人教版八年级上册数学分析

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1、Part 1：人教版八年级上册数学分析执笔人：武汉市翠微中学 陈浩 430050 ch1605 QQ：442052942第11章全等三角形分析一、教科书内容和课程学习目标【目标】本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质，并利用角的平分线的性质进行证明。【地位】通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满

2、足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等），同时为学习其他图形知识打好基础。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容。也是武汉市中考中的重要内容，在武汉市中考中的地位也越来越突出。【重、难点】从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。这既是本章的重点，也是教学的难点。教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确

3、地表达证明过程。“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。在“三角形全等的判定”一节中，得出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。用这些结论可以判定两个三角形全等。三角形全等的这些判定方法都是可以证明的，都可以作为定理处理。但是，这些定理（除“边边边”定理外）的证明方法都比较特殊。学生开始学习这些判定定理时，掌握定理的内容并不困难，困难的是定理的证明，而这些特殊的证明方法，在正式学习推理证明的开始阶段，并不要求学生掌握。所以为了突出重点，突出判定方法这条主线，本章中上述判定方法都是作为基本事实（公理）

4、提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性。值得注意的是，本节中的另一个判定方法“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”，则是利用“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”证明的。运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等。还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”（HL）判定两个直角三角形全等。本章中这个判定方法是作为基本事实（公理）提出来的，也是通过画图和实验，使学生确信它的正确性。在“角的平分线的性质”一节中，介绍了角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论。教科书用三角

5、形全等证明了前一个结论，并结合证明过程总结了证明一个几何命题的一般步骤。这两个结论是互逆定理。为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍。本节例题让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好了准备。得到：角平分线时的辅助线的方法（定理）与如何证明角平分线的方法（逆定理）举例：例1（2006年黄陂区期中考试题、定理）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，O为五个旅游城镇，他们之间都有笔直的

6、公路相通，OC平分AOB，公路AO所在的直线的解析式为，公路AB所在的直线的解析式为，（1） 求出A城镇的坐标；（2） 有公汽行驶在城镇之间，其票价与路程成正比，已知各城镇间的公汽票价如下：OA ：4元 ； A B ：3元O B ：5元； O D ：4元现将举办一个绕B，C，D三城的“环行一周游”旅游项目，按上述标准能否确定此项目的公汽的票价？若能，求出其票价；若不能，试说明理由。我区的自然风光无限，最具特色的是青龙大峡谷（A）和文佛奇峰山（B），它们位于笔直的高速公路X同侧，AB=10km，A，B到直线X的距离分别为AE=10.5km和BD=4.5km（1）方案一：旅游开发公司计划在高速公路

7、X旁修建一服务区C，并从服务区C向A、B两景区修建笔直公路运送游客公司选择较节省的方案（如图1：点B关于直线X的对称点是B1，连接AB1交直线X于点C），C到A、B的距离之和S1=AC+BC，求S1（2）方案二：在A，B两景区之间有一条与高速公路X垂直的省级公路Y，且A到省级公路Y的距离AH=7km（如图2）旅游开发公司打算在省级公路Y旁修建一服务区P，并从服务区P向A、B两景区修建笔直公路运送游客由于地形条件的限制，P只能选择图2的位置，通过测量得PA=PB，P到A、B的距离之和S2=AP+BP请你通过计算比较S1，S2的大小（参考数据：21.414）考点：勾股定理的应用；轴对称-最短路线问

8、题专题：计算题分析：（1）先根据勾股定理求出BF的长，再利用点B关于直线X的对称点是B1，求证AECCDB1，利用相似三角形对应变成比例求出EC和CD，然后利用勾股定理分别求出AC、BC即可（2）过B点作BNAE，交公路Y于M，交AE于N，利用轴对称-最短线路问题求出BM，设PH=x，根据勾股定理和已知条件AP=BP列出方程，求出PH，然后即可求得AP，从而可以比较比较S1，S2的大小解答：解：由笔直的高速公路X同侧，AB=10km，A，B到直线X的距离分别为AE=10.5km和BD=4.5km知，BF=DF-BD=10.5-4.5=6，AF=AB2-BF2=100-36=8，点B关于直线X的

9、对称点是B1，例2（2008年汉阳区期中考试第16题、定理）如图，AOCBOC15，DCx轴，CBx轴于点B，点D、B的横坐标分别为2+，4+，则点C的坐标为 .例3（2008年汉阳区期中考试题第22题）如下图，点P为ABC角平分线上的一点，D点和E点分别在AB和BC上，且PDPE，试探究BDP与BEP的数量关系，并给予证明（BDP+BEP=180）变式1：若在BC上截取BQ=BD，求证：PQ=PE变式2：过P作PABA，试写出BE、BD、BA之间的数量关系；（BD+BE=2BA）例4（2008硚口区期中考试题、逆定理）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？如图11，是小红的

10、做法，他的画法正确吗？请用全等三解形的知识来说明理由.图11利用三角板的刻度尺在AOB的两边上，分别取OM=ON.分别过M、N画OM、ON的垂线，交点为P.画射线OP.所以射线OP为AOB的角平分线.例5（2009湖南怀化市中考试题）如图9，P是BAC内的一点，垂足分别为点求证：（1）；（2）点P在BAC的角平分线上 【简而言之】本章的学习目标如下：1了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。例6 （2009海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则度数是（ ）A.72 B.60 C.58 D.502探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法

11、证明的格式。3了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。二、本章编写特点（一）注重探索结论在“三角形全等的判定”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想：探究1：两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等；探究2：三边对应相等，两个三角形是否一定全等；（SSS）探究3：两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；（SAS）探究4：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；（SSA）探究5：两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；（

12、ASA）探究6：两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；（AAS）探究7：三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；（AAA）探究8：斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形是否一定全等。(HL)探究27让学生探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。总的发展脉络是三边，两边一角（包括探究3，探究4两种情况），一边两角（包括探究5，探究6两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。探究1、（两个条件不可），探究4、（SSA），探究7（AAA）是不一定能判定全等的情况，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情况。其中应该记住

13、（SSA），探究7（AAA）的两个特例。例 7 （2009江苏省）如图，给出下列四组条件：；其中，能使的条件共有（ ）A1组B2组 C3组 D4组（二）注重推理能力的培养证明是数学的最高境界目前再不是七年级的说点理了，本章开始要求学生严格的进行证明，为了解决这个难点，教科书做了一些努力。1注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步做准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。2在不同的阶段，安排不同的练习内

14、容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安排的问题涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生分析问题、根据需要选择有关的结论去证明的能力。3注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。例如，在“三角形全等的判定”一节证明例1的结论“ABDACD”以前，首先指出证题的思路：“要证ABDACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等。”为了清楚地表达上述思考过程，引入“”“”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。（三）

15、注重联系实际在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动他们学习的积极性。又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。用三角形全等可以说明实际测量方法的道理，教科书在例题和习题中安排了测量池塘两端的距离、测量河两岸相对两点的距离、用卡钳测量工件的内槽宽等内容，还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。三、几个值得关注的问题 （一）关于内容之间的联系 在“全等三角形”一节，让学生通

16、过观察、思考得出平移、翻折、旋转（全等变换）前后的图形全等的结论。这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。透视全等三角形的三大类型 武汉市翠微路中学 陈 浩 （430050）（本文发表在中学生天地2007年第3期上）与“三角形全等”有关的问题林林总总，习题又可变式发散，这样题量就千千万万，浩瀚无边，但其类型不外乎以下几种，抓住了全等三角形的几种类型，就抓住了问题的精髓，从而发现证明“全等”问题的方向现分类透视，供同学们学习时参考一、平移型全等三角形把ABC沿着某一条直线l平行移动，所得DEF与ABC称为平移型全等三角形有时这条直线就

17、是ABC的某一条边所在直线下图1，图2是常见的平移型全等三角形在证明平移型的全等型试题中，常常要碰到移动方向上的边的加（减）公共边，为边长相等创立条件如图1，若BEFC，则BEECFCEC，即：BCFE如图2，若BEFC，则BEECFCEC，即：BCFE例1 如图3，ABC中，A90，ADBC于D点，C的平分线CE交AB、AD于E、G，过G作FGBC交AB于F点试说明：AEBF提示：过E点作EHBC于H点证AFGBEH，得BEAF，BEEFAFEF即AEBF二、轴对称型全等三角形把ABC沿直线l翻折后，能与另一个三角形重合，则称它们是轴对称型全等三角形下图是常见的轴对称型全等三角形，其对称轴l

18、是对称点所连线段的垂直平分线 识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐含条件，例如有些具有公共边（如图4中的AC，有些具有公共角或对顶角（如图6、图7中的ACBDCE）例2 （2008哈尔滨市）已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC求证：OAOD例3 如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则A与1+2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）A、1+2=2AB、1+2=AC、A=2（1+2）D、1+2=A三、旋转型全等三角形1旋转一个任意角度将ABC绕顶点C旋转后，到达DCE的位置，则称ABC和DCE为旋转型全

19、等三角形如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形识别旋转型全等三角形时，要注意图9、10、11中，ACB和DCE隐含着一个等量减（加）等量的条件，通常用边角边（SAS）来识别两个三角形全等例4 （2008辽宁大连市）如图12，P是正ABC内的一点，若将PAC绕点A逆时针旋转到PAB，则PAP的度数为_（PAP=60，请读者自己证明） 例5 （2008河南省）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQ

20、ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明图图2旋转角度为1800把果把ABC绕着一个点O旋转180，得到另一个相应的三角形，那么这两个三角形称为中心对称型全等三角形，点O称为对称中心中心对称型全等三角形是旋转型全等三角形的一个特例（旋转角度为1800）如图所示是常见的中心对称型全等三角形，对称点连线都经过对称中心O，且被点O平分例6 （2008黄石市中考试题）如图，是上一点，交于点，CFAB求证：ABCDEF例7 （2009莆田市中考试题）已知：如图在中，过对角线的中点作直线分别交的延长线、的延长线于点（1）

21、观察图形并找出一对全等三角形：_，请加以证明；EBMODNFCAEBMODNFCA（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？ 为了使学生更全面地认识“全等”和“全等三角形”，教科书安排了“阅读与思考 全等与全等三角形”。这篇阅读材料以师生对话的形式对“全等”和“全等三角形”的相关问题作了进一步的介绍。全等是几何中的重要概念，是学生今后几何学习的重要基础。以三角形为载体介绍全等的知识，原因主要包括两个方面：一是三角形是最简单的多边形，可使学生在相对简单的图形环境中学习全等；二是任意多边形都可以分解为若干三角形，从而有利于把全等的知识推广到其他多边

22、形。对全等三角形的研究分为“性质”和“判定”两个方面，这两个方面是相辅相成的。认识到这一点，有利于学生今后对如平行四边形的性质和判定等知识的学习。作图内容在本章中是分散安排的，小结时应注意复习本章中涉及的下面几种作图： （1）已知三边作三角形； （2）作一个角等于已知角； （3）已知两边和它们的夹角作三角形； （4）已知两角和它们的夹边作三角形； （5）已知斜边和一条直角边作直角三角形； （6）作已知角的平分线。 （二）关于证明 解决推理入门难是本章的难点，除了教科书作了一些安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考。只有学生自己思考了，才能逐步熟悉推理的过程，掌握推理的方法。课堂上要注意

23、与学生共同活动，不要形成教师讲，学生听的局面。教师课堂上多提些问题，并注意留给学生足够的思考时间。一般情况下，证明一个几何中的命题有以下步骤： （1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。分析证明命题的途径，这一步学生比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。在一般情况下，不要求写出分析的过程。有些题目已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。在本章中还会遇到

24、通过举反例说明两个三角形满足某些条件不一定全等。判断一个命题是假命题，只要举出一个反例。找反例对学生来说是比较困难的，学生在一般情况下不容易发现反例。教师要根据学生的情况进行指导，尽量多发现几个反例，使学生学会举反例。 问题链中的意外插曲（中学数学07年第3期）陈 浩1 李乐利2 【1：武汉市翠微中学 430050 2：武汉市黄陂区教研室 430300】美国数学家哈尔莫斯指出：“定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题才是数学的心脏”数学的思维是解决问题的心智活动，为引导学生不断深入思考，再创，从深层次，多角度思考问题，笔者在全等三角形这一章，特意设计了如

25、下的问题链，却出现了一个让人意外小插曲，让人意外，但又回味悠长！首先给出：问题链I：命题1：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等命题2：有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等对于这两个命题，大多数同学能顺利完成推广链II：将命题中的“高”分别换成“中线”，得到命题3：有两边和其中一边上的中线对应相等的两个锐角三角形全等命题4：有两边和第三边上的中线对应相等的两个锐角三角形全等对于命题3的证明，学生不会感到困难，命题4利用“中线倍长”也可解决链III：将命题中的“中线”分别换成“角平分线”，得到类似命题命题5：有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个锐角三角形全等命题6：

26、有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个锐角三角形全等弱化链IV：将上述6个命题中的锐角三角形中的“锐角”去掉，判断这6个命题的真假，从而认识三角形的“高”的特殊性，得到 “有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等”，“有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等”这两个命题不成立现画出反例图形如下：如图1，CCAE，BC=BC， ABC与ABC中，AB=AB，BC=BC，AB边上的两条高CD、CE相等，明显ABC与ABC不全等，如图2，ABC与ABC中，AB=AB，BC=BC，AC边与AC边上的高相同，明显ABC与ABC也不全等以上探究活动，较好地复习巩固了三角形全等的知识，同时通过类

27、比思想，引导学生得到探究问题的方法至此，笔者正准备进入下一个环节，一生提出： 链V：命题7：有两边及两边夹角的平分线对应相等的两个三角形全等此言一出，语惊四座，猜想声，讨论声不绝入耳，眼看形势难收，于是提出让学生课后讨论、实践、实验、测量验证，初步得到这是一个真命题，但全等的几个判定方法不太适用，事隔数日，终不能如愿，后笔者查找资料，为学有余力的同学提供两种较好的证明方法：方法一：利用斯台沃特定理ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，D为BC任意一点，BD=u，CD=v， AD=t引理【1】：（斯台沃特定理）引理【2】：当AD为ABC的角平分线时， ( 其中p=)引理【1】证明：如图3，过A

28、作AEBC于E， 设DE=x， 则有， (若E在BC的延长线上，则将换成)于是有： 消去x得： 引理【2】证明：当AD为ABC的角平分线时，由三角形平分线定理得：，代入引理1中，得引理【2】设a+b+c=2p， 得（这就是内角平分线公式）于是，如图4，在ABC中和ABC中，设AB=AB=c， AC=AC=b， BC=a， BC=a 又 a+b+c=2p， a +b+c=2p AD=A D，由引理【2】得：p(p-a)=p (p-a) 即 a=a ， 即BC=BC 则两三角形的三边对应相等，由“SSS”可以证明命题7是真命题方法二、利用余弦定理： 证明：如图5，在ABC中和ABC中，设AB=AB

29、=c， AC=AC=b， AD=AD=y， BAD=CAD=，BAD=CAD=，由余弦定理知： 同理： 化简后得：（1）若b=c，可由等腰三角形的知识很快证明，这里不再赘述（2）可由“相似三角形”的相关知识证明，（3）， ， ，即BAC=BAC则命题7的正确性，可由“SAS”得证对于数学在探究之中提出的问题，不要一棒子打死，让他们在探究，实验，测量之中得到乐趣，得到探究的欲望，若教师加以适当的辅导，让优秀的学生看得更远，飞得更高，同时也能教学相长！改进证明：AB=AB，AC=AC，AD，AD分别是BACBAC的平分线，AD=AD，求证ABCABC证明：，AB=AB，AC=AC，AD=AD，则D

30、E=DE，则AE=AE，证明ABEABE（SSS），则BAD=BAD，则BAC=BAC，则ABCABC（SAS）拓展命题1：有两边和其中一边的对角的平分线对应相等的两个三角形全等。命题2：有两边和其中一边的中线对应相等的两个三角形全等。命题3：有三条中线对应相等的两个三角形全等。命题4：有三条高线对应相等的两个三角形全等。参考中小学数学教师版2007年第1-2期全等三角形判定中的几个拓展命题，作者：浙江省慈溪市附海镇初级中学 童浩军 （三）基本思路与基本习题一、关注基本图形与基本结论题基：AE是过等腰RtABC的直角顶点的一条直线，分别过B、C两点引AE的垂线BD，CE，则BD、DE、CE有怎

31、样的数量关系：以图1-3加以说明。例1（2008汉阳区期中考试题压轴题）如图1，OA2，OB4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC (1)求C点的坐标 (2)如图，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰RtAPD，过D作DEx轴于E点，求OPDE的值 （3）如图3，已知点F坐标为（2，2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作等腰RtFGH，始终保持GFH900，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：mn为定值；mn为定值，其中只有一个结论是正确的，

32、请找出正确的结论，并求出其值 例2（2008东西湖区期末考试压轴题）如图，已知ABC中，BAC=900，ABAC，点B在y轴正半轴上，点C在x轴的负半轴上.（1）直线MN过点A，分别过点B、C作BEMN于点E，CFMN于点F，若BEa，CFb，求EF的长(用a、b表示)（如图1）；（2）将直线MN绕点A旋转，使得射线AM在BAC的内部（MN不与BC垂直），若（1）中其他的条件不变，试求EF的长(用a、b表示).请你画出图形，并写出结论（不写过程）；（3）若直线BC的解析式为y，且A（8，8），当B在y轴的正半轴上运动时，现给出两个结论：mn为定值；mn为定值，其中只有一个结论是正确的，请给出正

33、确的结论，并求出其值，指出此时m的取值范围. 例3（2008浙江台州市中考试题）经过顶点的一条直线，分别是直线上两点，且（1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题：如图1，若，则 ； （填“”，“”或“”）；如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图3，若直线经过的外部，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）ABCEFDDABCEFADFCEB（图1）（图2）（图3）例7图 （1）；所填的条件是：证明：在中，又，又，又，（2）二、关注图形变换中的证明例4 （2008河北省中考试题）如图14-1，的边在直线上，且；的边也在直

34、线上，边与边重合，且（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连接，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连接，你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由A（E）BC（F）PlllAABBQPEFFCQ图14-1图14-2图14-3EPC证明：（1）；（2）；证明：由已知，得，又，在和中，lABFCQ图3M234EP，如图3，延长交于点，lABQPEF图4NC在中，又，

35、（3）成立证明：如图4，又，在和中，如图4，延长交于点，则，在中，三、借题掘题、变式训练题基：如图1，ABC中，AC=BC，ACB=90，AE平分BAC交BC于E，BDAE于D，求证：BE=2CD。【实例1某报期中考试模拟试题】 如图，等腰RtABC中，BAC900，点A、C分别在y轴、x轴上（1）如图17，若已知点A的坐标为（0，2），OC5，求B点的坐标；（2）如图18，点P是第一三象限的平分线DQ上的一动点，是否存在点P，使得PAC的面积是12，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由；（2）如图19，将ABC绕C点旋转，使得x轴恰好平分ACB，AC交x轴于点N，过B点作BMx轴于M点

36、，写出NC与BM的数量关系，证明你的理由；变式1：如图1，BE是等腰RtABCABC的平分线，过E作EDBC于D点，求证：EDC的周长等于AB的长。变式2：如图2，连接AD，求证：ADB=45；变式3：如图3，若点P为ABC外一点，且APC=135，判断BP、PC的位置关系；（key：BPPC）（附加：PB、PC、PA之间还有一个的数量关系，略）变式4：如图4，ABC中，AC=BC，ACB=90，AE平分BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC交AC的延长线于M连接CD，求的值。（key：）变式5：如图5，延长BA、CD交于F点，求证：AF+CE=AB；变式6：如图6，过A作ATBD于T点，写

37、出AT、TE、BE之间的数量关系；（key：AT+TE=）。（附加：AT+TE=CD）变式7：将题目中的条件“AE平分BAC”改为“AE平分BAC处的外角”，其他条件不变，上述还成立吗？ 例5（2008梅州市中考试题）在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰RtADE（1）如果AB=AC，BAC=90解答下列问题：如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CE、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图2，线段CE、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 请在上面两个结论中任选一个说明理由（2）如果ABAC，BA

38、C90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CEBC（点C、E重合除外）？请在图3中画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）图1图2图3变式1： (2008湖北咸宁)如图，在RtABC 中，D、E是斜边BC上两点，且DAE=45，将绕点顺时针旋转90后，得到，连接，下列结论： ； ； 其中正确的是【 B 】 A； B；C； D变式2：（2008山东泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连接图1图2DCEAB（第22题）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：变

39、式3： 如图1，BCA与DCE是共直角顶点的等腰直角三角形（1）当点D在AB上时，BD与AE的数量关系与位置关系分别是什么，写出你的结论并加以证明；（2）如图2，当点D不知线段AB上时，上述结论还能成立吗？若能成立，请证明你的结论，若不能成立，写出你的理由；（3）如果ABC不是等腰直角三角形，但CAB450，以点C为直角顶点作等腰RtCDE，当点D在线段AB上运动，（点D、A重合除外）；请画出图3中，（1）中的两个结论还成立吗？写出你的结论并证明四、立足课本、变式编拟例4 （课本习题）如图1，ABC中，B、C的平分线交于O点，过O点作EFBC，分别交AB、AC于E、F两点，判断BE、CF、EF

40、之间的数量关系；变式1：如图2，将“B、C的平分线交于O点”改为“B与ACB的邻补角交于O点”，其他条件不变，判断BE、CF、EF之间的数量关系；变式2：如图3，将“B、C的平分线交于O点”改为“B的邻补角与ACB的邻补角交于O点”，其他条件不变，判断BE、CF、EF之间的数量关系。变式4：（2006北京市中考试题）如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（

41、2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图变式5：如图，ABCD，BE、CE分别平分ABC、DCB，求证：AB+CD=BC；变式6：如图，直线y=x+1分别与坐标轴交于A、B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB。（1） 求直线AC的解析式；（2） 在x轴上取一点D（-1，0），过点D做AB的垂线，垂足为E点，交AC于点F，交y轴于点G，求F点的坐标；（3） 过B点作AC的平行线BM，过点O作直线y=kx（k0），分别交直线AC、BM于点H、

42、I，试求的值。第12章轴对称分析 【教材内容与目标】本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上，利用轴对称，探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形。轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。在本章第1小节“轴对称”中，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，从整体上概括出轴对称的特征。结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质（解决折叠问题），并结合这一性质的得出，讨论了垂直平分线的性质

43、定理及其逆定理。接下来，在第2小节“作轴对称图形”中，通过作轴对称图形、简单的图案设计、确定最短路线等活动，让学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵。用坐标表示轴对称，从数量关系的角度刻画了轴对称。教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质。由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛。而等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关，这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重

44、要原因。在本章第3小节“等腰三角形”中，利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容。【重、难点】在本章，轴对称的性质是本章的重点，轴对称的应用，利用轴对称设计图案，用坐标表示轴对称等都是围绕这一性质进行的。另外，等腰三角形的性质和判定也是本章的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，应用也比较广泛。按照整套教科书对于推理证明的安排，在“全等三角形”已经要求让学生会用符号表示推理（证明）的基础上，对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰（边）三角形的性质与判定等），仍是要求学生证明。由于学生刚开

45、始接触用符号表示推理，虽然教科书控制了证明难度，但是相对于上一章，推理的依据多了，图形、题目的复杂程度也增加了，因此会使一些学生感到无处下手，这是本章教学的一个难点，要注意帮助学生克服这一难点。【简而言之】学习目标1通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质；例1（2007年南昌市&汉阳区期末考试题）下列奥运会徽标图案中是轴对称图形的是（ ）2008年北京 2004年雅典 1988年汉城 1980年莫斯科例2（2007年河南省）如图，ABC与ABC关于直线l对称，则B的度数为【 】A30 B50 C90 D1002探索简单图形之间的轴对称关系

46、，能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形；认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计；例3（汉阳区期末考试题）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；（2）涂黑部分成轴对称图形请在图13中分别设计另外三种涂法（特别说明：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）（每一种1分）3了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法；例4（2008汉阳区期末考试题）如图，长方形ABCD的边AB

47、在x轴上，AB的中点与原点重合，AB2，AD1，过定点Q（0，2）和动点P（a，0) 的直线与长方形ABCD的边有公共点，则a的取值范围是 _4能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习空间与图形的兴趣。ABPCDEF例5 (2008台湾省)如图，rABC的内部有一点P，且D、E、F是P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点。若rABC的内角A=70，B=60，C=50，则ADBBECCFA的度数是( ) C (A) 180 (B) 270 (C) 360 (D) 480FEDCBA例6 （2008年武汉市中考试

48、题）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若AFC+BCF=150，则AFE+BCD的大小是（）.150 300 210 330例7（2009年4月调考试题）如图，D是线段AB、BC的垂直平分线的交点，若ABC50，则ADC的大小是（ ）A100 B115 C130 D150ADCEB例8（2009湖南怀化）如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点已知，则的度数为（ ）A B C D例9 (2009武汉)如图，已知O是四边形ABCD内一点，OAOBOC，ABCADC70，则ADO+DCO的大小是（ ）A70 B110 C140D150BCOAD二、本章编写特点

49、1有机的整合“图形与几何”领域的相关内容，利用变换研究图形的性质在以往的教科书中，等腰三角形的有关内容一般安排于介绍三角形的内容之中，利用三角形的全等研究等腰三角形的性质和判定。在本套教科书中，等腰三角形的有关内容安排在了“轴对称”一章，学生学完了轴对称的相关性质之后，利用轴对称的有关知识研究等腰三角形的性质，再利用三角形的全等的知识给以证明，这是本章编排上的一个特点。等腰三角形是一个很好的轴对称图形，它的许多性质都与它是轴对称图形有关。利用它的轴对称性，不仅有助于发现等腰三角形的一些性质，而且也能为利用三角形全等的知识证明一些性质提供思路，在教科书的编写中，充分重视了这一点。例如，教科书引出

50、等腰三角形概念时，不是直接给出定义，而是直接通过一个“探究”栏目，让学生自己剪出一个三角形。这个剪三角形的过程，就是利用轴对称得到一个等腰三角形的过程。这个过程还保留下了中间折叠的痕迹，它就是等腰三角形的对称轴。接下来教科书安排的“思考”栏目是前面“探究”的继续，受剪出等腰三角形的过程的启发，学生很容易想到它是一个轴对称图形，折痕就是它的对称轴。通过找出其中重合的线段和重合的角利用轴对称变换的性质，可以很容易的引导学生得出等腰三角形的两个性质：“等边对等角”以及“三线合一”。在进一步证明这两个性质的过程中，关键是要添加辅助线，而有了前面的“探究”“思考”的铺垫，如何添加这个辅助线也就是水到渠成

51、的了。例10(2008福建龙岩)16如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ C ）A4B3C2D再如，利用等腰三角形的轴对称性，可以发现等腰三角形中许多相等的线段或角，如两底角平分线、两腰的中线、两腰的高等。教科书也安排了这样一个“数学活动”，让学生利用等腰三角形的轴对称性去发现一些等腰三角形中的相等的线段和角，利用图形的运动研究图形的性质。等腰三角形是一种轴对称图形，教科书将等腰三角形的相关内容安排在轴对称之后，就是要利用轴对称研究等腰三角形的有关性质，并进一步利用三角形的全等证明这些性质。将图形的运动与图形的认识、图形的证

52、明有机整合，利用运动研究图形，得到图形的性质，再通过推理证明这些结论。 例11 (汉阳区期末考试题)如图，已知AB=AC，PBPC，D 是AP上的一点，求证：2注意联系实际人们生活在三维空间，丰富多彩的图形世界给“图形与几何”的学习提供了大量真实的素材。本章的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中也有着广泛的应用，因此在教学中要注意联系实际，从实际出发引入概念，并将所学知识应用到实际生活中。例如，轴对称现象在生活中是很常见的，教科书选用了从天安门到故宫的鸟瞰图作为章头图，在第1节的开头，也举出了如自然景观、分子结构、建筑物、艺术作品、日常生活用品、窗花等实际例子，让学生感受对称现象的无处不在，通

53、过观察这些图形，引出轴对称的概念。在实际教学中，可以结合当地实际选择一些轴对称图形的例子，这些素材不仅应包括人们所习惯的标准几何图形，更应包括丰富多彩的现实世界中的二、三维图形，使学生欣赏现实世界中与轴对称有关的图案，并能够从中发现轴对称的特征。除了注意从实际例子引出轴对称内容的学习以外，教科书也给出了一些应用轴对称的例子，如利用轴对称的观点来解释现实生活中的有关现象、简单的利用轴对称设计图案、利用轴对称解决一些有关最大、最小的选址问题等等，教科书也注意体现所学知识的应用，体现一个具体抽象具体的过程。例12（汉阳区期末考试题）如图1，直线y2x4分别与x轴、y轴相交于点A和点B，以B为顶点在第

54、一象限作等腰RtABC（1）求点C的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得MAMC最小，如果存在，请求出的点M的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，若P点为y轴正半轴上一个动点，分别以AP、OP为腰在第一象限、第二象限作等腰RtAPC和等腰RtOPD，连接CD交y轴于N点，当点P在y轴上移动时，下列两个结论：CDCP的值不变；PN的长度不变。其中有且只有一个是正确的，请选择，并求其值 3注意让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程在内容处理上，教科书加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合。论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的

55、有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用。对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过“留空”、设问、设置“思考”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形的证明有机整合。例如，对于等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质的得出，教科书通过设置一个“探究”“思考”栏目，让学生剪出等腰三角形，并进一步利用轴

56、对称的性质思考其中相等的线段和相等的角，进而发现等腰三角形的性质。接下来，从上面的操作过程启发，通过做出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等证明等腰三角形的这两个性质。这种处理，将实验几何与论证几何有机的整合在一起，使学生经历了一个观察、实验、探究、归纳、推理、证明的认识图形的全过程，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论之后的自然延续，完成好由实验几何到论证几何的过渡。EABDFC例13（2008山东潍坊）如图，中，平分，交于，下列结论一定成立的是（ ）ABCD三、几个值得关注的问题1注意知识间的联系本章的内容较多，课程标准“图形与几何”领域中图形的性质、图形的运动、图形与坐标各个部分的内容在本章都有涉及，教学时要注意把握各个部分内容之间的联系，有机的整合各个部分的内容。本章从认识轴对称图形开始，又进一步介绍了两个图形关于某条直线对称（两个图形成轴对称），要注意这两个概念间的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折