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1、2021/3/2912021/3/2921 1直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念3 3数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题2 2直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直al bl abAbalbalA2021/3/293在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=AD，BC=CD.求证：求证：BDAC.如图，取如图，取BD的中点的中点K，连接，连接AK，CK.AB=AD,K为为BD中点，中点，AKBD.同理同理CKBD.AKKC=K,BD平面平面AKC.AC平面平面AKC，BDAC.线面垂直的判定线面垂直的判定
2、2021/3/294如图如图2-4-2所示，三棱锥所示，三棱锥SABC中，中，SB=AB，SC=AC，作，作ADBC于于D，SHAD于于H，求证：求证：SH平面平面ABC.图图2-4-2【分析】【分析】考查线面垂直的判定定理考查线面垂直的判定定理.【证明】【证明】取取SA的中点的中点E，连接连接EC，EB.SB=AB,SC=AC,SABE,SACE.又又CEBE=E,SA平面平面BCE.BC平面平面BCE，2021/3/295SABC.又又ADBC,ADAS=A,BC平面平面SAD.SH平面平面SAD，SHBC.又又SHAD,ADBC=D,SH平面平面ABC.【评析】证明线面垂直，需先有线线垂
3、直，抓住条件中【评析】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过作辅助平面，找到所需要的另一条直线作辅助平面，找到所需要的另一条直线.2021/3/296练习在练习在RtRtABCABC中中,B=90,B=90,P,P为为ABCABC所在平面外一点所在平面外一点,PA,PA平面平面ABCABC(1)(1)四面体四面体P-ABCP-ABC中有几个直角三角形中有几个直角三角形(2)(2)指出指出PB,PCPB,PC与平面与平面ABCABC所成的角所成的角AC,PCAC,PC与平面与平面PABPAB所成的角
4、所成的角ACBP2021/3/297例在正方体例在正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，中，求直线求直线A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角AC1DCB1P变式变式：（）：（）求直线求直线ACAC与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角B1A1D1Q练习练习1.两直线与一个平面所成的角相等两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗它们平行吗？2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗？两平行直线和一个平面所成的角相等吗？2021/3/298中心：等边三角形特有的中心：等边三角形特有的重心：三角形三边上的
5、中线的交点重心：三角形三边上的中线的交点垂心：三角形底边上高的交点垂心：三角形底边上高的交点内心：三角形角平分线的交点内心：三角形角平分线的交点外心：三角形三边垂直平分线的交点外心：三角形三边垂直平分线的交点2021/3/299过点为连则则边点则0 0ABC所ABC所在在平平面面外外一一P,作P,作PO PO,垂,垂足足O,接O,接PA,PB,PC.PA,PB,PC.1).若1).若PA=PB=PC,O是PA=PB=PC,O是ABC的ABC的_心_心.2).若2).若PA=PB=PC,PA=PB=PC,C=90,O是C=90,O是AB的AB的_._.*3).若*3).若PA PA PB,PB
6、PB,PB PC,PC PC,PC PA,O是PA,O是ABCABC的的_心_心.2021/3/29101一、二面角一、二面角半平面半平面 一个一个平面平面内的一条内的一条直线直线把这个把这个平面平面分成分成两个部分两个部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做半平面半平面。2021/3/2911OBAAB 从一条直线出发的两个半平面所组成的从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做图形叫做二面角二面角。这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。1、二面角定义：、二面角定义：二面角二面角 AB 记为：记为：类比类比2021/3/29
7、12AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD2、画法、画法2021/3/2913 lOO1ABA1B1A O BA1O1B1？以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为端点，在上任意一点为端点，在两个两个面内面内分别作分别作垂直垂直于棱的两条射线，这两条射线于棱的两条射线，这两条射线所成的所成的角角叫做叫做二面角二面角 l 的平面角。的平面角。9二面角的大小用它的平面角来度量二面角的大小用它的平面角来度量 范围范围3、二面角的平面角、二面角的平面角二面角的大小如何来度量？二面角的大小如何来度量？0，1802021/3/2914平面角是平面角是直角直角的二面角叫做的
8、二面角叫做直二面角直二面角.相交成直二面角的两个平面，叫做相交成直二面角的两个平面，叫做互互相垂直的平面相垂直的平面.直二面角直二面角2021/3/2915附附:角与二面角之间的关系角与二面角之间的关系 角角图形图形构成构成表示法表示法O顶点顶点边边边边AB二面角二面角从平面内一点出从平面内一点出发的两条射线所发的两条射线所组成的图形组成的图形.从空间一条直线出从空间一条直线出发的两个半平面所发的两个半平面所组成的图形组成的图形.定义定义射线射线点点射线射线半平面半平面棱棱半平面半平面 AOB二面角二面角 a 或或 AB a 棱棱面面面面AB2021/3/2916一、二面角的平面角的作法和求法
9、一、二面角的平面角的作法和求法1、定义定义 lABO lD2、作作(找找)面的垂线面的垂线 构造普通三角形求角构造普通三角形求角 构造直角三角形求角构造直角三角形求角A O 2021/3/2917两个平面相交两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角如果所成的二面角是直二面角,就说就说这这两个平面互相垂直两个平面互相垂直。记作记作:2.2.画法画法1.定义定义二、面面垂直二、面面垂直2021/3/2918平面与平面垂直的判定定理：平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直的垂线，则这两个平面垂直.l,ll2021/3/2919如果一个平
10、面经过另一个平面的一条垂线，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。那么这两个平面互相垂直。3.3.面面垂直判定方法面面垂直判定方法（1 1）定义）定义（2 2）判定定理）判定定理CDAB 线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直直二面角直二面角a,a2021/3/2920理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，如图，OO在平面在平面内，内，ABAB是是OO的直径，的直径，PAPA，C C为圆周上为圆周上不同于不同于A A、B B的任意一点，求证：的任意一点，求证：平面平面PACPAC平面平面PBC.PBC.P PA AB BC CO O2021/3/2921如图，如图，ABCD是
11、正方形，是正方形，PA平面平面ABCD，且，且PAABa.(1)二面角二面角APDC的度数为的度数为_；(2)二面角二面角BPAD的度数为的度数为_；(3)二面角二面角BPAC的度数为的度数为_；9009004502021/3/2922 例例2 2 如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面的底面为矩形，为矩形，PAPA底面底面ABCDABCD，PA=ADPA=AD，M M为为ABAB的中点，求证：平面的中点，求证：平面PMCPMC平面平面PCD.PCD.P PA AB BC CD DM ME EF F2021/3/2923AA1 B1 C1BCE作业作业：如图，在正三棱柱：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，中，（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱），直的三棱柱），E为为B B1 的中点，的中点，求证：截面求证：截面A1 EC侧面侧面AC1。
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