - x曲线 C1 在点 Q(x2，-x22 + a)的切线方程是y - (-x2 + a) = -2x2(x - x2)即y = -2x2 x + x22 + a若直线l是过点P点和Q点的公切线，则式和式都是l的方程，故得x +1 = -x，-x 2 = x 2 +1，消去 x2得方程，2x 2 + 2x +1 + a = 012 12211若=4- 4x 2(1 + a) = 0，即 a = -1-时，解得x1 = - 1，此时点 P、Q 重合.当时a =- 1，和C 2有且只有一条公切线，由

8、式得公切线方程为* = . - 1 .考点3 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于 函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法， 进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法复习时，应高度重视以下 问题：1.求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值(最值);5.构造函数证明不等式.典型例题 例7.(2006年天津卷)函数f (x)的定义域为开区间(a, b)，导函数f，(x)在(a, b)内的图

9、象如图所示，则函数f (x)在开 区间(a,b)内有极小值点()A. 1个的应用能力.f (x)的极小值为-1，B. 2个C. 3个D. 4个考查目的本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识 解答过程由图象可见,在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点. 故选A.例8.设y = f (x)为三次函数，且图象关于原点对称，当x = 1时，2求出函数f ( x )的解析式.思路启迪：先设f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 丰 0)， 再利用图象关于原点对称确定系数.解答过程： 设 f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 丰 0)， 因为其图

10、象关于原点对称，即f (- x)=-f (x)，得ax3 + bx2 + cx + d = ax3 一 bx2 + cx 一 d,:.b = 0, d = 0,艮f (x) = ax3 + cx由 f(x) = 3ax2 + c，依题意，f(1) = a + c = 0，f ()=a + = -1，24282解之，得a = 4, c = -3.故所求函数的解析式为f (x) = 4x3- 3x.例9.函数y =-、.=的值域是.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为

11、容易。解答过程：由J2x + 4 0得，x -2，即函数的定义域为一2+。. x + 3 0,1_12、. x + 3 -、.2x + 4，、2x + 4 2 x + 32、2x + 4 ,、x + 3又 2 7+3 - v2 x + 4 =2x + 8=，2、x + 3 +、2x + 4当x -2 时，y 0，函数 y =2二7-.* 在(-2,+8)上是增函数，而 f (-2) = -1，. y =-* 的值域是-1,+0 .例10.(2006年天津卷)已知函数fG)= 4 x 3 - 3x 2 cose + 土 cos6，其中x 6 RR为参数，且0 0 0时，随x的变化f x)的符号及

12、f (x)的变化情况如下表:x(-8,0)0(0,号)cose(号,+8)f (x)+0-0+f (x)/极大值极小值/因此，函数f (x)在x=竺叱处取得极小值f(基)，且f (cose) = - 1cos3e+旦e222416要使f ) 0，必有 - 4河0(cos2 e-4) 0，可得0 cos。号由于0 cos*故:Y或寻 。 普-当时cos9 0，则cos9 0 .矛盾.所以当cos9 0时，f (x)的极小值不会大于零.综上，要使函数f(x)在(-8, +8)内的极小值大于零，参数9的取值范围为(、顷还,11%.(III) 解：由(II)知，函数f (x)在区间(-8, +8)与(

13、B +8 )内都是增函数。2由题设，函数f在(2a -1,a)内是增函数，则a须满足不等式组2a-1 a a 02a 一 1 cos 92由(II)，参数时(6,2 5号，芸)时0 cos 9 jcosO关于参数9恒成立，必有2。-1三，综上，解得a 0或土里 a -1，求fx)的单调区间.考查目的本题考查了函数的导数求法，函数的极值的判定，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程由已知得函数f (x)的定义域为(-1,+8)，且f(x)=竺三(a -1) x +1(1) 当-1 a 0时，f(x) 0 时，由 f (x) = 0,解得x = L.af (x)、f (x)随x

14、的变化情况如下表x(-1,1) aa(-,+8) af( x)0+f (x)极小值Z从上表可知当x日-1,1)时，f，(x) 0,函数f (x)在(1, +8)上单调递增.综上所述：当-1 a 0时，函数f (x)在(1,1)上单调递减，函数f (x)在(, +8)上单调递增. aa例12. (2006年北京卷)已知函数f(x) = QX3+ bx2 + cx在点x0处取得y = f -(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求:(I) x0的值；(II) a,b, c 的值.函数与方程的转化等基础知识的综考查目的本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区间上二次函数的最值,

15、合应用，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程解法一：(I)由图像可知，在(8,1)上f , (x) 0，在(1,2 )上f，(x) 0, 故f (x)在(-8, 1)，(2, +8)上递增，在(1,2)上递减，因此f (x)在x = 1处取得极大值，所以x0 = 1(I)f( x) = 3 ax 2 + 2bx + c,由 f ( 1) =0，f ( 2)= 0，f( 1)= 5，3a + 2b + c = 0,12a + 4b + c = 0,a + b + c = 5,解得 a = 2, b = 9, c = 12.解法二：(I)同解法一(H)设 f (x) = m(

16、x 1)(x 2) =mx 2 3mx + 2m, 又 f( x) = 3ax 2 + 2bx + c,所以 a = m, b = m, c = 2m32f (x) = m x3 mx2i + 2mx,32由 f (1)= 5,即 y 一 m + 2m = 5,得 m = 6,所以 a = 2, b = 9, c = 12例13. ( 2006年湖北卷)设x = 3是函数f (x )=(x 2 + ax + bx (x e Q的一个极值点.(I)求a与b的关系式(用a表示b )，并求f (x)的单调区间；(H)设a 0，山)=房+ 25 x 若存在8 ,8 ,4使得|fG)-gG) 1成立，求

17、a的取值范围.飞 4 J1 212考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解答过程(I) f(xj=x2+(a2)x+ba e3-x,由 fK(3)=0， 得 32+(a2)3+b ae3-3=0，即得 b=32a， 则 f(x)=x2+(a2)x32a a e3-x=x2+(a2)x3 3a e3-x= (x3)(x+a+1)e3x. 令f(x) = 0，得x1 = 3或x2=a 1，由于x=3是极值点，所以 x+a+1/0，那么 a/4.当 a3=x1，贝在区间(一8, 3)上，f0, f为增函数；在区间(一a1，+8)上，f K(x)4 时

18、，x23=x1，则在区间(一8，。一1)上，f K(x)0，f (x)为增函数；在区间(3，+8)上，f K(x)0时，f (x)在区间(0，3)上的单调递增，在区间(3, 4)上单调递减，那么f (x)在区间 0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f(0)=(2a+3) e30，f(3)=a+6,那么f(x)在区间0，4上的值域是(2a+3) e3，a+6.又g(x)=(a2 + 25)ex在区间0， 4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是a2+ 25， (a2+ 25 ) e4，4 4由于25 ) a 2 +4 01 (1V a 2 - a + 二 I a -

19、 04 I2 0所以只须仅须a + 6) 0，解得一 ，3。0 a 0，故f危)在(一8，1)上是增函数，f (x)在(1，+8)上是增函数.若x(1，1)，则f (x) V解答过程：(1)设切去的正方形边长为X,则焊接成的长方体的底面的边长为4-2x，高为x,所以，V = (4 - 2x)2 x = 4(x3 - 4x2 + 4x)，(0 x 2). V 1 = 4(3x2 - 8x + 4).令V = 0,得气= % = 2(舍去).而 V = 12( x -1)( x - 2)，又当x 0.当3 x 2 时,V； V .故第二种方案符合要求：1例16.油量y(2006年福建卷)统计表明，

20、某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗(升)关于行驶速度X (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y = X3 -%x + 8(0 x 120).已知甲、乙两地相距100千米.(I) 当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II) 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？考查目的本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力解答过程(I)当X = 40时，汽车从甲地到乙地行驶了 100 = 25小时，40.要耗没(一1 x403 - x40 + 8)x2.5 = 17.5 (升).12800080答：当汽

21、车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。(II)当速度为x千米小时时，汽车从甲地到乙地行驶了皿小时，设耗油量为h(x)升，依题意得Xh(x) = (-X3 - X + 8).些=L X2 + 800 至(0 X 120),12800080 X 1280 X 4h (x)=x 800640 x 2X3 803640X2(0 X 120).令 h(x) = 0,得 x = 80.当 x e (0,80)时，h,(x) 0,h(x)是增函数.当x = 80时，h(x)取到极小值h(80) = 11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以8

22、0千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【专题训练】一、选择题1. y=esinxcos(sinx), 则y(0)等于()A.0B.1C. - 1D.22.经过原点且与曲线y= x + 9相切的方程是(x + 5A.x+y=0 或丑 +y=025B. x - y=0 或4 +y=025C. x+y=0 或尘-y=025D.x - y=0 或三-y=025)B.一定是fx)的极值D.等于03.设犬x)可导，且/(0)=0,又 limfx) = - 1,则犬0)(XT0 XA.可能不是fx)的极值C.一定是fx)的极小值4.设函数f(x)=n2x2(1 - x)n(

23、n为正整数)，则f(x)在0,1 上的最大值为()A.0B.lC.(_M)D. 4(_)“i2 + nn + 25、函数 y=(x2-1)3+1 在 x=-1 处()D、无法确定极值情况A、有极大值B、无极值C、有极小值6. f(x)=ax3+3x2+2 , f(-1)=4，贝U a=()A、10 B、13 C、16D、1933337. 过抛物线y=x2上的点M( 1,1 )的切线的倾斜角是()A、300B、450C、600D、900 8、 函数f(x)=x3-6bx+3b在(0 , 1 )内有极小值，则实数b的取值范围是()A、( 0 , 1 ) B、(成，1 ) C、( 0 , +8)D、

24、( 0 , 1 ) 29、 函数y=x3-3x+3在_3 5上的最小值是()2, 2A、89 B、1 C、33D、58810、 若 f(x)=x3+ax2+bx+c，且 f(0)=0 为函数的极值，则()A、讨0B、当a0时，f(0)为极大值C、b=0 D、当a 0且a手1)的单调区间.16. 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时它的面积最大.三、解答题17. 已知曲线C : y=x3 - 3x2+2x,直线l:y=kx,且 l与C切于点(x0,y0)(x0丰0)，求直线/的方程及切点坐标.18. 求函数 f(x)=p2x2(1-x)p(peN+)，在0 , 1内的最大值.19

25、. 证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数20. 求函数的导数(1)y=(x2 - 2x+3)e2x;(2)y二工.3 1 - x21. 有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.22. 求和 S”=12+22x+32X2+.+2X -1,(x手0,eN *).23. 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.24. 设x=1与x=2是函数fx)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1) 试确定常数a和b的值；(2) 试判断x=1

26、,x=2是函数fx)的极大值还是极小值，并说明理由.25. 已知a、b为实数，且bae,其中e为自然对数的底，求证：aE.26. 设关于x的方程2x2 - ax -2=0的两根为a、P(a P)，函数fx)= 4x-a .x 2 +1(1) 求犬。)疑)的值；(2) 证明犬、)是a邛上的增函数；(3) 当a为何值时，fx)在区间a，8 上的最大值与最小值之差最小？【参考答案】一、1.解析 :y，=esinx cosxcos(sinx) - cosxsin(sinx) ，y，(0)=eo(1 - 0)=1.答案：B2.解析：设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k= y0，另一方面，y=( x

27、+ 9 )= -4 ，故 x0x + 5(x + 5)2y(x0)=k，即 _-4_ = y0 = x0 + 9 或 x02+18x0+45=0 得 x0(1)= - 3，y0(2)= - 15,对应有 y0(1)=3，y0(2)= -15+9 = 3，因此得两个切点 (x + 5)2 xx0( x0 + 5)-15 + 5 5A(-3,3)或B(- 15,3)，从而得y(A)=- 4=- 1及y(B)=- 4=_，由于切线过原点，故得切线：/A:y=- x或5(-3 + 5)3(-15 + 5)225lB-y=- x. 25答案：A3.解析：由.f，(0) = - 1，故存在含有 0 的区间

28、(a，b)使当 xe(a，b)，x*0 时 f s 0，当 xe(0，b)时，f (0) x xx 1 或x v- 2f(x)= _log/(3x2+5x - 2) -(6x + 5)Jog ,33x2 + 5 x - 2(3x 1)( x + 2) 若 i1,则当 x 1 时，log 炉 0,6x+50,(3x- 1)(x+2)0,.f(x)0,.函数犬乂)在(1,+时上是增函数，xv- 2时，f (x)v330.函数为)在(-8, - 2)上是减函数. 若0viv1,则当x 1时，f (x)v0,.fx)在(1,+时上是减函数，当xv- 2时，33f (x) 0,fx)在(-8,-2)上是

29、增函数.答案：(-8, - 2) A16. 解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为那么h=AO+BO=R+C；，解得x2=h(2R - h),于是内接三角形的面积为/JB=x h= :(2Rh-h2) -h = :(2Rh3 -h4),从而 Sf = 2(2Rh3 -h4)-2(2Rh3 -h4),1 ,一，、-十，、h 2(3R 2h)=(2Rh. h4) 2(6Rh2 4h3)= 令S=0,解得h= 3R由于不考虑不存在的情况，所在区间（0,2冷上列表如下： 2h(0, 3 R)23 R2(3,2R) 2S+0-S增函数最大值减函数由此表可知，当x= 3 R时，等腰三角形面积最大.2

30、答案：3 R2三、17.解：由l过原点知k= y0(x0*0),点(x。%)在曲线C上 ,y0=x03 - 3x02+2x0,X0. y0=x02 - 3x0+2,_y=3x2 - 6x+2,k=3x02 - 6x0+2X0又 k y ,.3Xr2 - 6Xr+2 X2 - 3Xn雹,2n2 - 3Xn 0,.Xn 0 或 Xn= 3 .000000000%02.y0=( 3 )3-3( 3 )2+2- 3 = 2228x041 X切点（3，-3).428.l 方程 y=-3 .,后 y0 = - 118.f(x) = p2x(1 - x)pT2 - (2 + p)x，令 f(x)=0 得，x

31、=0，x=1，x= 2,2 + p在0，1上，f(0)=0，f(1)=0，f() = 4r)p+22 + p 2 + p- f(x)= 4()2+p -max 2 + p19.设双曲线上任一点P(x0a2k = yi a 一，x=x0x 2. 切线方程0y *y），-a-(x - x x。2），令 y=0，则 x=2x0令 x=0，则=2a2x0.S = ；lxllyl= 2a2 -20.解：（1）注意到y0,两端取对数，得lny=ln(x2 - 2x+3)+lne2x=ln(x2 - 2x+3)+2x,.1. y =也卫也 + 2 = 2 - 2 + 2 =空工 y x2 - 2x + 3

32、x2 - 2x + 3x2 - 2x + 3.,=2(x2-x + 2). = 2(x2-x + 2).(x2 -2x + 3).心. x 2 - 2 x + 3x 2 - 2 x + 3=2(x2 - x + 2) - e2x.(2)两端取对数，得ln|y|= 1 (ln|x| - ln|1 - x|), 3两边解X求导，得-y = 1(1 -日)=1-,y 3 x 1 - x3 x(1 - x),111 x.y = 一 y =3.3 x(1 - x)3x(1 - x) 11 - x21. 解：设经时间t秒梯子上端下滑s米，则s=5-必二3，当下端移开1.4 m时，t= 1 =二3151 _

33、1又 s=(25 - 9t2)2 (- 9-2t)=9t1，2 25 9t 2所以 s(t0)=9x 71=0.875(m/s).157。,-25 - 9 x 命)222. 解：(1)当 x=1 时，=12+22+32+.+2= 1 (+1)(2+1)，当 x手 1 时，1+2x+3x2+.+X-1= 1-( +1)x” +心+1，两边同n6(1 - x)2乘以X,得x+2x2+3x2+. .+nxn= x - (” + 1)x”+1 + nx+2 两边对X求导，得(1 - x)2耳=12+28+38+.+心-1=1 + x (” +1)2 x” + (2”2 + 2” 一 1)x”+1 ”2

34、x”+2 . (1 - x)3 解：f(x)=3ax2+1.若a0f(x)0对xe(-8,+8)恒成立，此时fx)只有一个单调区间，矛盾.若a=0f(x)=1 0，.xe( -8，+时，/(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a0；：f (x)=3a(x+ 1 )(x -)，此时fx)恰有三个单调区间.av0且单调减区间为(-、，- L )和(二，+时，31 a I3laI单调增区间为(-，rU )24. 解：f(x)= a +2bx+1,刀 由极值点的必要条件可知：f(1)=f(2)=0,即a+2b+1=0,且a +4b+1=0,2解方程组可得 a= - 2 ,b= - 1，: fx)= - 2

35、 lnx - 1 x2+x, 3636(2f (x)= - 2 x-1 - 1 x+1，当 xe(0,1)时，f(x) 0,当 xe(2,+)时，f(x) a e,：.要证 ab ba,只要证 blna alnb,设 fb)=bna - alnb(b e),则f(b)=lna - a.bae,:.lna 1,且a 0.:函数犬b)=blna - alnb 在(e+时上是增函数， ：f(b)f(a)=alna-alna=0, bb即 blna - alnb 0,：blna alnb,：ab ba.l商证法二：要证 ab ba,只要证 blna alnb(e a e)，则 f (x)= Inx 0,：函数fx)在(e,+ xx2时上是减函数，又：eaf(b)，即 Ina lnb，: a ba. ab26.解：(1)f(a)= -8,柚=8，/(a)=f(B)=4,: : a2 +16 a- a2 +16 + a(2)设3(x)=2x2 - ax - 2,则当a x 8日寸，如) 0 (x2 +1)2(x2 +1)2.:.函数fx)在(a，8)上是增函数.(3)函数川)在a，8上最大值犬8)0,最小值犬a)0,.f(a)f(8)|=4,.：当且仅当犬8)=顼a)=2 时项8)顼a)=f(8)|+f(a)|取最小值 4，此时 a=0f(8)=2.