1.1.1正弦定理

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1、2.1.1 正弦定理正弦定理高一数学备课组高一数学备课组1.在ABC中，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c：(1)角的关系为_；(2)边的关系为_；(3)边角关系为_.ABCabc，abc大角对大边2.在RtABC中的有关定理或结论在RtABC中，若C90，则有：(1)AB ，0A90，0B90；(2)a2b2c2(勾股定理)；90ccc一般三角形是否仍成立？一般三角形是否仍成立？ACBDab在锐角三角形中：作在锐角三角形中：作AB边上的高边上的高CDsinCDaB sinCDbA sinsinaBbA 所以所以即即sinsinabAB 同理同理sinsinacAC ACBDab在钝角三角

2、形中：作在钝角三角形中：作AB边上的高边上的高CDsinCDAb sinsin(B)sinCDBDBCa 即即sinsinabAB sinsinCDaBbA所以所以sinsinsinabcABC外接圆法外接圆法ABCDBD 作作ABC外接圆的直径外接圆的直径CDabc2sinsin2bbbRbBDR 同理有同理有2,2sinsinacRRAC 即即2sinsinsinabcRABC 面积法面积法.Oyx解解:如图建立直角如图建立直角坐标系坐标系.过过C点作点作CD AB于于D.D则点则点C的坐标的坐标(bcosA,bsinA)(bcosA,bsinA)于是于是ABC的面积的面积 S=Abcsi

3、n21同样可得同样可得S=Bacsin21ABCbacCabsin211sin2bcA 1sin2acB 1sin2abC同除以同除以 ，12abc得得sinsinsinABCabcsinsinsinabcABC即即【例 1】已知在ABC 中，c10，A45，C30，求 a，b 和 B.c10，A45，C30，B180(AC)105.由asinAcsinC，得 acsinAsinC10sin45sin3010 2.由bsinBcsinC，得 bcsinBsinC10sin105sin3020sin75206 245 65 2.解解 已知两角及一边解三角形已知两角及一边解三角形 正弦定理正弦定理 探究一探究一 正弦定理在解三角形中的应用正弦定理在解三角形中的应用解析 B 角最小，b 边为最短边，由正弦定理csinCbsinB，得 bcsinBsinCsin45sin6063，最短边长为63.【变式】在ABC中，若acosAbcosBccosC，则ABC为_三角形由正弦定理，得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，acosAbcosBccosC，2RsinAcosA2RsinBcosB2RsinCcosC，即sinAcosAsinBcosBsinCcosC，即 tan Atan Btan C.又A，B，C(0，)，ABC.ABC 是等边三角形解解