正弦定理余弦定理应用举例课件

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1、正弦定理、余弦定理应用举例正弦定理、余弦定理应用举例1解斜三角形的常见类型及解法解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的在三角形的6个元素中要已知三个个元素中要已知三个(除三角外除三角外)才能求解，常才能求解，常见类型及其解法如表所示见类型及其解法如表所示.已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法一边和两角一边和两角(如如a,B,C)两边和夹角两边和夹角(如如a,C,b)三边三边(a,b,c)两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角 (a,b,A)正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理由由A+B+C=180,求角求角A,再用正弦再

2、用正弦定理求出定理求出b与与c.用余弦定理求出用余弦定理求出A,B,再由再由A+B+C=180求出角求出角C角角.由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c；由正弦定；由正弦定理求出小边所对的角；再由理求出小边所对的角；再由ABC180求出另一角求出另一角 由正弦定理求出角由正弦定理求出角B;由由ABC180,求出角求出角C;再利用正弦定理或余再利用正弦定理或余弦定理求弦定理求c.可有两解可有两解,一解或无解一解或无解 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等积问题、航海问题、物理问题等2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

3、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型(1)仰角、俯角：仰角、俯角：3实际问题中的常用角实际问题中的常用角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角线在水平视线下方叫俯角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90 的水平角的水平角,叫方向角叫方向角.(2)方向角方向角 目标方向线方向一般可用目标方向线方向一般可用“偏偏”多少度来表示多少度来表示,这里第一这里第一个个“”号是号是“北北”或或“南南”字

4、字,第第二个二个“”号是号是“东东”字或字或“西西”字字.OA的方向角为；的方向角为；OB的方向角为；的方向角为；OC的方向角为；的方向角为；OD的方向角为的方向角为.北偏东北偏东6060 北偏西北偏西3030 西南方向西南方向南偏东南偏东2020(4)水平距离、垂直距离、坡面距离水平距离、垂直距离、坡面距离(3)方位角方位角 从正北方向顺时针转到目标方向从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如线的水平角，如B点的方位角为点的方位角为 如图如图BC代表水平距离代表水平距离,AC代表垂直距离代表垂直距离,AB代表坡面代表坡面距离距离.14i 即即.如图把如图把坡面的铅直高度坡面的铅直高度h和水

5、平宽度为和水平宽度为l 的的比比叫做叫做坡度坡度(或叫做坡比或叫做坡比),用字母用字母i表示表示,坡度一般写成坡度一般写成h:l的形式的形式.如如i=1:4,(5)坡度、坡角：坡度、坡角：坡面与水平面所成的坡面与水平面所成的二面角二面角的度数叫做的度数叫做坡坡角角,坡角与坡度之间有如下关系：坡角与坡度之间有如下关系：tan.hil hil 即即.hlhil 130 610 3B500(31)题号题号答案答案12345B 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合开正弦定理和余弦定理，在解题

6、中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解【例【例2】某人在塔的正东沿着南偏西】某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为角为30，求塔高，求塔高 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识求解注意综合应用

7、方程和平面几何、立体几何等知识【例【例2】某人在塔的正东沿着南偏西】某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进的方向前进40米后米后,望望见塔在东北方向见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为若沿途测得塔顶的最大仰角为30,求塔高求塔高 (2011广东揭阳一模广东揭阳一模)如图如图,某人在塔的正东方向上的某人在塔的正东方向上的C处处在与塔垂直的水平面内沿南偏西在与塔垂直的水平面内沿南偏西60 的方向以每小时的方向以每小时6千米的千米的速度步行了速度步行了1分钟以后，在点分钟以后，在点D处望见塔的底端处望见塔的底端B在东北方向在东北方向上，已知沿途塔的仰角上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值为的

8、最大值为60.(1)求该人沿南偏西求该人沿南偏西60 的方向走到仰角的方向走到仰角最大时，走了几最大时，走了几分钟；分钟；(2)求塔的高求塔的高AB.(2011广东揭阳一模广东揭阳一模)如图如图,某人在塔的正东方向上的某人在塔的正东方向上的C处处在与塔垂直的水平面内沿南偏西在与塔垂直的水平面内沿南偏西60 的方向以每小时的方向以每小时6千米的千米的速度步行了速度步行了1分钟以后，在点分钟以后，在点D处望见塔的底端处望见塔的底端B在东北方向在东北方向上，已知沿途塔的仰角上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值为的最大值为60.(2)求塔的高求塔的高AB.【例【例3】如图所示】如图所示,在梯形在梯形A

9、BCD中中,ADBC,AB5,AC9,BCA30,ADB45,求求BD的长的长【例【例3】如图所示】如图所示,在梯形在梯形ABCD中中,ADBC,AB5,AC9,BCA30,ADB45,求求BD的长的长 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形在分割时，要注意有利于应用正、余弦若干个三角形在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理定理 如图所示，如图所示，ACD是等边三角形，是等边三角形，ABC是等腰直角三角是等腰直角三角形，形，ACB90，BD交交AC于于E，AB2.(1)求求cosCBE的值；的值；(2)求求AE.运用正、余弦定理解决

10、实际应用问题运用正、余弦定理解决实际应用问题 (1)分清已知条件和未知条件分清已知条件和未知条件(待求待求).(2)将问题集中到一个三角形中将问题集中到一个三角形中,如如ABC和和BCD.(3)利用正弦定理或余弦定理求解利用正弦定理或余弦定理求解运用正、余弦定理解决实际应用问题运用正、余弦定理解决实际应用问题运用正、余弦定理解决实际应用问题运用正、余弦定理解决实际应用问题运用正、余弦定理解决实际应用问题运用正、余弦定理解决实际应用问题 解斜三角形应用题的一般步骤为：解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：第一步：分析：分析：理解题意理解题意,分清已知与未知分清已知与未知,画出示意图；画出示意图；

11、第二步：第二步：建模：建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与根据已知条件与求解目标，把已知量与 求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一 个解斜三角个解斜三角形的数学模型；形的数学模型；第三步：第三步：求解：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；形，求得数学模型的解；第四步：第四步：检验：检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解而得出实际问题的解方法与技巧方法与技巧 1合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等

12、概念建立三角函数模型概念建立三角函数模型 2把生活中的问题化为二维空间解决，即在把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值一个平面上利用三角函数求值 3合理运用换元法、代入法解决实际问题合理运用换元法、代入法解决实际问题失误与防范失误与防范 在解实际问题时，应正确理解如下角的含义在解实际问题时，应正确理解如下角的含义 1方向角方向角从指定方向线到目标方向线的水从指定方向线到目标方向线的水平角平角 2方位角方位角从正北方向线顺时针到目标方向从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角线的水平角 3坡度坡度坡面与水平面的二面角的度数坡面与水平面的二面角的度数 4仰角与俯角仰角与俯角与

13、目标视线在同一铅直平面与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角称为俯角作业纸作业纸:课时规范训练课时规范训练:P.1-2 预祝各位同学，预祝各位同学，20132013年高考取得好成绩年高考取得好成绩!一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号1234答案答案BCDA7.8 28.135.50 76.30 2A组组专项基础训练题组专项基础训练题组三、解答题三、解答题一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号123答案答

14、案ACB7.60 5.2 710 66.3B组专项能力提升题组组专项能力提升题组4.15 3三、解答题三、解答题9.如图所示，海中小岛如图所示，海中小岛A周围周围38海里内有暗礁，船向正南航行，海里内有暗礁，船向正南航行，在在B处测得小岛处测得小岛A在船的南偏东在船的南偏东30方向方向,航行航行30海里后，在海里后，在C处处测得小岛测得小岛A在船的南偏东在船的南偏东45方向，如果此船不改变航向，继方向，如果此船不改变航向，继续向南航行续向南航行,有无触礁的危险？有无触礁的危险？解题是一种实践性技能解题是一种实践性技能,就象游泳、就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实滑雪、弹钢琴一样，只能

15、通过模仿和实践来学到它！践来学到它！波利亚波利亚任意角的三角函数任意角的三角函数任意角三角函数定义任意角三角函数定义同角三角函数的关系同角三角函数的关系诱导公式诱导公式和差化积，积化和差和差化积，积化和差二倍角公式二倍角公式三角函数线三角函数线平方关系、商式关系平方关系、商式关系奇变偶不变符号看象限任意角任意角正角、负角、零角正角、负角、零角象限角、轴线角象限角、轴线角终边相同的角终边相同的角任意角与弧度制；任意角与弧度制；单位圆单位圆弧度制弧度制定义定义1弧度的角弧度的角正弦函数正弦函数y=sinx三角函数的图象三角函数的图象余弦函数余弦函数y=cosx正切函数正切函数y=tanx图象：图象

16、：描点法(五点法)、图象变换法性质：定义域、值域、对称轴、对称中心 单调性、奇偶性、周期性、对称性图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；图象也可以用五点作图法；图象也可以用五点作图法；用整体代换求单调区间（注意用整体代换求单调区间（注意 的符号）；的符号）；最小正周期最小正周期 ；对称轴对称轴 ,对称中心为对称中心为2|T (21)22kx (,),Zkb k 三角函数三角函数三角函数模型的简三角函数模型的简单应用单应用建筑学、航海、天文建筑学、航海、天文物理学等物理学等sin()

17、yAxb 角度与弧度互化；特殊角的弧度数；弧长公式、扇形面积公式 1运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是一个抽象、概括的问题，即建立数学模型一个抽象、概括的问题，即建立数学模型 (2)一般步骤：一般步骤：分析：分析：建模：建模：求解：求解：检验：检验：忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点例例1.(2010福建高考福建高考)某港口某港口O要将一件重要物品用小要将一件重

18、要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口位于港口O北偏西北偏西30且与该港口相距且与该港口相距20海里的海里的A处，处，并正以并正以30海里海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以驶假设该小艇沿直线方向以v海里海里/小时的航行速度小时的航行速度匀速行驶，经过匀速行驶，经过t小时与轮船相遇小时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到假设小艇的最高

19、航行速度只能达到30海里海里/小小时时,试设计航行方案试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大即确定航行方向和航行速度的大小小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由并说明理由.解解:如图如图,设在时刻设在时刻 t(小时小时)台风中心为台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t60(千米千米)1.地平面上一旗杆地平面上一旗杆OP，为测得它的高度，为测得它的高度h，在地平面上取，在地平面上取一基线一基线AB，AB200m，在，在A处测得处测得P点的仰角为点的仰角为OAP30，在，在B处测得处测得P点的仰角点的仰角OBP45，又测得，又测得AOB60，则旗杆的高，则旗杆的高h_(精确到精确到0.1m)如图如图OPh，OAP30,OBP45,AOB60,AB200m,在在AOP中，中，AOP90，AOOPcot30 h,同理在同理在BOP中得中得OBh，在在OAB中，由余弦定理得中，由余弦定理得,AB2OA2OB22OAOBcosAOB，20023h2h22h2cos60,132.8 DBA