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1、空间向量讲义（非常好用）向量的数量积和坐标运算a, b是两个非零向量，它们的夹角为。，则数la I -1 b I - cos9叫做a与b的数量积（或ir r fc- b- r-rr内积），记作a b,即a b = a I I b I cos。.其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：若 a = 3, y ,乙）,b = 3 , y ,乙），则 111222 a b = x x + yy + z z ；1 21 21 2 I a I= ：x 2 + y 2 + z 2 ,I b I=、；x 2 + y 2 + z 2 ；111222 a b = x x + yy + z
2、z121212x x + y y + zz cos = ,121212x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2l 111、2221.2. 异面直线m, n所成的角分别在直线m,n上取定向量a,b，则异面直线m,n所成的角9等于向量H,b所成的角或其补角D图1 bI a b I （如图1所示），则cos9 =。I a I I b I1.3. 异面直线m、n的距离分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的 向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在n上的射影长，即d =I ABn IbI n I1.4. 直线L与平面a所成的角I
3、 AB n I在L上取定AB，求平面a的法向量n （如图2所示），再求cos9 =，则I AB I I nIP =5一9为所求的角.1.5. 二面角方法一：构造二面角a-1-P的两个半平面以弗的法向量n1、七（都取向上的方向，如图3所示），贝U 若二面角a-1-P是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大图3甲小等于两法向量n、n的夹角的补角，即cosO=- 1.（例如2004年高考数学12I n I -1 n I广东卷第18题第（1）问）. 若二面角a-1-P是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量n、n的夹角，os0 = Jh 12I n I -1 n I图3乙 方法二：在二面角的棱1
4、上确定两个点A、B，过A、B分别在平面a、0内求出与1垂 直的向量n、n2 （如图4所示），则二面角a-1-P的大小等于向量n、n的夹角，即*0= %七12I n I I n I1.6. 平面外一点p到平面a的距离先求出平面a的法向量n，在平面内任取一定点A，则点p到平I AP n I 面a的距离d等于AP在n上的射影长，即d =:I n I练习1 .在长方体ABCD - A1B1C1D中，B】。和qD与底面所成的角分别为60和45,则异面直线 BC和q D所成角的余弦值为 .2.如图，正四棱柱ABCD - A1 B1C1 D1中,AD1所成角的余弦值为（A .-5AA广2AB，则异面直线A1
5、 B与3 .，在四面体S-ABC中,E、F、G、H、M、N 分别是棱 SA、BC、AB、SC、AC、SB 的中点,B且 EF=GH=MN,求证：SA 1 BC, SB 1 AC, SC 1 AB .4 .如图2,正三棱柱ABC - ABC的底面边长为a，侧棱长为技a ,求AC与侧面ABBA所成1 1 111 1的角.图25 .如图3,直三棱柱ABC - ABC中，底面是等腰直角三角形，ZACB = 90,侧棱1 1 1ABD的重心G，求点A1到平面AED的距离.AA1=2, D, E分别是CC1与A1 B的中点，点E在平面ABD上的射影是6 .已知正方体ABCD - ABCD的棱长为2, p,
6、 Q分别是BC, CD上的动点，且pQ = 2，确 1111定P, Q的位置，使QB 1PD .7 .如图4,在底面是直角梯形的四棱锥S - ABCD中，ZABC = 90 , SA1面ABCD ,1 图4SA = AB = BC = 1, AD = 1 ,求面SCD与面SBA所成二面角的正切值. 27.如图，在四棱锥S - ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD 底面ABCD, E, F分别为AB, SC的中点.(1) 证明EF 平面SAD ；设SD = 2DC，求二面角A-EF-D的大小的余弦值.8 .(本小题满分14分)如图，三棱柱A1 B1C1 - ABC中，平面A1 AB 平WA
7、BC,平地 AC 平 WABC,ABAC = 90 , AB = AC = 2, AA = 3.(I )求证：AA1 平面ABC ;(II) 求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值；(III) 求点B1到平面ABC1的距离9、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD!底面ABCD，侧棱PA=PD f，底面ABCD 为直角梯形，其中BCAD, AB!AD, AD=2AB=2BC=2, O为AD中点.(1) 求证：PO!平面 ABCD ；(2) 求异面直线PB与CD所成角的余弦值大八 . 小；(3) 线段AD上是否存在点0使得它到平面 .PCD的距离_.-3为M?若存在，求出器的值；若不存在，请一
8、一了说明理由.10 .如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD= AA1=1, AB=2。E是 CC1 的中点，(1) 求锐二面角D-B1E-B的余弦值(2) 试判断AC与面DB1E的位置关系，并说明理由。设M是棱AB上一点，若M到面DB1E的距离为号，试确定点M的位置。11如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA上平面ABCD, ZABC = 60。,E,F分别是BC, PC的中点.(I) 证明：AE1PD ;(II) 若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角正切 值为手，求二面角EAFC的余弦值.12 .长方体 ABCD-A1Bfpi 中，AB=2, AD=
9、1, AA产 , E、F分别是AB、CD的中点(1) 求证:DE1 平面 ABF ；(2) 求直线AB与平面ABF所成的角(3) 求二面角A-B1F-B的大小。13 .如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC, PC=AC=2, AB=BC, D是PB上一点，且CD 平面 PAB .(I) 求证:AB 平面PCB ；(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；课外练习1 .如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 段AB、BC上的点，且EB= FB=1 .(1)求二面角C-DE-C的正切值；(2)求直线Eq与FD1所成的余弦值.已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2 . E、F分别是线(111) 求二面角C-PA-B的大小的余弦值.2已知，如图四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是平行四边 形，PG 1平面ABCD，垂足为G, G在AD上，且18AG = -GD , BG GC,GB = GC = 2, E是BC的中点，四面体P-BCG的体积为8 33(I) 求异面直线GE与PC所成角余弦值；(II) 若F点是棱PC上一点，且DF 1 GC,求PF的值.FC
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