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1、第四讲空间向量一、定义:(1) 已知，则 AW = (x - x , y - y，z - z )212121(2) 已知 S = (x , y , z )，b = (x , y , z )，则月+ b = (x + x , y + y , z + z );111222121212?-b = (x - x , y - y , z - z ) ; S-b = x x + yy + zz 121212121212（3）数量积:r-b -cos0注：,_r-=k：(a + b)2；I a 1= ex 2 + y 2 + z 2(4)应用：已知 = (x , y ,z),b = (x , y , z )
2、111222x2y2z1z2=0Si bn S-b = 0二、空间向量解决空间立体几何问题:1、位置关系判定：（1）线线平行：a / E na = 3 n告=土 =孔x2y2z2兀线线垂直：a 1 b n 0 = （cos0 = 0） n x - x + y - y + z - z = 02121212（2）线面平行：a 1 an /a （其中a为平面的法向量）线面垂直：a/an 11以（3）面面平行：milan以/P,其中m为以的法向量3为。的法向量面面垂直：mian以ip,其中m为以的法向量，乃为。的法向量2、求夹角:p P线线角：I cos。1=1 I,月.思兀(2)线面角：sin。=1
3、 cos。日 |g|.|, 其中。日。，须- (3)二面角：COS0 = 21ZL ,其中0 g0,71)m n向量法求解二面角向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更 为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些 空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的 立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成 的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如 何用法向量求二面角。一. 利用法向量求二面角的大小的原理：设n1,
4、七分别为平面a, p的法向量，二面角a-1-p的大小为o，向量n ,n2的夹角为9，则有0+?=冗（图1）或0 =9 （图2）图1基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二 面角的平面角.二. 如何求平面的一个法向量:例题1：如图3,在正方体ABCD-A1BC1D1中G、E、F分别 为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系，则E（1，1,0）、F（ 1，1,0）、 22G（1,0，1 ）由此得:GE = （0,1,- 1） FE = （1,- 10）22 222设平面的法向量为n = 3, y, z）由n ge及n FE可
5、得- 厂尸 11 八n GE = y 一一z = 022 Inn FE = x - y = 022令y=1取平面的一个法向量为n = (1,1,1)评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只 要求出平面的某一个法向量(教简单的)即可。三. 法向量的应用举例：例题 4.在长方体 ABCDA1B1C1D】中，AB=2, BC=4, AA2,点 Q 是 BC的中点，求此时二面角AA1DQ的大小.评析(1)用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时 的三步曲：“找一一证一一求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上 降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直
6、接计算的目的，更加注重对 学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。(2)此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本 题中若令a =-1，则 n = (-1,-1,-2)，二 cos v n ,n =-6，二二面角 AA D121261Q的大小是v气,n2 =冗-arccosf 的补角arccos6。所以在计算之前不妨 先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。例5如图5,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD/BC,Z2ABC=900, SA1 面 ABCD, SA= 1 , AB=BC=1, AD= 1。求侧面 SCD 与2面SBA
7、所成的二面角的大小。评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方 法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）但判断侧 面SCD与面SBA所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时，图形的直观性就 不明显了，当不能很好地判断所求的二面角的类型时，以下给出解决方案。四. 当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时，通过判断法向量的方向来求解一面角.原理首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系: 如上图6所示，当我们把法向量控制成“一进一出”，此时两法向量在三个坐标平面xoy,yoz, xoz 的投影也.uv uv可以看成是“一进一出”，这时不难得出七n2的夹角就是二
8、面角的大小，反之就不是。其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢？图6 一 一v如图7所示：平面ABC的法向量n vv一右要法向量n的方向 向上，可设n = (x, y,1)或vvn = (x, y, z0)，其中z0 0；若要法向量n的方向vv向刖，可设n = (1,y,z)或n = (%,y,z)，其中x 0 ;若要法向量n的方向“向右”，可设n = 0v(x,1, y)或n = (x, y0, z)，其中 y0 0所以，只要我们判断两个法向量的方向是一进一出”，那么所求的二面角的平面角就等 于两法向量的夹角，如果是“同进同出”，那么所求
9、的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法 向量求二面角就可以做到随心所欲。1，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，AD/BC,ZABC=9Oo,SA1面 ABCD, SA= 1 , AB=BC=1, AD= 1。求侧面 SCD 与面 SBA 所成 22的二面角的大小。x2如图，正三棱柱ABC - ABC的所有棱长都为 1 1 12 , D为CC1中点.(I)求证：AB 平面A BD ;(口)求二面角A - A1B - C1的大小；3. 如图，已知四棱锥P- ABCD，底面ABCD为菱形，PA 1 平面 ABCD, ZABC = 60o, E, F 分别是BC, PC 的中点.(1)证明：AE 1 PD ;若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为手求二 面角E - AF - C的余弦值.4. 如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ZABC=600, PA=AC=a, PB=PD=，2。，点 E 在 PD 上，且 PE:ED=2:1.(1) 证明PA1平面ABCD;(2) 求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角。的大小5. 如图，直三棱柱 ABCA1B1C 1中，ZACB=90, AC=AA1=1,月。=皿， AB1与A1B相交于点D, M为B1C1的中点.(1)求证：CD平面BDM;
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