第二章 结构的几何组成分析

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1、第 2 章 结构的几何组成分析1. 教学内容一个体系要能承受荷载，首先它的几何构造应当合理，能够使几何形状和位置保持不变。 因此，在进行结构受力分析之前，先进行几何构造分析。在几何构造分析中，最基本的规律是三角形规律。规律本身是简单浅显的，但规律的运用 则变化无穷。因此，学习本章时遇到的困难不在于学懂，而在于灵活运用。本章在全书中只是一个短小的前奏，只是从几何构造的角度讨论建筑力学中的一个侧面， 根本不涉及到内力和应变。但是构造分析与内力分析之间又是密切相关的，本章内容将在后面 许多章节中得到应用。2. 教学目的理解自由度、可变体系与不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念；正确理解三角形规律，并能熟练

2、应用三角形规律分析平面体系的几何构造；掌握计算自由度的计算方法，能计算一般平面体系的自由度。3. 重难点重点：理解自由度、可变体系与不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念，应用三角形规律分析 平面体系的几何构造难点: 熟练应用三角形规律分析平面体系的几何构造3. 本章目录第一节、 基本概念 （包括：几何不变体系和几何可变体系、几何组成分 析中的几个概念、自由度）第二节、平面几何不变体系的组成规律 第三节、平面体系几何组成分析举例第四节、结构的几何组成和静定性的关系第五部分、作业4.参考章节建筑力学，第十章、结构的几何构造分析，pp.145-153。第一节、基本概念1. 教学要求理解自由度、几何可变体系

3、与几何不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念2. 本节目录1. 几何不变体系和几何可变体系2. 运动自由度 S3. 约束4. 多余约束和非多余约束5. 瞬变体系6. 瞬铰和无穷远处的瞬铰7. 思考与讨论3. 参考章节建筑力学，pp.11-14。2.1.1 几何不变体系和几何可变体系几何不变体系：体系的位置和形状是不能改变的（图2-1b）。几何可变体系：体系的位置或形状是可以改变的（图2-1a）0以上讨论的前提：不考虑材料的应变。图 2-1a图 2-1b一般结构都必须是几何不变体系，而不能采用几何可变体系2.1.2 运动自由度 Ss：体系运动时可以独立改变的坐标的数目。图 2-2a（平面内一个点有两个自

4、由度）2.1.3 约束图 2-2b（平面内一个刚体有三个自由度）减少体系自由度的装置。图 2-3aS 由 3 个减少到 2 个一个支杆相当于一个约束图 2-3bS 由 6 个减少到 4 个一个简单铰相当于两个约束图 2-3cS 由 6 个减少到 3 个一个简单刚结相当于三个约束2.1.4 多余约束和非多余约束不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。注意：多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。图 2-4a链杆 1 或 2 能减少点 A 的两个自由度因此链杆1和2 都是非多余约束。图 2-4b链杆 1、2 和 3 共减少点 A 的两个自由度，

5、因此三根 链杆中只有两根是非多余约束，有一个是多余约束。一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的 自由度有影响。约束可分为单约束和复约束在几何构造分析时要将复约束简化为几个单约束图 3-3am = 2 ,h = 1S = 3 x 2 - 2 x 1 = 4m = 2 ,g = 1S = 3 x 2 - 3 x 1 = 3图 3-3b（图中复铰相当两个单铰）m = 3 ,h = 2S = 3 x 3 - 2 x 2 = 5图 3-4a图 3-4b（图中复刚结相当两个单刚结）m = 3 ,g = 2S = 3 x 3 - 2 x 3 = 3一般说来，联结n个刚

6、片的复铰(复刚结)相当于(n-1)个单铰(单刚结)。图 3-5a图 3-5b（图中复链杆相当三个单链杆） j = 3 ,b = 3S = 2 x 3 - 3 = 3j = 2 ,b = 1S = 2x 2 - 1 = 3又，联结n个结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。2.1.5 瞬变体系图 2-5a 图 2-5b分析:（1）当链杆1和2共线时，圆弧I和II在A点相切（图2-5a）,因此A点可沿公切线方向 做微小运动，体系是可变体系。（2）当A点沿公切线发生微小位移后，链杆1和2不再共线（图2-5b），因此体系不再是可 变体系。本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变的体系称为瞬变体系。 可

7、以发生大位移的几何可变体系称为常变体系。可变体系可进一步分为瞬变体系和常变体系。（3）点 A 在平面内有两个自由度，增加两根共线链杆后， A 点仍有一个自由度，因此链杆1 和 2 中有一个是多余约束。一般说来，瞬变体系中必然存在多余约束。2.1.6 瞬铰和无穷远处的瞬铰两刚片间以两链杆相连，其两链杆约束相当（等效）于两链杆交点处一简单铰的约束，这个 铰称为瞬铰或虚铰（如图 2-6a）。图 2-6a图 2-6b图 2-6c图 2-6a 中，链杆 1 和 2 交于 O 点，刚片 I 可以发生以 O 为中心的微小转动。图 2-6b 和图 2-6c 中，链杆 1 和 2 的交点在无穷远处，因此两根链杆

8、所起作用的相当于无 穷远处的瞬铰所起的约束作用，绕瞬铰的转动转化为沿两根链杆的正交方向上的平动。在图 2-6a、b、c 各体系的相对运动过程中，瞬铰位置不断变化。在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，可以采用射影几何中关于8点和线的下 列四点结论：(1) 每个方向有一个8点(即该方向各平行线的交点)。(2) 不同方向上有不同的8点。(3) 各8点都在同一直线上，此直线称为8线。(4) 各有限远点都不在8线上。2.1.7 思考与讨论1. 有的文献把几何可变体系称为几何不稳体系，把几何不变体系称为几何稳定体系。材料 力学中把压杆屈曲问题称为弹性稳定性问题。试对几何稳定性和弹性稳定性这几个不同概

9、念加 以比较。2. “多余约束”从以下哪个角度来看才是多余的？(a) 从对体系的自由度是否有影响的角度看；(b) 从对体系的计算自由度是否有影响的角度来看；(c) 从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度来看；(d) 从区分静定和超静定两类问题的角度来看。第二节、 几何不变体系的组成规律1. 教学要求熟练掌握几何不变体系的三条基本组成规律。2. 本节目录图 4-11. 二元体法则2. 两刚片法则3. 三刚片法则3. 参考章节建筑力学,pp. 14-16。2.3.1 二元体法则一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。图 4-1 分析： 约束对象：结点 C 与刚片

10、I 约束条件：不共线的两链杆； 结论：几何不变且无多余约束。图 4-2图 4-2 分析： 两链杆共线，C 点可垂直于 AB 做微小移动 结论：瞬变体系。2.3.2 两刚片法则1. 两刚片用一铰及不过该铰的一链杆相连组成几何不变体系且无多余约束。图 4-3图 4-4 瞬变体系C 可垂直于 BC 做微小运动（等效于图 4-4）图 4-5 瞬变体系 （之二）2. 两刚片用不共点的三链杆相连，组成内部几何不变整体且无多余约束图 4-6特殊情况：三链杆平行等长三链杆共点三链杆平行不等长图 4-7 瞬变体系 图 4-8 常变体系 图 4-9 瞬变体系2.3.3 三刚片法则三刚片用不共线的三铰两两相连组成的

11、体系内部几何不变且无多余约束。图 4-10图 4-11 三铰共线 瞬变体系上述三条规律虽然表述不同，但本质相同，即三角形规律：若三个铰不共线，则铰结三角形内部几何不变且无多余约束第四节、平面体系几何组成分析举例1. 教学要求熟练掌握几何构造分析的各种方法。2. 本节目录1. 基本分析方法(1) 2.基本分析方法(2) 3.约束等效代换 4.考虑体系与地基关系的方法 5.复杂体系(1) 6.复杂体系(2) 7.复杂体系(3) 8. 思考与讨论3. 参考章节1. 建筑力学，p.16-17。2. 2-3几何不变体系的组成规律2.4.1 基本分析方法(1)一. 先找第一个不变单元，逐步组装1. 先从地

12、基开始逐步组装例 1 图 5-1a，图 5-1b图 5-1a图 5-1b2. 先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装例 2 图 5-2a，图 5-2b图 5-2a图 5-2b2.4.2 基本分析方法(2)二. 去除二元体例 3 图 5-3a，图 5-3b图 5-3a图 5-3b2.4.3 约束等效代换1. 曲(折)链杆等效为直链杆 2. 联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰例3分析:1.折链杆 AC 与 DB 用直杆 2、3 代替 2.刚片 ECD 通过支杆 1 与地基相连。 结论：若杆 1、2、3 交于一点，则门整个体系几何瞬变有多余约束；图 5-4a例4分析:1刚片I、II、地基II由铰A与瞬

13、铰B、C相连。2.A、B、C 不共线。 结论：整个体系几何不变无多余约束。图 5-4b2.4.4 考虑体系与地基关系的方法1. 体系与地基以不共点的三支杆相连时，可以先分析体系内部再与地基起分析。图 5-5a若杆1、2、3 不交于一点，则 整个体系几何不变无多余约束。2. 体系与地基连接多于3 支杆则应与地基一起分析。具体分析方法见例3图 5-5b2.4.5 复杂体系(1)1. 通常要运用铰并使对象拉开距离图 5-6例5分析：1. 体系 W = 0 。2. 刚片 I、11、111。3. 刚片I、III由1、2杆连于瞬铰Ao4刚片II、III由3、4杆连于瞬铰Bo5.刚片I、II由5、6杆连于铰

14、Co 结论：体系几何不变,无多余约束。“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。下面两种做法均未能使刚片拉开距离，也就没能允分利用链杆，而是以实铰连接，不能正确分析此题。实铰 A、CI、II 及I、III均未拉开距离实铰 A、 CI、III未拉开距离图 5-6b图 5-6c例6分析：1刚片I、II由链杆1、2（瞬铰A）相连；2刚片II、III由链杆3、4（瞬铰B）相连；3刚片I、III由链杆5、6（瞬铰C,无穷远）相连。结论: A、B、C 三瞬铰不共线,体系几何不变无多余约束。图 5-72.4.6 复杂体系（2）2. 三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。若此两瞬

15、铰在不同方向，则体系几何不变, 反之几何可变。图 5-7a图 5-7b例7分析：1刚片I、II由链杆1、2（瞬铰B）相连。2刚片II、III由铰A相连。3. 刚片I、III由链杆3、4（瞬铰C）相连。4. 内部几何不变组成大刚片再与地基相连。 结论:几何不变无多余约束。图 5-8例8分析：1刚片1、11由链杆1、2（瞬铰A）相连。2刚片II、III由链杆3、4（瞬铰B）相连。3.刚片I、III由链杆5、6（瞬铰C）相连。4刚片I、II、III组成大刚片，再与地基相连。 结论:几何不变无多余约束。图 5-9247复杂体系（3）3. 三刚片由三较两两相连，其中两瞬较在无穷远处，若此两瞬较在不同方向

16、，则几何不变。图 5-11a 几何可变（ 瞬变）图 5-11b 几何可变 （ 常变 ）图 5-11c 几何可变（ 瞬变）图 5-10 几何不变4. 三刚片由三瞬铰两两相连,若三瞬铰均在无穷远处,则体系几何可变。例9无穷远处所有点均在一无穷远直线上曲率 k = 1/RR 00k 0 直线注意：以上所有 W =0 且几何可变（瞬变或常变）的体系均存在多余约束。2.4.8 思考与讨论（1）分析平面体系的几何构造时，运用基本构造单元按照搭积木和拆积木的方式是两种相逆的方法，很多体系可以用这两种方法进行分析，参考图5Ta、图5Tb和图5-3a、图5-3b（2）在几何构造分析中可以进行哪些等效变换，如何保证变换的等效性？第四节、结构的几何组成和静定性的关系静定结构：无多余约束的不可变体系。超静定结构：有多余约束的静定结构。第五部分、 作业P10-4（a）、（b）、（c）P10-5（a）、（b）、（c）（d）P10-6（a）、（b）、（c）（d）P2-7（a）、（b）、（c）P10-8