第2章机电控制原理及应用课件

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1、2023-2-26Tianjin University of Technology1 本章讨论受控机械系统的动态模型。本章讨论受控机械系统的动态模型。受控机械可以有各种各样的结构形式。受控机械可以有各种各样的结构形式。如果抽象为力学模型，可以分别表示为如果抽象为力学模型，可以分别表示为质点平移系统质点平移系统定轴旋转系统定轴旋转系统机械传动系统机械传动系统定点旋转系统定点旋转系统多刚体系统多刚体系统2023-2-26Tianjin University of Technology2 位移机械系统的基本元件是质量、阻尼及弹簧。这位移机械系统的基本元件是质量、阻尼及弹簧。这些元件的符号如图些元件的

2、符号如图2-12-1所示。所示。注意，图注意，图2-12-1只是机械元件的数学模型，它们不只是机械元件的数学模型，它们不一定是具体物理装置的精确表示。因此，在应用这些一定是具体物理装置的精确表示。因此，在应用这些定义时，必须是实际物理系统的合理抽象。定义时，必须是实际物理系统的合理抽象。图图2-2-l l 机械直线位移元件机械直线位移元件(a)a)质量；质量；(b)b)阻尼；阻尼；(c)c)弹簧弹簧2023-2-26Tianjin University of Technology3弹簧弹簧质量质量(2-1)(2-2)(2-3)阻尼阻尼 方程方程(2-1)(2-1)(2-3)(2-3)应用了图示

3、箭头方向的力和位移。如应用了图示箭头方向的力和位移。如果其中任何一个方向相反，则方程中的那一项必须变号。果其中任何一个方向相反，则方程中的那一项必须变号。2023-2-26Tianjin University of Technology4 在这些机械元件中，阻尼耗散能量但不能储存能量，而质量在这些机械元件中，阻尼耗散能量但不能储存能量，而质量和弹簧能储存能量但不消耗能量。和弹簧能储存能量但不消耗能量。当我们列写由这些机械元当我们列写由这些机械元件通过内部连结而形成系统的方程时，通常需要应用牛件通过内部连结而形成系统的方程时，通常需要应用牛顿定律，即作用于物体上的外力之和等于物体的质量与顿定律，

4、即作用于物体上的外力之和等于物体的质量与它的加速度之乘积。它的加速度之乘积。在建立由质点在建立由质点-弹簧弹簧-阻尼器组成的质点平移系统的动阻尼器组成的质点平移系统的动态数学模型时，一般利用牛顿第二定律列写该系统的动态数学模型时，一般利用牛顿第二定律列写该系统的动力学微分方程。力学微分方程。具体方法是：具体方法是：第三第三，注意弹簧力和阻尼力都是起阻止质点运动的，应按照，注意弹簧力和阻尼力都是起阻止质点运动的，应按照这一物理原理决定这两个作用力的符号。这一物理原理决定这两个作用力的符号。首先首先，系统中的每一个质点必须列写一个微分方程；，系统中的每一个质点必须列写一个微分方程；其次其次，每一个

5、微分方程的左边为该质点的惯性力，每一个微分方程的左边为该质点的惯性力(即质量与加即质量与加速度的乘积速度的乘积)，右边等于与该质点相连结的弹簧力和阻尼力以及外，右边等于与该质点相连结的弹簧力和阻尼力以及外作用力之和；作用力之和；2023-2-26Tianjin University of Technology5例例2-12-1 考虑单自由度质量考虑单自由度质量-弹簧系统，质量为弹簧系统，质量为m m的质点通的质点通过刚度为过刚度为K K的弹簧和阻尼系数为的弹簧和阻尼系数为b b的阻尼器悬挂在机壳上，的阻尼器悬挂在机壳上，如图如图2-22-2所示。试用牛顿定律建立质点平移系统数学模型。所示。试用

6、牛顿定律建立质点平移系统数学模型。图图2-2 2-2 单自由度质量单自由度质量-弹簧系统弹簧系统 2023-2-26Tianjin University of Technology6将式将式(2-5)(2-5)代入代入(2-4)(2-4)，移项合并后，可得，移项合并后，可得 或者表示为或者表示为(2-4)(2-5)(2-6)(2-7)2023-2-26Tianjin University of Technology7 拉氏变换后，可得拉氏变换后，可得 因此，系统的传递函数为因此，系统的传递函数为 式式(2-9)(2-9)表明，只有一个质点的单自由度平移系统是表明，只有一个质点的单自由度平移系统

7、是一个二阶系统。实际上，系统中有一个具有独立位移的质一个二阶系统。实际上，系统中有一个具有独立位移的质点应列写一个二阶微分方程，有点应列写一个二阶微分方程，有n n个质点应列写个质点应列写n n个二阶微个二阶微分方程，因此，由分方程，因此，由n n个质点组成的系统应是个质点组成的系统应是2 2n n阶系统。阶系统。(2-8)(2-9)2023-2-26Tianjin University of Technology8 线性转动系统与线性移动系统是类似的，列写线线性转动系统与线性移动系统是类似的，列写线性移动方程的方法同样可适用于线性转动系统。线性性移动方程的方法同样可适用于线性转动系统。线性转

8、动系统的三个元件如图转动系统的三个元件如图2-32-3所示。所示。图图2-3 2-3 机械转动元件机械转动元件(a)a)转动惯量；转动惯量；(b)b)阻尼；阻尼；(c)c)弹簧弹簧2023-2-26Tianjin University of Technology9扭转弹簧扭转弹簧 转动惯量转动惯量 (2-10)(2-11)(2-12)黏性阻尼器黏性阻尼器 在方程在方程(2-11)(2-11)和和(2-12)(2-12)中中，假设了转动元件具有零转动惯量。假设了转动元件具有零转动惯量。2023-2-26Tianjin University of Technology10 根据旋转机械元件的定义方

9、程根据旋转机械元件的定义方程(2-10)(2-10)(2-12)(2-12)，利用绕旋转轴的转矩之和必须等于转动惯量与角利用绕旋转轴的转矩之和必须等于转动惯量与角加速度乘积的原理，可以建立机械旋转系统的动加速度乘积的原理，可以建立机械旋转系统的动态模型。具体建模做法与质点平移系统完全类似，态模型。具体建模做法与质点平移系统完全类似，只是将平移系统的质量只是将平移系统的质量m m改为旋转系统的转动惯改为旋转系统的转动惯量量J J，平移系统的线位移平移系统的线位移x x、线速度及线加速度改线速度及线加速度改为旋转系统的角位移为旋转系统的角位移、角速度及角加速度以及角速度及角加速度以及平移系统的力平

10、移系统的力f f改为旋转系统的力矩改为旋转系统的力矩M M。2023-2-26Tianjin University of Technology11图图2-4 2-4 步进电动机步进电动机同步齿形带驱动装置同步齿形带驱动装置2023-2-26Tianjin University of Technology12解解 本系统有两个转动自由度本系统有两个转动自由度i i和和o o，因此，因此，必须列两个转矩平衡方程。必须列两个转矩平衡方程。(2-13)(2-14)(2-15)(2-16)根据方程根据方程(2-15)(2-15)和方程和方程(2-16)(2-16)，可画出系统传递函，可画出系统传递函数方

11、块图如图数方块图如图2-5(2-5(a)a)所示。所示。输入轴输入轴输出轴输出轴取拉氏变换，可得取拉氏变换，可得2023-2-26Tianjin University of Technology13图图2-5 2-5 例例2-32-3驱动装置的传递函数方块图及其简化驱动装置的传递函数方块图及其简化 2023-2-26Tianjin University of Technology14 这是一个低通滤波器特性，对步进电动机的震动具有隔这是一个低通滤波器特性，对步进电动机的震动具有隔离作用。离作用。(2-17)方程方程(2-17)(2-17)表明，采用同步齿形带传动，系统增加了表明，采用同步齿形带

12、传动，系统增加了一个自由度，附加了传递函数一个自由度，附加了传递函数 2023-2-26Tianjin University of Technology15 机械传动装置是许多伺服系统不可缺少的一个重要机机械传动装置是许多伺服系统不可缺少的一个重要机械部件，通常具有各种形式械部件，通常具有各种形式：齿轮系齿轮系齿轮齿条副齿轮齿条副丝杠螺母副丝杠螺母副蜗轮蜗杆副蜗轮蜗杆副谐波齿轮谐波齿轮 2023-2-26Tianjin University of Technology16 在运动控制问题中，经常需要将旋转运动转换为在运动控制问题中，经常需要将旋转运动转换为平移运动。例如，通过丝杠螺母副、小齿轮

13、齿条副以平移运动。例如，通过丝杠螺母副、小齿轮齿条副以及同步齿形带，由旋转的主动轴控制负载的直线运动，及同步齿形带，由旋转的主动轴控制负载的直线运动，如图如图2-62-6所示。所示。图2-6 由旋转到直线运动的控制 2023-2-26Tianjin University of Technology17l（b b）小齿轮齿条传动小齿轮齿条传动 l（c c）同步齿形带传动同步齿形带传动 (2-18)(2-19)(2-20)（a a）丝杠螺母副丝杠螺母副 2023-2-26Tianjin University of Technology18 讨论齿轮传动系统。参考图讨论齿轮传动系统。参考图2-72-

14、7的一对齿轮的传动的一对齿轮的传动系统，主动轮系统，主动轮1 1与从动轮与从动轮2 2的转角分别为的转角分别为1 1和和2 2，转动转动惯量分别为惯量分别为J J1 1和和J J2 2，黏性阻尼系数分别为黏性阻尼系数分别为B B1 1和和B B2 2，主动主动轴上的驱动力矩为轴上的驱动力矩为M Mi i，从动轴上的负载力矩为从动轴上的负载力矩为M Mo o。图图2-7 2-7 齿轮传动及其简化齿轮传动及其简化 (a)a)原传动系统；原传动系统；(b)b)向主动轴简化；向主动轴简化；(c)c)向从动轴简化向从动轴简化 2023-2-26Tianjin University of Technolo

15、gy19(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)(2-26)解下列各式联立的方程组：解下列各式联立的方程组：(2-27)传动系统向主动轴简化传动系统向主动轴简化可得可得2023-2-26Tianjin University of Technology20传动系统向传动系统向从动从动轴简化轴简化(2-28)由从动轴由从动轴2 2向主动轴向主动轴1 1折合，从动轴上的转动惯折合，从动轴上的转动惯量、阻尼系数都要乘以由轴量、阻尼系数都要乘以由轴1 1到轴到轴2 2的传动比的二次的传动比的二次方，而转矩只乘以传动比的一次方。反之亦然。方，而转矩只乘以传动比的一次方。反之亦然。根据以

16、上推算，可得结论如下：根据以上推算，可得结论如下：同理，可得同理，可得2023-2-26Tianjin University of Technology21 考虑转轴为非刚性的情况。如图考虑转轴为非刚性的情况。如图2-82-8所示，所示，z z2 2，z z3 3为一对为一对啮合齿轮，转动惯量分别为啮合齿轮，转动惯量分别为J J2 2，J J3 3，飞轮飞轮J J1 1，J J4 4分别通过轴分别通过轴1 1及轴及轴2 2与齿轮与齿轮z z2 2，z z3 3 相连，轴相连，轴1 1和轴和轴2 2的扭转刚度分别为的扭转刚度分别为K K1 1，K K2 2，输入转矩为输入转矩为M Mi i，齿轮

17、齿轮z z2 2，z z3 3传递的转矩为传递的转矩为M M2 2，M M3 3。图图2-8 2-8 带非刚性轴的齿轮传动带非刚性轴的齿轮传动 2023-2-26Tianjin University of Technology22解下列各式联立的方程组：解下列各式联立的方程组：(2-29)(2-30)(2-31)(2-32)(2-33)2023-2-26Tianjin University of Technology23可得该传动系统的等效系统，如图可得该传动系统的等效系统，如图2-92-9所示。所示。图图2-9 2-9 带非刚性轴的齿轮传动的简化图带非刚性轴的齿轮传动的简化图 (2-34)(

18、2-35)(2-36)2023-2-26Tianjin University of Technology24 由此可得系统传递函数如下：由此可得系统传递函数如下：(2-37)(2-38)(2-39)(2-40)2023-2-26Tianjin University of Technology25综合以上讨论结果，可得结论如下：对于一个无功率消耗的传动系统，从动轴上对于一个无功率消耗的传动系统，从动轴上的转动惯量的转动惯量J J、黏性阻尼系数黏性阻尼系数B B以及弹性系数以及弹性系数K K折合折合到主动轴上，都必须乘以由主动轴到从动轴的传到主动轴上，都必须乘以由主动轴到从动轴的传动比的二次方动比

19、的二次方n n2 2，才能得到等效的转动惯量才能得到等效的转动惯量n n2 2J J、等效的黏性阻尼系数等效的黏性阻尼系数n n2 2B B以及等效的弹性系数以及等效的弹性系数n n2 2K K。而从动轴的转角而从动轴的转角和作用在从动轴上的转矩和作用在从动轴上的转矩M M折合折合到主动轴上，则必须分别除以和乘以传动比到主动轴上，则必须分别除以和乘以传动比n n。这这样，主动轴和等效的从动轴可以串接起来，作为样，主动轴和等效的从动轴可以串接起来，作为单轴的机械转动系统处理。单轴的机械转动系统处理。2023-2-26Tianjin University of Technology26 在控制系统

20、应用中，往往最感兴趣的是关于在控制系统应用中，往往最感兴趣的是关于传动装置的主谐振频率。因此，将齿轮等效转动传动装置的主谐振频率。因此，将齿轮等效转动惯量分别与主动轴和从动轴的飞轮惯量合并。从惯量分别与主动轴和从动轴的飞轮惯量合并。从而，图而，图2-92-9的等效系统可以进一步简化为图的等效系统可以进一步简化为图2-102-10。图图2-10 2-10 齿轮传动系统的近似简化齿轮传动系统的近似简化2023-2-26Tianjin University of Technology27 根据图根据图2-102-10，可列写出如下方程：，可列写出如下方程：经拉氏变换后，可得简化系统的传递函数为：经拉

21、氏变换后，可得简化系统的传递函数为：(2-41)2023-2-26Tianjin University of Technology28 因此，该齿轮传动系统的主谐振频率近似为因此，该齿轮传动系统的主谐振频率近似为(2-42)2023-2-26Tianjin University of Technology29 例例2-42-4 考虑图考虑图2-112-11（a a）所示的机床进给系统。它由所示的机床进给系统。它由齿轮、轴、丝杠螺母副及直线运动工作台等组成。图中，齿轮、轴、丝杠螺母副及直线运动工作台等组成。图中，Mi Mi驱动电动机输入转矩；驱动电动机输入转矩；x x0 0(t)(t)工作台位移

22、；工作台位移；z z1 1，z z2 2，z z3 3，z z4 4齿轮齿数；齿轮齿数；J J1 1，J J2 2，J J3 3I I轴、轴、IIII轴、轴、IIIIII轴上的转动惯量；轴上的转动惯量；K K1 1，K K2 2，K K3 3I I轴、轴、IIII轴、轴、IIIIII轴的扭转刚度；轴的扭转刚度；K K4 4丝杠螺母副及螺母座部分的轴向刚度系数；丝杠螺母副及螺母座部分的轴向刚度系数；m m工作台直线运动部分的质量；工作台直线运动部分的质量；B B工作台直线运动速度阻尼系数；工作台直线运动速度阻尼系数；L L丝杠导程。丝杠导程。2023-2-26Tianjin University

23、 of Technology30 解解 根据传动比转换关系，折合到主动轴的等效传动系统如根据传动比转换关系，折合到主动轴的等效传动系统如图图2-112-11（b b）所示。并且进一步将所示。并且进一步将、轴的等效转动惯量轴的等效转动惯量合并到输出轴，从而得到简化系统如图合并到输出轴，从而得到简化系统如图2-112-11（c c）所示。所示。图图2-11 2-11 机床进给系统及其简化机床进给系统及其简化 2023-2-26Tianjin University of Technology31图中，图中，简化系统的微分方程为简化系统的微分方程为2023-2-26Tianjin University

24、 of Technology32拉氏变换以后，可得拉氏变换以后，可得(2-43)解此方程组，可得机床进给系统的简化传递函数为解此方程组，可得机床进给系统的简化传递函数为 (2-44)图图2-12 2-12 机床进给系统传递函数方块图机床进给系统传递函数方块图2023-2-26Tianjin University of Technology33 由式由式(2-45)(2-45)很容易看出，简化系统的主谐振频率为很容易看出，简化系统的主谐振频率为 (2-45)2023-2-26Tianjin University of Technology34 在分析定点旋转机械系统时，所依据的动力学定理主要在分

25、析定点旋转机械系统时，所依据的动力学定理主要是欧拉动力学方程。在动坐标系是欧拉动力学方程。在动坐标系oxyzoxyz中，欧拉动力学方程可中，欧拉动力学方程可以表示为以表示为 (2-46)2023-2-26Tianjin University of Technology35 下面，我们利用动量矩定理，集中研究三轴万下面，我们利用动量矩定理，集中研究三轴万向框架系统的动态模型。向框架系统的动态模型。图图2-13(2-13(a)a)是三轴万向环是三轴万向环架几何结构示意图。架几何结构示意图。图图2-13 2-13 三轴万向框架系统三轴万向框架系统 2023-2-26Tianjin Universit

26、y of Technology36l l l(2-47)(2-48)(2-49)定点旋转的万向环架的动力学模型定点旋转的万向环架的动力学模型 这一动态模型也适用于一般的三轴定点旋转系统。当这一动态模型也适用于一般的三轴定点旋转系统。当系统处于大角度运行状态时，系统模型是三个互相交链的系统处于大角度运行状态时，系统模型是三个互相交链的二阶非线性微分方程组。只有当系统处于初始位置附近时，二阶非线性微分方程组。只有当系统处于初始位置附近时，A A和和P P角很小，取角很小，取sinPsinPP P，sinAsinAA A以及以及cosPcosPcosAcosA1 1，并并假设假设J JixixJ J

27、iyiy，那么，定点旋转系统动力学方程才可以线性那么，定点旋转系统动力学方程才可以线性化为化为2023-2-26Tianjin University of Technology37(2-50)这样，互相耦合的三根轴完全解耦，分别由互这样，互相耦合的三根轴完全解耦，分别由互相独立的三个二阶线性微分方程建模，即，将定点相独立的三个二阶线性微分方程建模，即，将定点旋转系统分解为三个定轴旋转系统处理。在初步分旋转系统分解为三个定轴旋转系统处理。在初步分析设计时，这样做可以使问题得到极大的简化。但析设计时，这样做可以使问题得到极大的简化。但是，在计算各轴上的伺服电动机转矩时，则必须使是，在计算各轴上的伺

28、服电动机转矩时，则必须使用完整的动态模型，以获得精确的反馈控制系统的用完整的动态模型，以获得精确的反馈控制系统的设计。设计。2023-2-26Tianjin University of Technology38 建立多刚体系统的动态模型一般采用拉格朗日方程建立多刚体系统的动态模型一般采用拉格朗日方程(2-50)一个具有质量一个具有质量m mq q的刚体在三维空间的动能是一个的刚体在三维空间的动能是一个标量，它可以由下列关系式确定：标量，它可以由下列关系式确定：(2-51)其中，三维向量其中，三维向量V Vq q表示刚体质心相对基座的线速度，三维向量表示刚体质心相对基座的线速度，三维向量q q表

29、示刚体相对基座的旋转角速度。它们都在坐标系表示刚体相对基座的旋转角速度。它们都在坐标系q q中表示。并且，中表示。并且，3 33 3矩阵矩阵J Jq q表示刚体相对坐标系表示刚体相对坐标系q(q(当坐标系原点移到刚体质心时当坐标系原点移到刚体质心时)的的惯性矩惯性矩(或惯性张量或惯性张量)。2023-2-26Tianjin University of Technology39 球坐标工业机器人的前三个连杆的原理结构如图球坐标工业机器人的前三个连杆的原理结构如图2-2-14(14(a)a)所示。选择广义坐标所示。选择广义坐标2 2=和和3 3=h=h，如图如图2-14(2-14(b)b)所示。所

30、示。图图2-2-l4 l4 球坐标结构工业机器人球坐标结构工业机器人 2023-2-26Tianjin University of Technology40l系统的动能系统的动能(2-52)(2-53)(2-54)因为系统的总动能和广义力因为系统的总动能和广义力(矩矩)f fq q(q(q2 2，3)3)已经确定，所以可以直接利用拉格朗日方程已经确定，所以可以直接利用拉格朗日方程(2-50)(2-50)来建立系统动态模型。来建立系统动态模型。广义力广义力(矩矩)2023-2-26Tianjin University of Technology41lq q2 2 解联立方程组解联立方程组得得(2

31、-55)2023-2-26Tianjin University of Technology42lq q3 3 解联立方程组解联立方程组得得(2-56)2023-2-26Tianjin University of Technology43 对于实际的工业机器人，其工作速度一般对于实际的工业机器人，其工作速度一般都比较低，加速度的影响很小，通常可以忽略都比较低，加速度的影响很小，通常可以忽略不计。若考虑原点附近的运动，令不计。若考虑原点附近的运动，令coscos11和和sinsin，以及以及h h为小量。那么，在略去二阶为小量。那么，在略去二阶小量后，方程小量后，方程(2-55)(2-55)和和(

32、2-56)(2-56)可简为下列线性可简为下列线性模型模型：(2-57)2023-2-26Tianjin University of Technology44 具有旋转坐标的工业机器人的原理结构如图具有旋转坐标的工业机器人的原理结构如图2-152-15所所示。第示。第l l连杆为立柱，第连杆为立柱，第2 2连杆为大臂，第连杆为大臂，第3 3连杆为小臂。连杆为小臂。图图2-15 2-15 旋转坐标结构工业机器人旋转坐标结构工业机器人 2023-2-26Tianjin University of Technology45l第第3 3连杆的动能为连杆的动能为(2-58)(2-59)(2-60)第第1

33、 1连杆的旋转动能为连杆的旋转动能为 第第2 2连杆的旋转动能为连杆的旋转动能为2023-2-26Tianjin University of Technology46对于式对于式(2-60)，2023-2-26Tianjin University of Technology47(2-61)2023-2-26Tianjin University of Technology48l三连杆旋转坐标工业机器人的总动能三连杆旋转坐标工业机器人的总动能(2-62)2023-2-26Tianjin University of Technology49 另外，作用于各个连杆的广义力在平衡位置附近可近似另外，作用

34、于各个连杆的广义力在平衡位置附近可近似地表示为地表示为(2-63)将以上结果代入拉格朗日方程将以上结果代入拉格朗日方程(2-62)(2-62)，直接可得三连，直接可得三连杆旋转坐标工业机器人的动态模型如下：杆旋转坐标工业机器人的动态模型如下：(2-64)由以上方程组可看出，在平衡位置附近，当机器人的由以上方程组可看出，在平衡位置附近，当机器人的工作速度比较低时，三连杆旋转坐标工业机器人的动态模工作速度比较低时，三连杆旋转坐标工业机器人的动态模型是三个二阶线性微分方程，其中，第型是三个二阶线性微分方程，其中，第1 1连杆的运动是独立连杆的运动是独立的。这种简化的线性模型可以应用于初步分析和设计。

35、的。这种简化的线性模型可以应用于初步分析和设计。2023-2-26Tianjin University of Technology50 微型机电系统微型机电系统(MEMS)MEMS)通常采用微梁或膜通常采用微梁或膜片支承的试验质量作为敏感元件。为了定量分片支承的试验质量作为敏感元件。为了定量分析和设计这类析和设计这类MEMSMEMS器件，必须建立它们的动力器件，必须建立它们的动力学模型。本节基于学模型。本节基于耦合静电场的两端点对耦合静电场的两端点对模型模型和和微结构的主振动模态微结构的主振动模态，建立静电场，建立静电场耦合耦合MEMSMEMS传感器动态模型。传感器动态模型。2023-2-26

36、Tianjin University of Technology51 静电场耦合微机电系统静电场耦合微机电系统(MEMS)MEMS)方块图如图方块图如图2-162-16所示。所示。图图2-16 2-16 静电场耦合微机电系统静电场耦合微机电系统 耦合静电场的两个端点变量对具有两个独立变量，耦合静电场的两个端点变量对具有两个独立变量，另外两个变量可以通过静电场表达式求取。独立变量另外两个变量可以通过静电场表达式求取。独立变量对有两种选取方法。对有两种选取方法。2023-2-26Tianjin University of Technology52 选取独立变量对选取独立变量对(q q，x)x)选取

37、独立变量对选取独立变量对(u u，x)x)(2-65)(2-66)(2-67)(2-68)以上各式表明，当静电场能量已知为独立变量的函数时，则所以上各式表明，当静电场能量已知为独立变量的函数时，则所有端点的变量都可确定，并且，由此可以计算所有端点电路与机械有端点的变量都可确定，并且，由此可以计算所有端点电路与机械系统的相互关系。静电场储能系统的相互关系。静电场储能WeWe采用独立变量采用独立变量(q(q，x)x)，需要寻找，需要寻找函数函数u(qu(q，x)x)；而静电场同等能量采用独立变量；而静电场同等能量采用独立变量(u(u，x)x)，则需要寻，则需要寻找函数找函数q(uq(u，x)x)。

38、工程上经常采用后一种方法，因为计算函数。工程上经常采用后一种方法，因为计算函数q(uq(u，x)x)比较方便。比较方便。2023-2-26Tianjin University of Technology53 在力在力(压力压力)和或加速度作用下，试验质量产生的和或加速度作用下，试验质量产生的微小位移由其与基片电极或定齿之间形成的差动电容电微小位移由其与基片电极或定齿之间形成的差动电容电桥检测，并转换为与位移成比例的电信号输出。电的输桥检测，并转换为与位移成比例的电信号输出。电的输出信号经过交流前置放大、同步解调、校正及直流功率出信号经过交流前置放大、同步解调、校正及直流功率放大等处理后，又加给

39、试验质量与基片电极或定齿之间放大等处理后，又加给试验质量与基片电极或定齿之间形成的另一组加力电容，组成静电力反馈回路。平衡时，形成的另一组加力电容，组成静电力反馈回路。平衡时，反馈的静电力等于作用于试验质量的输入外力反馈的静电力等于作用于试验质量的输入外力(压力压力)，或加速度引起的惯性力。这样，反馈的静电力就可以作或加速度引起的惯性力。这样，反馈的静电力就可以作为被测量的度量。为被测量的度量。2023-2-26Tianjin University of Technology54 设试验总质量为设试验总质量为m m，弹性梁的刚度为弹性梁的刚度为K K，等效黏性阻等效黏性阻尼系数为尼系数为b b

40、，惯性力惯性力mama或者其他外作用力或者其他外作用力f fd d作为被测量，作为被测量，那么，根据传感器的基本作用原理，可以画出那么，根据传感器的基本作用原理，可以画出MEMSMEMS等价等价系统原理图，如图系统原理图，如图2-202-20所示。所示。图图2-20 2-20 微机电传感器系统原理微机电传感器系统原理 2023-2-26Tianjin University of Technology55l电场能量和电场力电场能量和电场力得得解下式联立的方程组解下式联立的方程组2023-2-26Tianjin University of Technology56 那么，静电场力可简化为那么，静电

41、场力可简化为 (2-69)2023-2-26Tianjin University of Technology57l动力学方程动力学方程 利用式利用式(2-69)(2-69)，上式可以改写成，上式可以改写成(2-69)(2-70)传递函数传递函数 令令2023-2-26Tianjin University of Technology58将这些符号代入式将这些符号代入式(2-70)(2-70)，经过拉氏变换后，可得，经过拉氏变换后，可得(2-71)假设电的控制器传递函数方程为假设电的控制器传递函数方程为 (2-72)那么，方程式那么，方程式(2-71)(2-71)和式和式(2-72)(2-72)组

42、成了组成了MEMSMEMS传感器传感器的动态模型。若加速度的动态模型。若加速度A(s)A(s)为输入，控制电压为输入，控制电压U(s)U(s)为为输出，输出，F Fd d(s)(s)表示作用于试验质量的外力，则系统传递函表示作用于试验质量的外力，则系统传递函数方块图如图数方块图如图2-212-21所示。所示。2023-2-26Tianjin University of Technology59 图图2-21 2-21 微机械加速度计传递函数方块图微机械加速度计传递函数方块图(2-73)(2-74)2023-2-26Tianjin University of Technology60 显然，开环

43、系统传递函数的分母二次多项式必须显然，开环系统传递函数的分母二次多项式必须各项系数都大于零，开环系统才是稳定的。换言之，各项系数都大于零，开环系统才是稳定的。换言之，欲使试验质量的平衡位置在开环状态下是稳定的，不欲使试验质量的平衡位置在开环状态下是稳定的，不等式等式n2(Kse+Ke)/m必须成立。也就是说，机械弹簧必须成立。也就是说，机械弹簧的刚度必须大于静电的负刚度，即的刚度必须大于静电的负刚度，即K KKse+Ke 。这是。这是在电容检测在电容检测/静电驱动的静电驱动的MEMSMEMS传感器设计中必须注意传感器设计中必须注意的一个的一个基本条件基本条件。通常，设计控制器通常，设计控制器K Kc cG Gc c(s)(s)，使得开环传递函数在使得开环传递函数在低频段的增益足够大，闭环传递函数近似为低频段的增益足够大，闭环传递函数近似为l l。结果，结果，低频段的输出电压可表示为低频段的输出电压可表示为U U(1(1K Kt t)()(mAmA十十F Fd d)2023-2-26Tianjin University of Technology61