相关图及回归分析课件

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1、相关图及回归分析1第八章第八章 相关图及回归分析相关图及回归分析 相关关系相关关系：两个变量没有确定性的关系，但一个变量发生变化，另一 个也发生相应的变化；或两个变量在各种干扰因素的综 合 作用下表现出来的相互关联的关系称为相关关系。相关分析相关分析：研究两个变量之间相互关联的程度称为相关分析。相关分析方法相关分析方法：相关图是研究相关关系的图表法；回归分析是研究相关关系的数学方法，它帮助人们求得变量之间的 内在联系，以便在生产实践中进 行预测和控制。8.1 8.1 相关图相关图 8.2 8.2 相关系数相关系数 8.3 8.3 一元线性回归一元线性回归 8.4 8.4 一元正交多项式回归一元

2、正交多项式回归 8.5 8.5 多元正交多项式回归多元正交多项式回归相关图及回归分析28.1 8.1 相关图相关图 一一 概念概念：为了研究两个变量之间的相关关系，利用两个变量一一对应的数据做出的 坐标图称做相关图。通过相关图，可以直观地看出两个变量间的大致关系。二二 绘制程序绘制程序 例1 零件某部位进行化学铣，公差要求是1.50.1，现收集不同腐蚀时间下，腐蚀 深度的32组数据(如表)，试作相关图。(1)收集数据 数据要以(xi，yi)的形式成对出现；一般将原因变量作为x，结果变量作为y；数据对数 n应为3050对，本例n=32。(2)做坐标系o-xy 本例中，以腐蚀时间作为x，腐蚀深度作

3、为y。在确定坐标的长度单位时，应使x的散布范围与y的散布范围大致相等，否则 将会影响相关关系的直观性。(3)在坐标上描点 依每组数据的数值在坐标系中描点。如有两对数据的点落在 同一位置(即同点)，则用“”或“2”表示，若有三对、四对数据同点，则用 “”或“”或“3”、“4”表示，依此类推。三三 相关图的观察与使用相关图的观察与使用四四 简易相关检定法简易相关检定法五五 应用注意事项应用注意事项相关图及回归分析3腐蚀时间腐蚀时间腐蚀深度数据表腐蚀深度数据表序号腐蚀时间/s腐蚀深度/mm序号腐蚀时间/s腐蚀深度/mm序号腐蚀时间/s腐蚀深度/mm序号腐蚀时间/s腐蚀深度/mm18851.59984

4、71.50178601.50258741.5128281.46108491.42188641.48268791.5538351.40118501.46198651.54278811.5448351.45128521.52208671.57288821.5358391.43138511.55218691.55298841.5668361.48148561.47228701.52308881.5778421.43158591.45238701.57318911.5588471.47168591.52248731.48328921.58相关图及回归分析4腐蚀时间腐蚀时间-腐蚀深度相关图腐蚀深度相关图

5、8208308408508608708808909001.401.501.60腐蚀深度/mm腐蚀时间/s相关图及回归分析5图 形X与y关系主 要 结 论X变大时，y也变大。(强正相关)X是质量指标y的重要因素。通过控制因素x，可达到控制结果y的目的；(用于因素分析)代用质量指标x能很好反映真实质量指标y；(用于分析质量指标间的关系)两因素x、y有密切联系。(用于因素间关系分析)X变大时，y变小。(强负相关)X变大时，y大致变大。(弱正相关)X 是影响质量指标y的因素，同时还应考虑其它因素；(用于因果关系分析)代用质量指标x能在一定程度上反映真实质量指标y的情况，应当再考察其它代用质量指标；(用

6、于分析质量指标间的关系)两因素x、y有一定联系。(用于因素关系分析)X变大时，y大致变小。(弱负相关)X与y无任何关系。(无关)X 不是影响质量指标y的影响因素；(用于因果分析)X不能成为真实质量指标的代用质量指标；(用于分析质量指标间的关系)两因素x、y无关。(用于因素关系分析)yxyxyxyxyx+相关图的典型形状及用法表相关图的典型形状及用法表由表可知腐蚀深度与腐蚀时间之间具有线性正相关关系相关图及回归分析6四四 简易相关检定法简易相关检定法 1在相关图上分别画出中值线 和 ，使 左右两侧的点数大 致相同，上下两部分的点数大致相同。腐蚀深度/mm简易相关检定简易相关检定820830840

7、8508608708808909001.401.501.60()()()()n1=13n2=3n3=13n4=3xy腐蚀时间/sxxyy相关图及回归分析72x，y将相关图分为四个区域()、()、()、()，右上为()区，按逆时针顺序编号，记录下各区点数和线上点数。本例中n113，n2 3，n313，n43，线上点数0。3计算：Nn线上点数(n为数据对数)nn1n3 n-n2n4 本例中N32，n26，n-6 4确定显著性水平。一般取0.05，也可取0.01，0.10，0.25。5查符号检验表，据N和给定的查出对应的点数界限S(N)。本例中，N32，若0.05，则可查得S 0.05(32)9；若

8、0.01，则可查得 S 0.01(32)8。6检定相关性。将n+，n-中的较小值min(n+，n-)与S(N)比较，若 min(n+，n-)S(N)则判定在显著性水平下x，y相关，反之则 不相关。本例中 min(n+,n-)6S 0.05(32)9 min(n+,n-)6S 0.01(32)8 因此，腐蚀深度和腐蚀时间在0.05和0.01显著性水平下均判定具有相关关系。可 以通过腐蚀时间的变动范围预测腐蚀深度的变动范围；同时，可通过控制腐蚀时间达到控 制腐蚀深度的目的。相关图及回归分析8五五 应用注意事项应用注意事项 1数据一定要成对出现，否则无法制作相关图。2数据要先分层，再作相关图，否则会

9、出现判 断失误。3明确在什么范围内相关。4对相关图上出现的孤岛要查找原因，加以消 除，才能正确估计变量之间的关系。孤岛点 的出现常常是由于测量错误，数据记录错误 或操作条件变化引起的。相关图及回归分析9无关误判为相关无关误判为相关yxyxyxyx相关误判为无关相关误判为无关 相关图及回归分析10相关图注意事项相关图注意事项生产条件试验条件淬火温度/4042444648505254565860810830850870890yxyx铜的淬火温度与硬度相关图铜的淬火温度与硬度相关图带有孤岛的相关图带有孤岛的相关图相关图及回归分析118.2 8.2 相关系数相关系数一一 概念及计算概念及计算 1 二维

10、随机变量 的相关系数 相关系数是描述两个随机变量 线性相关关系的数字特征，也 称标准协方差，以记之。计算公式：特点：若 是 的线性函数，即 ，则有1；1；若 无线性相关关系，则0。但0并不表示 无其 他关系，此时，也可能具有明显的非线性关系。2 样本数据相关系数r二二 几何意义几何意义三三 相关系数的近似计算相关系数的近似计算四四 相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验YXYXYXYXYXXYYXEDDEYEXEDDYXCOV,YX,YX,YX,YX,XYYX相关图及回归分析122 样本数据相关系数样本数据相关系数r计算公式计算公式 运用随机变量x,y的n对样本数据可计算的 估计值，并以r记

11、之 特点特点 无名数 与Lxy同号例例2 2niniiiiixyyxnyxyyxxL11)(niniiiniiiyxnyx111)(1niinininiiiixxxnxxnxxxL121112222)(1)(niinininiiiiyyynyynyyyL121112222)(1)(Lxy称x、y偏差积之和Lxx称x偏差平方和Lyy称y偏差平方和yyxxxyLLLr1r相关图及回归分析13ixiyixi2yi2xiyi18851.597832252.52811407.1528281.466855842.13161208.88318911.557938812.40251381.05328921.5

12、87956642.49641409.362757948.272.685641564例例2 计算例1所给数据的相关系数解：首先作相关系数计算表如下：84375.8613227579x50625.1322.48y788.008435.022.1022013125.2313125.2350625.184375.861324156408435.050625.1326856.7222.1022084375.8613223779009112222212ryxnyxLynyLxnxLniiixyniiyyniixx相关图及回归分析14二二 几何意义几何意义与随机变量x，y的相关系数一样，由样本数据计算出的相

13、关系数r也具备如下特征：r1 r越趋近于1，线性相关的程度越强。r越趋于+1，正相关程度越强，r越趋于 -1，负 相关程度越强。r越趋近于0，说明两变量无关或具有非线性关系 r=1r=0.6r=0r=0r=-0.9r=-1 三三 相关系数近似计算相关系数近似计算)()21(NnNnrcossin如对例1)3210(sinr833.025.560sin相关图及回归分析15四四 相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验 设有两个随机变量 。由于样本的随机性，对于不同的样本数据，计算出的相关系数r也 不同；当随机变量 无关(即0)时，样本相关系数r却不一定为0，甚至当样本量较小 时，有可能样本相关系

14、数r数值却较大；当随机变量 线性相关关系较强时，即接近于1 时，样本相关系数r可能较小。因此，必须根据样本相关系数对母体 的相关系数是否为0进行统计检验。统计理论相关系数=0的临界值r(,n2)表 检验步骤 (1)计算样本相关系数r。(2)由相关系数0的临界值r(，n-2)表查出相对于给定的显著性水平和自由度 f n2的相关系数临界值r(,n2)。(3)比较r与r(,n2)。若rr(,n2)，则判断随机变量 在显著性 水平下 无关，即0；若rr(,n2)，则判断随机变量 在显著性水平 下存在线性相关关系，即0。例3 对例2计算的样本相关系数r进行显著性水平0.05和0.01的统计检验。解：由0

15、.05，fn232230，查表得相关系数临界值 r(0.05，30)0.3494；r(0.01，30)0.4487。r0.788r(0.01，30)r(0.05，30)腐蚀深度与腐蚀时间在显著性水平0.05和0.01下，均可判断存在着线性相关关系。YX,YX,YX,YX,YX,YX,相关图及回归分析16统计理论统计理论当p=0时，某一容量为n的样本的相关系数r的统计量，t服从自由度为n-2的t分布为此，可进行=0的假设检验 提出假设 确定显著性水平 若 原假设成立2)1(2nrrt)2(nt0:0H)2,2(22)1(ntnrrt)2,2(22)1(ntnrrt拒绝原假设，备择假设成立或2)2

16、,2()2,2(2nntntr成立0:1H0:1H当=0.05，0.01时，r相对于n的临界值见表相关图及回归分析170.050.01123456789101112131415160.996920.950000.87830.81140.75450.70670.66640.63190.60210.57600.55290.53240.51390.49730.48210.46830.9998770.990000.958730.917200.87450.83430.79770.76460.73480.70790.68350.66140.64110.62260.60550.5897n-20.050.01

17、17181920253035404550607080901000.45550.44380.43290.42270.38090.34940.32460.30440.28750.27320.25000.23190.21720.20500.19460.57510.56140.54870.53680.48690.44870.41820.39320.37210.35410.32480.30170.28300.26730.2540n-2相关系数相关系数=0的临界值的临界值r(，n-2）表表相关图及回归分析188.3 8.3 一元线性回归一元线性回归回归分析是研究两个随机变量相关关系的数学工具。应用它可找出

18、描述变量之间相关关系的 数学表达式，从而由一个变量的取值去估计另一个变量的取值，达到预测和控制的目的。一元线性回归是研究两个随机变量X、Y线性相关关系的方法。其目的是通过一系列的样本数 据(x1，y1)(x2，y2)(xn,yn)求得X、Y内在规律的数学表达式 上式称为X、Y的线性回归方程，简称回归方程。其中a,b是两个未知参数，称为回 归系数。回归方程在相关图中的图形即为回归直线。一一 回归方程的建立回归方程的建立 二二 回归直线的近似求法回归直线的近似求法 三三 回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验 四四 回归直线的应用回归直线的应用预测与控制预测与控制bxay相关图及回归分析19一一

19、 回归方程的建立回归方程的建立 最小二乘法：对于相关图，我们要寻找的回归直线应该是和所有观 测点拟合的最好的直线。而拟合最好的 标准是残差平方和最小。所 谓残差，是指当xi给定时，由回归直线估计出的 与实际数据yi的 差值。若以Q表示残差平方和，则有 可见，残差平方和Q反映了全部观测点(样本数据)对回归直线 的偏离程度。显然，Q越小的回归方程，越能较好地反映变量X、Y 之间的关系。这种求得回归方程 的方法称为最小二乘法。回归系数a，b的计算公式 例4yx（xi，yi）（xi，yi）bxayniniiiiibxayyyQ1122)()(iy bxay相关图及回归分析20采用最小二乘法得到以下回归

20、系数a、b的计算公式为 xxxyLLb 2112211)()(xnxxxLyxnyxyyxxLniniiixxniniiiiixy例例4 计算求出例1中腐蚀深度y对腐蚀时间x的回归方程84375.8613227579x50625.1322.48y44152.084375.86100226.050625.100226.022.1022013125.2313125.2350625.184375.861324156422.1022084375.861322377900912212aLLbyxnyxLxnxLxxxyniiixyniixxxy00226.044152.0由例3算出则回归方程为回归系数回

21、归系数a，b的计算公式的计算公式xbya相关图及回归分析21二二 回归直线的近似求法回归直线的近似求法 前边已经介绍了简易相关检定法，在此基础上，进一步介绍回归 直线的近似求法。其步骤是：1在 左右，分别作平行于oy轴的直线 和 ，使 两边的点子再次被平分2在 上下，分别作平行于ox轴的直线 和 ，使 上、下的点子 再次被平分；3 于()，()，()，()象限分别交于A，B，C，D 四点。若r0，连接A，C两点；若r0，连接 B，D两点；本例应连接AC，作出回归直线。4建立回归方程 如图，A点坐标为(876.5，1.550)，C点坐标为(848.0，1.465)。得直线方程为 x1x2xxy2

22、y1yy2121,yyxx064.1003.00.8485.8765.876465.1550.1550.1xyxyxxxxyyyyCAACAA即化简得相关图及回归分析22回归直线的近似求法回归直线的近似求法8208308408508608708808909001.401.501.60()()()()n1=13n2=3n3=13n4=3ABDCx1x2xy1y2y腐蚀深度/mm腐蚀时间/s相关图及回归分析23三三 回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验 检验回归方程的显著性问题，就是检验随机变量 Y与X之间是否存在线性关系。归根结底，就是检 验回归方程yabx中的b是否为零的问题。一种检验方法

23、是先求出X、Y的相关系数r，然后 再对r进行显著性检验，通过验证X、Y具有相 关 关系，回归方程才有意义。另一种检验方法是在不通过r的计算和检验，直 接运用方差分析进行显著性检验。方差分析程序 例5相关图及回归分析241 计算总波动平方和ST及自由度f回2 计算回归平方S回和及自由度f回 3 计算残差平方和Se及自由度fe4 作方差分析表，计算方差及F值 5 显著性检验 当FF 0.05(1，n2)时，回归关系不显著；当F 0.05(1，n2)FF 0.01(1，n2)时，回归关系显著；记为*；当FF 0.01(1，n2)时，回归关系高度显著。记为*。21112nnfffyySTeniiie回

24、）（回SSSTeniyyiTLyyS12)(nixyxxibLLbyyS122）（回方差来源波动平方和S自由度f方差VF显著性回归残差S回Se1n-2V回=S回/1Ve=Se/n-2*或*或不显著总和STn-1eVVF回1 nfT1回f相关图及回归分析25例例5 5 运用方差分析对例4建立的回归方程 进行显著性检验。解：由相关系数计算表 回归直线高度显著 56.79.4800107.005228.005228.003207.005228.008435.005228.013125.2300226.008435.030101.0），（回回回回FFVVFVSSSbLSLSeTexyyyT31132T

25、f301311eff回90.4800107.003207.0eV方差来源波动平方和SfVF显著性回归残差0.052280.032071300.052280.0010748.9 *总和0.0843531xy00226.044152.056.7)30,1(01.0F相关图及回归分析26四四 回归直线的应用回归直线的应用预测与控制预测与控制 建立了随机变量X、Y之间的回归方程，并经检验回归方程有意义之后，便可以应用回归方程 对生产进行预测和控制。所谓预测，是指对任一给定的x，推测相应y的散布范围；所谓控制，是指若需使y在y1,y2范围内取值，估计应将变量x控制在什么范围。预测和控制是一个问题的两个方

26、面。残差分布 控制限的确定 例6 考虑回归方程稳定性时的估计与预测问题相关图及回归分析27f（y）yxbxay残差分布残差分布只要1，样本数据点就不会全部 落在回归直线上，而是在回归直线附近的一定范围内散布。一般说来，当给定x0时，y0的取值是以 为中心的正态分布，其方差和均方差为：bxay00bxayeeVnSS222eeVnSS2211222)(ynyyyLLbLbLLSniniiiyyxxyyxyyye2)1(222222nLrnLLLLLLnLbLyyyyxxyyxxxyyyxxyy相关图及回归分析28 由正态分布表可知：y0落在 范围内的概率约为99.73%；落在 范围内的概率约为9

27、5.45%；落在 范围内的概率为68.27%。假若在回归直线 两边分别作平行于 、距离为3S的直线。当给定x0时，有99.73%的把握断定，此时y0的值介于y01与y02之间。反之，当需控制y在y1，y2区间取值时，有99.73%的把握断定必须将x的取值控制在x1,x2区间内。y01y2y1y02取值范围yxx2x0 x1（b0）y01y2y1y02取值范围yxx2x0 x1（b0）y上=a+3Sy+bxy=a+bxy下=a-3Sy+bxy上=a+3Sy+bxy下=a-3Sy+bxy=a+bx 利用回归直线进行预测和控制当事先约定把握性不是99.73%，而是95.45%时，则平行于 的两条直线

28、分别为ya2Sbx。Sy30Sy20Sy0bxaybxaybxay控制限的确定控制限的确定yy相关图及回归分析29根据上例所给数据，当把握度为95.45%时，预测腐蚀时间为870秒时腐蚀深度 y的分布范围；公差要求为1.50.1，此时，腐蚀时间应控制在什么范围 解：由上例，回归方程为即当腐蚀时间控制在843.78，874.38时，合格品率将达到95.45%。200226.037610.06.1x100226.050694.04.1x46.145926.187000226.050694.059.15901.187000226.037610.0下上yyxxbxSayxxbxSay00226.050

29、694.000226.003271.0244152.0200226.037610.000226.003271.0244152.02下上03271.000107.000107.000226.044152.0SVxye因此有将x=870代入y上、y下分别得即此时有95.45%的产品腐蚀深度y散布在范围1.46，1.59内。基本符合公差要求，但 中心值偏上限。当y的要求为1.50.1时，即y11.4，y21.6，将y1代入式y下得 将y2代入式y上得例例6 678.84300226.050694.04.11x38.87400226.037610.06.12x相关图及回归分析30考虑回归方程稳定性时的

30、估计与预测问题考虑回归方程稳定性时的估计与预测问题回归方程稳定性是指在除x以外其它试验条件基本不变的情况下，由不同样本观测数据得到的回归直线及回归系数的统计性质回归系数a，b及回归直线的统计性质回归方程稳定性影响因素 x的位置x的取值范围不能随意外推 n的大小估计问题与预测（预报）问题axxbxxaLLxn21yyyLxxn2)(1xxyLxxn2)(11xxyLxxn2)(112)1(2nLryyxxyLxxn2)(1其中：b相关图及回归分析31 x值越接近样本数据 时，预测和控制的精度越高；反之 精度越低。这是因为数理统计的理论证明，实际数据点 的波动范围如图中阴影所示。因此，使用 附近的

31、中段 进行预测和控制效 果最佳。yx样本数据的波动范围yx 超出x取值范围，原有回归直线的假定有可能不再成立。x的取值范围不能随意外推的取值范围不能随意外推xx回归范围X的取值范围不能随意外推相关图及回归分析32估计问题与预测（预报）问题估计问题与预测（预报）问题1 估计：即给定x=x0，求均值 的估计2 预测（预报）：即给定x=x0，预测 的取值区间00 xyxexxxVnFLxxnbxabxabxay211,05.0200000估计区间半径区间估计点估计00 xyexxVnFLxxnbxabxabxay2111,05.0200000预测区间半径区间估计点估计例例7相关图及回归分析33例例7

32、 一对变量（x，y)其实验数据如下表。试分析x，y之间的回归关系，并求出当x=95，y=95%时的置信区间和预报区间。Xi708090100110yi11.2511.2811.6511.7012.14ixiyixiyixi2yi21234570809010011011.2511.2811.6511.7012.14787.5902.41048.51170.01335.44900640081001000012100126.5625127.2384135.7225136.8900147.379645058.025234.841500673.7930平均9011.604（1）作数据计算表相关图及回归分

33、析34（2）建立回归方程）建立回归方程100090541500222xnxLixx22604.119058.5243yxnyxLiixy022.0LxxLxyb624.990022.0604.11xbyaxy022.0624.9（3）方差分析）方差分析13.10)05.0(13F12.34)01.0(13F来源SfVF显著性S(%）X(回)e0.48400.0449130.4840.01532.27*0.46900.0688.6711.33T0.5289n-1=40.5290100相关图及回归分析35（4）区间估计）区间估计点估计区间估计 11.599，11.969区间半径（5）预报区间）预报

34、区间950 x185.0015.013.101000909551)(12)05.0(1320exxVFLxxn714.119522.0624.9)(0 xy点估计区间半径714.119522.0624.9)(0 xy431.0015.013.1010009095511)(112)05.0(1320exxVFLxxn预报区间 11.283，12.145相关图及回归分析368.4一元正交多项式回归一元正交多项式回归一、一、一元正交多项式回归简述一元正交多项式回归简述二、二、等距点上的正交多项式等距点上的正交多项式 1 等距点等距点 2 等距点上的正交多项式等距点上的正交多项式 3 对于对于k个等距

35、点来说，最多可展开到个等距点来说，最多可展开到k-1阶多项式，但阶多项式，但 一般来说，不论一般来说，不论k多大，常展开到五阶多项式多大，常展开到五阶多项式三三、一元正交多项式回归、一元正交多项式回归 1 正交多项式回归系数计算公式正交多项式回归系数计算公式 2 回归系数的统计分析回归系数的统计分析 3 建立回归方程建立回归方程相关图及回归分析37一元正交多项式回归简述一元正交多项式回归简述 n阶多项式回归方程：对x、y的任何关系，均可用一元n阶多项式回归（曲线拟和）的方法来得到n阶多项式回归方程。但是由于多项式回归方程各系数的估计是统计相关的。若某一阶系数经显著性检验是不显著的，此时整个回归

36、方程失去意义，回归方程须重新配置。为此以正交多项式回归代替多项式回归。一元正交多项式回归方程：其中P1(x)，P2(x)Pn(x)为正交多项式，各多项式系数统计无关。nnxxxy2210)()()(2211xPxPxPynn)()()(22110 xPbxPbxPbbnn相关图及回归分析38（1）等距点）等距点 若有一组点x1，x2xk，该组点可能是k个观测点的自变量取值；也可能是因素x的k个水平。若x为连续变量时，该组点满足式 则称该组点为等距点。给出一组等距点，则可以求出相对这组等距点上的正交多项式hxxii1h间隔相关图及回归分析39（2）等距点上的正交多项式）等距点上的正交多项式若等距

37、点为x1，x2xk，xxxP)(1KiixKx112222)1(121)()(hKxxxP2233)(2073)()(hxxKxxxP42222244560)9)(1(3)(14133)()(hKKhxxKxxxP42423255)(100840723015)(18)7(5)()(hxxKKhxxKxxxP相关图及回归分析401 正交多项式回归系数计算公式正交多项式回归系数计算公式KiiijjjjjyWhSbyb101：、的间隔：次多项式的系数：阶数ijjjijWSxhjbj:若已知（xi、yi）的K组数据；xi为一组等矩点；一元正交多项式回归方程为)()(55110 xPbxPbbyj次多项

38、式在正交多项式系数表中的表值 例例 已知表中试验数据，试确定选配二阶正交多项式回归方程 解i金属成分之和 x膨胀系数 y123456737.038.039.040.041.042.043.03.403.002.101.531.802.352.90280.0017.08均值=40.0=2.44 计算公式计算公式xy相关图及回归分析41 解解：x为等间隔（h=1），可用正交多项式回归分析方法，回归方程形式：16.090.2500.304.3512841111.090.2300.3)2(4.3)3(128144.2)90.240.3(71712222211171110iiiiiiyWhSbhSyWb

39、yb查正交多项式表，K=7时对b1：3,2,1,0,1,2,3287654321WWWWWWWS对b2：5,0,3,4,3,0,5847654321WWWWWWWS)(22)(110 xxPbPbby相关图及回归分析422 回归系数的统计分析（显著性检验）回归系数的统计分析（显著性检验）（1）总波动平方和及自由度（4）用方差分析法分别检验其显著性（3）分解公式（2）j阶正交多项式波动平方和及自由度KyyyKyyySKiiKiiKiKiiiT211221122)()(1KfTKiiijjjbjyWSS122)(11bjfemibjTemjbjTfffSSS11 检验程序检验程序 例例相关图及回归

40、分析43例题：回归系数的统计检验例题：回归系数的统计检验80.2)90.200.340.3(91)90.200.340.3(2222TS4116）（ef6Tf11bf34.090.3300.3240.3328121）（）（bS12bf23.290.2500.3040.3584122bS23.023.034.080.2）（eS方差分析表方差分析表来源SfVFS(%)b1b2e0.342.230.231140.342.230.065.6737.17*0.282.170.3510.077.512.5T2.8062.80100查正交多项式系数表，对b1：K=7时：282SW13W40W73W62W51

41、W31W22同理，相关图及回归分析44（3）建立回归方程）建立回归方程）（）（xPxPbby222016.044.2）（15968016.044.22xxy8.25780.1216.02xx）（xP215968011712140222xxx）（）（2221121hKxx）（）（0021，相关图及回归分析458.5 多元正交多项式回归多元正交多项式回归例例一一 试验数据统计分析试验数据统计分析二二 正交多项式回归方程的确立正交多项式回归方程的确立相关图及回归分析46例例：某试验目标值为m，因素水平表、试验安排及数据表如下：试建立多项 式回归方程123备注123A1B1C1A2B2C2A3B3C3

42、水平为等间隔 hA水平为等间隔 hB水平为等间隔 hC因素水平 1 2 34yi A B C11111y121222y231333y342123y452231y562312y673132y783213y893321y9T1T2T3TA1TA2TA3TB1TB2TB3TC1TC2TC3No.列号因素因素水平表试验安排及试验数据91iiyT相关图及回归分析47试验数据的统计分析试验数据的统计分析1 总偏差平方和及自由度总偏差平方和及自由度niTmiyS12)(2）（mynmS2 均值偏差平方和及自由度均值偏差平方和及自由度4 波动平方和及自由度分解公式波动平方和及自由度分解公式eAlmTeCqCl

43、BqBlAqAlmTffffSSSSSSSSSnTf1mf3 各因素一次项、二次项的波动平方和及自由度各因素一次项、二次项的波动平方和及自由度以A因素为例：KiAiiAqKiAiiAlTWSrSTWSrS122222121121)(1)(11Alf水平试验数据之和因素第：各水平试验重复次数：水平号，iATrKiiAi1同理可求，B、C因素一次、二次项波动平方和及自由度5 方差分析表方差分析表1Aqf相关图及回归分析48方差分析表方差分析表方差来源方差来源SfVS100m1Al1Aq1Bl1 Bq1Cl1 Cq1e2（）4T9100121312)(1SrTWSiAiAil2231222)(SrT

44、WSiAiAiq121312)(1SrTWSiBiBil121312)(1SrTWSiCiCil2231222)(SrTWSiCiCiq2231222)(SrTWSiBiBiqqlAAmTeSSSSS()qlqCCBlBSSSSqqCBeeSSSS21)(mySniiTllAASVqqAASVllBBSVqqBBSVllCCSVqCqCSV2eeSV 4eeSV 9TTSVeAAVSSlleAAVSSqqeBBVSSlleCCVSSlleeeVSS2TSTAASSllTAASSqqTBBSSllTCCSSllTeeSSmmSV emmVSS/TmmSS2)(mynSme相关图及回归分析492 正交多项式回归方程的确立正交多项式回归方程的确立正交多项式回归方程形式为：KiiAijjAjjjACBAAATWhSrbybCCbBBbhKAAbAAbby10112222101)()(121)()(CBAAAAbbhTTTbhTTb112312111223111123223，同理可求，