材料力学 第06章弯曲变形

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1、目录1弯弯 曲曲 变变 形形第第 六六 章章目录2第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-1 6-1 概述概述6-2 6-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程6-3 6-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形6-4 6-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形6-5 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施6-6 6-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁目录目录目录36-1 6-1 概概 述述6-1目录46.1概述概述工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往往还有刚度要求，即要工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往往还有刚度要求，即要求它的变形不能

2、过大。变形过大会导致加工精度、配合等就问题，求它的变形不能过大。变形过大会导致加工精度、配合等就问题，因此，变形超过允许数值，也认为是一种失效。因此，变形超过允许数值，也认为是一种失效。目录56-1 6-1 概概 述述目录66-1 6-1 概概 述述目录76-2 6-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程1.1.基本概念基本概念挠曲线方程：挠曲线方程：)(xyy 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：dxdy tan挠曲线挠曲线yxxy挠度挠度转角转角挠度挠度y y：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向

3、的位移y向上为正向上为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正逆钟向为正6-2目录82.2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导纯弯曲正应力时，得到：推导纯弯曲正应力时，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1 6-2 6-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程目录9由数学知识可知：由数学知识可知：3222)(1 1dxdydxyd 略去高阶小量，得略去高阶小量，得221dxyd 所以所以zEIxMdxyd)(22 2M(x)0M(x)0Od ydx2 0 xyM(x)0Odxd y 022yx

4、M(x)b。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）弯矩方程）弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11110,AC AC 段：段：lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：6-3 6-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB目录163 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxydEI 1211112)(CxlFbxEIdxdyEI 1113116DxCxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)

5、()(2222222axFxlFbxMdxydEI 2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEI 2223232)(662DxCaxFxlFbEIy CB CB 段：段：lxa26-3 6-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB目录174 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数0)(,22 lylx0)0(,011 yx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx )()(,2121ayayaxx lFbFblCC661321 021 DD6-3 6-3 用

6、积分法求梁的变形用积分法求梁的变形maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB目录185 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIyCB CB 段：段：lxa26-3 6-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB目录196 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0 dxd

7、)(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，0 dxdy)(39)(,3322max22EIlblFbyblx 6-3 6-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB目录206-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形积分法求梁变形时注意的几点：积分法求梁变形时注意的几点：1、坐标原点和指向的选择、坐标原点和指向的选择坐标原点和指向的选取一般应使坐标原点和指向的选取一般应使M（x）的表达式尽量简单，但）的表达式尽量简单，但采用采用x轴各左为正的坐标系时，剪力轴各左为正的坐标系时，剪力Fs与常规坐标系相差一个负与常规坐标系相差一个负号，（号

8、，（x轴各左为正，轴各左为正，y轴向上为正时）正的轴向上为正时）正的角表示顺时针方向。角表示顺时针方向。在应用连续性条件明应注意。（考试和作业时，统一为在应用连续性条件明应注意。（考试和作业时，统一为xt轴向右轴向右为正，为正，y轴向上为正。）轴向上为正。）2、挠曲线微分方程分段时，若两段梁的、挠曲线微分方程分段时，若两段梁的x1,x2坐标遵循如下原则时坐标遵循如下原则时,则必有积分常数则必有积分常数C1C2、D1D2，以使积分常数的确定较为简单。以使积分常数的确定较为简单。x1,x2坐标具有相同的坐标原点和指向。坐标具有相同的坐标原点和指向。若若a为常数，则积分为常数，则积分(x-a)项积分

9、时，把项积分时，把(x-a)看用一个变量。看用一个变量。目录216-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形3、max和和ymax所在位置的判断、对称性的利用所在位置的判断、对称性的利用积分法求梁变形时注意的几点：积分法求梁变形时注意的几点：悬臂梁所受截荷对固定端之矩具有相同符号时，悬臂梁所受截荷对固定端之矩具有相同符号时，max和和ymax总是出现在自由端。总是出现在自由端。简支梁的简支梁的max总是出现在左或右支座截面处。总是出现在左或右支座截面处。Ymax根据求函根据求函数极值的原下，总是出现在数极值的原下，总是出现在0的截面处。若简支梁受对称载荷的截面处。若简支梁受对称载荷作用时，则在

10、梁跨中点截面上，作用时，则在梁跨中点截面上，0并有并有ymax。一般地，对称结构受到对称载荷作用时，在对称截面上（该截一般地，对称结构受到对称载荷作用时，在对称截面上（该截面处不安装中间铰），转角为面处不安装中间铰），转角为0目录22讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？6-3 6-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形目录236-4 6-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形)(22xMEIydxydEI 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则

11、有：)(xMEIyii 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：i iy)(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)()(11xMyEIyEIniinii 6-4目录24故故 )(1 niiyy由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此,1niiniiyy1重要结论：重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和

12、。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。6-4 6-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录25例例3 3 已知已知简支梁受力如图示，简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C 截面截面的挠度的挠度y yC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCyyyy 321BBBByC1yC2yC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的挠度和挠度和B B截面的转角截面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIq

13、lyC1643解解6-4 6-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录26yC1yC2yC33 3）应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB6-4 6-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录27例例4 4 已知：已知：悬臂梁受力如图悬臂梁受力如图示，示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先

14、，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。Cy6-4 6-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录28Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC ,248128234222lEIqlEIqllyyBBC EIqlC631EIqlC4832 EIqlyyiCiC384414213 3）将结果叠加）将

15、结果叠加 EIqliCiC4873212 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。6-4 6-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录29讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？6-4 6-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形目录306-5 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.1.刚度条件刚度条件,maxmax yy建筑钢梁的许可挠度建筑钢梁的许可挠度：1000250ll机械传动轴的许可转角机械传动轴的许可转角：30001精密

16、机床的许可转角：精密机床的许可转角：500016-5目录31 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处转角不超过许用数值。处转角不超过许用数值。B1 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为：EIFlaB3解解6-5 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施例例5 5 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转

17、角角 =0.5=0.5。根据刚度要求根据刚度要求确定轴的直径确定轴的直径d d。表6-1(5)，Me=Fa目录32例例6 6 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5=0.5。根据刚度要求根据刚度要求确定轴的直径确定轴的直径d d。B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径：B 111mmm101115.010206318012102064318064342934EFlad6-5 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度

18、条件及提高梁刚度的措施 1803EIFla EFlaI3180 EFlad3180644目录336-5 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施2.2.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状目录342 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式6-5 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录352 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型6-5 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施%

19、5.6212CCww目录363 3）采用超静定结构）采用超静定结构6-5 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录373 3）采用超静定结构）采用超静定结构6-5 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录386-6 6-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁1.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余

20、支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变比较变形，列变形协调条件形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用利用静力平衡条件求其他约束反力。静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统6-6目录39 2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解解例例6 6 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1

21、1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统(d)ABCFByABFC0)()(ByFBFBByyy6-6 6-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁3 3）进行变形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协调条件调条件目录404 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32EIaFyByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy474 4）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 )(43),(2FFFaMAy

22、A6-6 6-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁 2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a)aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MA Ay yF F目录41例例7 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度两端固定，梁的抗弯刚度均为均为EIEI，F F=40kN=40kN，q q=20kN/m=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。从从B B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静

23、定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BByyBBFFFByB1 FByB2物理关系物理关系EIFEIqyBB3484341 EIFEIFyBB3424362322 解解6-6 6-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁目录42FB FByB1yB2kN75.84842046104023342BF代入得补充方程：代入得补充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234确定确定A A 端约束力端约束力04,0 qFFFBAykN25.7175.82044 BAFqF0424,0 BAAFqMM mkN12575.8422044

24、24 BAFqM6-6 6-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁目录43FB F ByB1yB20,0 FFFFCBy确定确定B B 端约束力端约束力 kN75.4875.840 BCFFF042,0 BCCFFMM kN.m11540275.8424 FFMBC6-6 6-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁目录44A A、B B 端约束力已求出端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力图和弯矩图)()(25.7175.875.48 kN SF)(kN25.71 AF)kN(75.48 CF)(mkN125 AM)m(kN115 CM)(12

25、511594.15.17)mkN(M)(6-6 6-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁目录45小结小结1 1、明确挠曲线、挠度和转角的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念2 2、掌握计算梁、掌握计算梁变形的积分法和叠加法变形的积分法和叠加法3 3、学会用、学会用变形比较法解简单超静定问题变形比较法解简单超静定问题目录46第六章作业第六章作业6.1a6.1a、d d6.3b6.3b6.10b6.10b6.11d6.11d6.366.36目录47讨论与分析讨论与分析1、计算杆件的变形能时可以利用叠加原理 2、等截面杆受轴向力P1、P2作用，由P1、P2引起的杆件变形能分别为U1

26、、U2，则杆件的总变形能为：U=U1+U2关于叠加法错，只有线性关系才能满足叠加原理错。同1目录48讨论与分析讨论与分析EIqlEIqlEIqlEIql48438453487272714444），（），（），（）（2、弯曲刚度为EI的双跨梁在载荷q作用前仅支撑在A、C处，梁与B支座间有一微小空隙，当均布载荷q作用在梁上时，其空隙密合，所有三个支座均产生约束力。欲使三个支座的约束力相等，则空隙的大小应为：提示：下面给出的梁的变形表可作为参考。目录49讨论与分析讨论与分析BBRBqBfff即EIqlEIqlEIqlqlREIlREIlqBB727938480)2(3148)2(384)2(5444

27、34解得：，因为参考解答：取RB为多余未知力，则变形协调条件为：由此得：目录50讨论与分析讨论与分析图示梁的挠曲线微分方程为：图示梁的挠曲线微分方程为：2222)4(,21)3(,)2(,21)1(qxqlwEIqxqlwEIqxwEIqxwEI （1）221)()(qxxMxMEIv目录51习题解答习题解答61 解：（b）x=a,v=0；x=a+，v=0（d）x=0,v=0；x=,v=q/2c目录52习题解答习题解答6.3b6.3b22211)(PxaxPMCBPxMAC段：段：2223232211311222222121122211)(666)(222)(DxCaxPxPEIvDxCxPE

28、IvCaxPxPvEICxPvEIaxPPxvEIPxvEICBAC 段：段：2121212121DDCCvvvvaxx，代入得：，时，0,0,2222vvax下面按挠曲线微分方程分别积分边界条件：边界条件：连续性条件：连续性条件：目录53321223322122227,022568625,0242PaDDDaPaaPaPPaCCCaPaP将边界条件代入上式，得将边界条件代入上式，得习题解答习题解答6.3b6.3b22222222132232322323125)(222522725)(6627256PaaxPxPvEIPaxPvEIPaxPaaxPxPEIvPaxPaxPEIvCBAC段：段因

29、此得挠度和转角方程为：因此得挠度和转角方程为：EIPafEIPaxBA27,25,0321得在在AC段中，令段中，令目录54习题解答习题解答EIabPabaEIbabaPabaEIaabababaPabaEIababaPabaEIbabaabaPB2)2()(12)(2(6)(12)2222)(2()22(6)22)(2()22(6)222()2(6.10b6.10b解：由叠加原理，可得)263(622aabbEIPafA目录55习题解答习题解答EIqallaaEIqaEIqaEIlqaEIqalvvfEIqavEIlqaEIqalavEIlqaEIqlEIlqaEIMlEIqlCBCBBMB

30、qB6,)43(2486248,62462463,24321323433214233123236.11d6.11d)44(24662432332321llaaEIqEIqaEIlqaEIqlCC叠加，得 目录56习题解答习题解答6.366.36038416548843EIlqEIlRfCCqlRC25.1qlRRqlRRRRRBACBABA375.02,解得：设想解除支座设想解除支座C，用反力，用反力RC代替支座代替支座C。则根据叠加原理，。则根据叠加原理，C处处得挠度应该等于均布载荷得挠度应该等于均布载荷q和和RC共同作用下的挠度的代数和，亦应共同作用下的挠度的代数和，亦应该等于该等于0，即：，即：因此可解得：因此可解得：根据对称性和平衡关系，可得：根据对称性和平衡关系，可得：根据以上数据和叠加原理，可以作根据以上数据和叠加原理，可以作出出Q图和图和M图。图。