高三一轮复习“求数列的通项公式”专题讲座

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1、高三一轮复习“求数列的通项公式”专题讲座班级 姓名 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式 通项公式，在求数列问题中尤其重要。数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，求数列的通项公式是最近几年高考的热点内容之

2、一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。以下是归纳总结出的九种求解数列通项公式的方法，希望能对同学们的高三数列复习有所帮助。一不完全归纳法例1：求下列数列的通项公式（1）， （2），（3），1，解：（1） （2）an= （3） an=例2：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为： （2） （3） （4）.评注：认真观察所给数据的结构特征，找出an与n的对应关系，正确写出对应的表达式。观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。 二公式法如果已知数列为等差（或等比）数列，可直

3、接根据等差（或等比）数列的通项公式，求得，d（或q），从而直接写出通项公式。例1. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ）(A) (B) (C) (D) 解：设等差数列的公差位d，由已知，解得，又是递减数列， ， ，故选(D)。例2. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。解：由题意，又是等比数列，公比为，故数列是等比数列， 例3等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式解：设数列公差为成等比数列，即，得，由得：，点评：利用公式法求数列通项时要注意不用错公式，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。三累加法求形如（为等差或等比数

4、列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，n1得到n1个式子累加求得通项。例1已知数列an中，a1=1，对任意自然数n都有，求解：由已知得，（） （）（） （）将以上个式子累加可得，点评：累加法是反复利用递推关系得到n1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n1项的和，要注意求和的技巧例2. 已知数列6，9，14，21，30，求此数列的通项。解 各式相加得四用之间的关系式：求数列的通项公式。用此公式时要注意：结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a1和an合为一个表达式。无论是任何情况下用此关系式，就一定要注意分两种情况讨论，这样

5、一般就会把出错的可能性降低到最低限度例1已知数列an的前n和满足求此数列的通项公式。解 ：由条件可得，所以例2. 数列an满足an =5Sn3，求an。解：1.当n=1时，有a1=5an3，a1=。2.当时由于an =5Sn3则 an-1 =5 Sn-13 得到anan-1=5（SnSn-1） anan1 =5an 故an=an-1，则an是公比为q=、首项an=的等比数列，则an=（）n-1例3在数列中，+2+3+=，求 。例5.解。当时，令=+2+3+=， 则=+2+3+=， 则=， =()满足上式，所以=（）例4设数列的前n项和=，求 例6.解：当时，解得=1由=，得=， =+（） =+

6、，两边同乘以，得=+2，即：=2 数列是首项为2且公差为2的等差数列， =2+=， = 评注：递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=SnSn1（n2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过an=SnSn1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=SnSn1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n1项和的关系，再根据新的递推关系求出之后再求通项公式。五迭代法求形如(其中为常数) 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。例1已知数列an满足a1=1，且，求解：an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32

7、an-2+31+1=3n-1a1+3n-21+3n-31+31+1=高三一轮复习“求数列的通项公式”专题讲座班级 姓名 六连乘法若数列an能写成的形式，则可由， ， 连乘求得通项公式。例1已知数列an满足，求an的通项公式。解 , 两式相减得,，于是有以上各式相乘，得，又a1=1，an=n (nN)例2在数列中，（），求通项。解：由已知，又，所以=七求解方程法若数列an满足方程时，可通过解方程的思想方法求得通项公式。例1已知函数求数列an的通项公式。解 ： 由条件即，又an0，八构造法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求

8、其通项公式。例1在数列中，求。解：在两边减去，得 是以为首项，以为公比的等比数列，由累加法得= 九用待定系数法求an=Aan1B型数列通项例1:在数列an满足a1=1且an12an=1，求其通项公式。解：由已知，an12an=1，即an=2 an11 令anx=2（an1x），则an=2 an13x，于是3x=1，故x= an=2（an1）故 an 是公比q为2，首项为an=的等比数列an=（2）n1，=。评注：一般地，当A1时令anx=A（an1x）有an=A an1（A1）x，则有（A1）x=B知x=，从而an=A（an1+），于是数列an是首项为a1+，公比为A的等比数列，故an=（a1

9、+）An1，从而an=（a1+）An1；特别地，当A=0时an为等差数列；当A0，B=0时，数列an为等比数列。推广：对于an=A an1f（n）（A0且AR）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。例3：在数列an满足a1=1且an=2an1（n2），求an。解：令anx =2（an-1x）则an=2an1+ 2x x =2an1+ x =2an1+ 5x而由已知an=2an1故5x=1，则x=。故an 2（an1）从而数列an是公比为q=2、首项为a1=的等比数列。 于是an=2n1，则an=2n1 = （2n+3）评注：一般情况，对条件an=Aan1+f（n）而言，可设an+g（n）

10、=Aan1+g（n1），则有Ag（n1）g（n）=f（n），从而只要求出函数g（n）就可使数列 an+g（n）为等比数列，再利用等比数列通项公式求出an。值得注意的是an+g（n）与an1+g（n1）中的对应关系。特别地，当f（n）=B（B为常数）时，就是前面叙述的例1题型。这种做法能否进一步推广呢？对于an=f（n）an1+g（n）型数列可否用待定系数法求通项公式呢？我们姑且类比做点尝试：令an+k（n）=f（n）an1+k（n1），展开得到an =f（n）an1+f（n）k（n1）k（n），从而f（n）k（n1）k（n）= g（n），理论上讲，通过这个等式k（n）可以确定出来，但实际操作上

11、，k（n）未必能轻易确定出来，请看下题：数列an满足a1=1且an=an1+，求其通项公式。 在这种做法下得到k（n1）k（n）=，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k（n）来。例4已知数列an满足a1=1且an+1=，求an。解：由an+1=有 = = + 即= 所以，数列是首项为=1、公差为d=的等差数列 则=1+（n1）= 从而an=评注：注意观察和分析题目条件的结构特点，对所给的递推关系式进行变形，使与所求数列相关的数列（本例中数列）是等差或等比数列后，只需解方程就能求出通项公式了。例5已知数列满足求an解：将两边同除，得，变形为设，则令，得条件可化成，数列为首项，为公差的等

12、比数列因，所以=得=点评：递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型例6已知数列满足求an解：设展开后，得由，解得，条件可以化为得数列为首项，为公差的等比数列，问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得点评：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由求出，从而化归为上述已知题型九数学归纳法例1：数列an满足a1=4且an=4（n2），求an。 解：通过递推关系求出数列前几项如下 a1=4=2+ a2=4=3=2+ a3=4=2+ a4=4=2+ a5=4=2+ a6=4=2+ 猜想：通项公式为an=2+。下用归纳法给出证明 1 显然，当n=1时，a1=4=2+，等式成立 2假设当n=k时，等式成立，即ak=2+则当n=k+1时，ak+1=4=4=4=2+2=2+ 由归纳法原理知，对一切nN+都有an=2+。 评注：先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。第8页（共8页）