空间中直线与直线之间的位置关系

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1、空间中直线与直线之间的位置关系学习目标1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线 所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.尹知识梳理 自主学习知识点一空间中两条直线的位置关系1. 异面直线(1) 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析：异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交， 也不平行.不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然y7-有au a, bu &，即a, b分别在两个不同的平面内，但是因为aCb=O,所以a与b不是异面直线./ 一(2) 画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平

2、行也不相交，即不共面的特点，常常 需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感如图所示，a与b为异面直 线.(3) 判断方法内容方法定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平反证法 行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不 是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2. 空间中两条直线位置关系的分类(1) 按两条直线是否共面分类相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 J共面直

3、线回线平行直线：同一平面内，没有公共点I异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）按两条直线是否有公共点分类有且仅有一个公共点一一相交直线无公共点平行直线异面直线思考（1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?（2）两条垂直的直线必相交吗？答（1）不一定.可能相交、平行或异面.（2）不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直.知识点二公理4（平行公理）文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言ac是ab bcj图形语言知识点三空间等角定理1.定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.符号语言OAO A，OBO B习 Z

4、AOB=ZAZ O B 或 ZAOB+ZAZ O B=180图形语言/ / AB-工ZL 0 A0 A作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四异面直线所成的角1. 概念：已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作直线aa, bb，我们把a， 与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.2. 异面直线所成的角6的取值范围：0*W90.3. 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互

5、相垂直.两条互相垂直的异面 直线a, b,记作ab.4. 异面直线所成的角的两种求法（1）在空间任取一点O,过点O分别作aa，b，b，则a，与b所成的锐角（或直角） 为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.(Jt（2）在其中一条直线上任取一点（如在b上任取一点）0,过点O作另一条直线的平行线（如过 点O作a，a），则两条直线相交所成的锐角（或直角）为异面直线所成的角（如b与a，所成 的角），然后通过解三角形等方法求角（如图）.尹题型探究 重点突破题型一空间两条直线的位置关系的判定例1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行、相

6、交或异面答案D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCDA，B，C，D，中，A，D，所在直线为a, AB所在直线为b, 已知a 和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCDA，B，C，D，中的B，C， CC，DD，.故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位G置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是直线AB与直线BC的位置关系是 11(3) 直线D1D与直线D1C的位置关系是直线AB与直线B1C的位置关系是. 答案(1)平行(2)异面(2)相交(4)异面 解析序号结论理由(1)平行因为A1D1 BC，所以四

7、边形A1BCD1为平行四边形，所以入卢卬(2)异面A1B与B1C不同在任何一个平面内(3)相交D1DnD1C=D1(4)异面AB与B1C不同在任何一个平面内题型二公理4、等角定理的应用例2 E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A0 即的中点，求证：四边形BDF是平行 四边形.证明设Q是DD1的中点，连接 EQ, QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ/AD .1 1又因为在矩形ABCD中，AD / BC , 11111111所以EQ/BC .11所以四边形EQC1B1为平行四边形.所以BE / CQ.又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点，所以 QD / CF.

8、1所以四边形DQC1F为平行四边形.所以 CQ / FD .1又因为 B E / CQ，所以 B E / FD .所以四边形BEDF为平行四边形. 1跟踪训练2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，；CD，DA 的中点.(1) 求证：E, F, G, H四点共面；(2) 若四边形EFGH是矩形，求证：ACXBD.证明(1)在ABD中，.E，H分别是AB, AD的中点，.EHBD.同理 FGBD，则 EHFG.故E，F，G，H四点共面.由知EHBD，同理ACGH.又 .四边形EFGH是矩形， AEHXGH.故 ACXBD.题型三异面直线所成的角例3如图所示，在空间四边形

9、ABCD中，AB=CD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角.、解 如图，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，AB=CD，；所以 EGCD，GFAB，11住二一：*且 EG=-CD，GF=-AB.顼所以ZGFE就是EF与AB所成的角或其补角，EG=GF.因为ABXCD，所以 EGXGF.所以 ZEGF=90.所以AEFG为等腰直角三角形.所以ZGFE=45，即EF与AB所成的角为45.跟踪训练3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD 的中点，求EF与AB所成角的大小.解取AC的中点G，连接EG，F

10、G，*、则 EG/ 2AB，GF/ 2cD.故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所成的角， 直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角./ AB 与 CD所成的角为 30，AZEGF=30或 150.由AB=CD，知EG=FG，.EFG为等腰三角形.当 ZEGF=30 时，ZGEF=75；当 ZEGF=150 时，ZGEF=15.故EF与AB所成的角为15或 75.转化与化归思想例5在空间四边形ABCD中，AD=BC=2a, E, F分别是AB, CD的中点，EF=.J3a，求异面 直线AD，BC所成的角.分析 要求异面直线AD，BC所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD，BC平移至

11、一个三 角形中.此题已知E，F分别为AB，CD的中点，故可寻找一边中点，如BD的中点M，则ZEMF（或 其补角）为所求角.解 如图，取BD的中点M.由题意，知EM为ABAD的中位线，疽所以 EMAD 且 EM=|aD.同理，MFBC 且 MF=BC.乙所以EM=a，MF=a，且匕EMF（或其补角）为所求角.在等腰 MEF中，取EF的中点N，连接MN，则MNXEF.又因为EF=寸3a，云所以EN=-a.乙故有 sinZEMN=fN=.EM 2所以ZEMN=60，所以ZEMF=2ZEMN=120.因为匕 EMF=12090，所以AD，BC所成的角为匕EMF的补角， 即AD和BC所成的角为60.反证

12、法的合理应用例6如图，三棱锥P-ABC中，E是PC上异于点P的点.求证：AE与PB是异面直线.g分析 利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手，一个平面一 个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有 效的方法.证明 假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面a内，因为PEa，EEa，所以PE a.又因为CePE，所以CEa.所以点P，A，B，C都在平面a内.这与P，A，B，C不共面（P-ABC是三棱锥）矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.尹当堂检测 自查自纠1. 若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（

13、）A. 共面B.平行 C.异面 D.平行或异面2. 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行或异面B.相交或异面C.异面 D.相交3. 设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线（）A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条4. 如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异 面直线的图形有.（填序号）5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为尹课时箱练一、选择题1. 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A. 一定平行B. 一定相交C. 一

14、定异面D.相交或异面2. 已知空间两个角a，&，a与&的两边对应平行，且a=60,则&等于（）A.60B.120C.30D.60 或 1203. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线B%与CR所成的角为（）A.30B.45C.60D.904. 下面四种说法： 若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面； 若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； 若ab，则a、b与c所成的角相等； 若ab，b宜，则ac.其中正确的个数是（）A.4B.3C.2D.15. 空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是 （）A.梯形 B.矩形C.平行四边形D.正方形6.

15、 若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12,则过AB的中点E且平行于BD， AC的截面四边形的周长为（）A.10B.20C.8D.47. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述 正确的是（）A. CC1与B1E是异面直线卜B. C1C与AE共面C. AE与B1C1是异面直线D. AE与B1C1所成的角为60二、填空题8. 在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有 对.9. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABXEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD. 以上结论

16、中正确的序号为.M10. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线B与AR所成的角为,三、解答题11. 如图所示，等腰直角三角形 ABC 中，ZBAC=90，BC=/2, DAL AC，DAL AB，若 DA=1， 且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.12. 如图，E, F, G, H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE : EB=AH : HD=m, CF ： FB =CG : GD=n.(1) 证明：E, F, G, H四点共面;(2) m, n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形?(3) 在(2)的条件下，若ACXBD,试证明：EG=FH.

17、A当堂检测答案1. 答案D解析 若直线a和b共面，则由题意可知。足若a和b不共面，则由题意可知a与b是 异面直线.2. 答案B解析 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A与BC是异面直线，又AA/BB】，AA/DR，显 然BB1nBC=B，DD1与BC是异面直线，故选B.3. 答案A解析 我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P作直线lL以l为轴，与1 成30角的圆锥面的所有母线都与1成30角.4. 答案解析中，弋，M是中点，.AG BM，GM AB HN，.GHMN，即G，H，M，N四点共面；中，.H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，.， G，M，

18、N四点不共面，即GH与MN异面；中，注，M是中点.GMMD.GMHN， 22 即GMNH是梯形，则HG，MN必相交，H，G，M，N四点共面；中，同，G，H，M，N四 点不共面，即GH与MN异面.解析 设棱长为1，因为A1B1#C1D1，所以ZAED就是异面直线AE与AB所成的角.在 AED中* DE 2 1 cosZAEDi=屯=3=3.2课时精练答案、选择题1. 答案D 解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).2. 答案 D解析 由等角定理，知&与a相等或互补，故6=60。或120.3. 答案B解析 如图，在正方体ABCD-ABCD中，BB CC，故ZBBA就是异面11111

19、111!)-直线BA1与CC1所成的角，故为45.V !/4. 答案D解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故不对.若a、b 相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故不对若ab，bc，则a、c 平行、相交、异面均有可能，故不对.正确.5. 答案 D解析 如图，因为BDXAC，且BD=AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG/ EH/ |BD，HG/ EF/ ：AC.所以 FGHG，且 FG=HG.所以四边形 EFGH为正方形.6. 答案B解析设截面四边形为EFGH,E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，.EF=GH=1AC乙=4

20、， FG=HE=；BD=6，.周长为 2X(4+6)=20.乙7. 答案C 解析 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在 平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线， B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角， E为BC中点，AABC为正三角形，所以AEBC，D错误.综上所述，故选C.二、填空题8. 答案8解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧

21、棱组成2对异面直线，所以共有4X2 =8（对）异面直线.9. 答案解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，ABEF，EF与MN是异面直 线，ABCM，MNCD，只有正确.BD10. 答案 60解析 连接BC1，A1C1，VBC1#AD1，A异面直线B与AR所成的角即为直线B与BR所成 的角.在 A1BC1 中，A1B=BC1=A1C1，Z.ZA BC =60，11故异面直线A1B与AD1所成的角为60.三、解答题11. 解取AC的中点F，连接EF，BF，在 ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD，Z.ZBEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角（或其补角）.&C在 Rt

22、AABC 中，BC=，2，AB=AC，.，.AB=AC=1，11 抵在 RtAEAB 中，AB=1，AE=AD=，.BE.222在 RtAAEF 中，AF=1AC=1, AE=1,.EF=*1-：15在 RtAABF 中，AB=1, AF=，.BF=-. 乙乙1叫吏匚 EF在等腰三角形EBF中，cos/FEB=2页=房=*，2.异面直线BE与CD所成角的余弦值为*0.12. (1)证明 因为 AE : EB=AH : HD，所以 EHBD.又因为 CF : FB=CG : GD，所以 FGDB.所以EHFG.所以E，F，G，H四点共面.解 当且仅当EHFG，EH=FG时，四边形EFGH为平行四边形.EH AE川 ，e m “因 BD=AE+EB=m+r，所以 EH=m+iBD._n 同理 FG=nBD，由 EH=FG，得 m=n.故当m=n时，四边形EFGH为平行四边形.证明当 m=n 时，AE : EB=CF : FB，所以EFAC.又因为ACXBD，而ZFEH是AC与BD所成的角，所以ZFEH=90，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG=FH.