牛顿迭代法

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1、实验十七 牛顿迭代法【实验目的】1了解牛顿迭代法的基本概念。2了解牛顿迭代法的收敛性和收敛速度3.学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】用牛顿迭代法求方程x3 + x2 + x -1二0的近似根，误差不超过10-3。【实验准备】1. 牛顿迭代法原理设已知方程f (x)二0的近似根x ,则在x附近f (x)可用一阶泰勒多项式 00p(x)二f (x ) + f(x )(x x )近似代替.因此，方程f (x)二0可近似地表示为p(x)二0.0 0 0用xi表示p(x)二0的根，它与f (x)二0的根差异不大.设八x0)丰0,由于xi满足f (x) +八x)(x - x) = 0,解得f

2、 (x )=x 0f (x )0重复这一过程，得到迭代格式xn+1_ f (x )=x nnf(x )n这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为g(x) = x f (x)利.2. 牛顿迭代法的几何解析在x处作曲线的切线，切线方程为y = f (x ) + f(x )(x x )。令y = 0，可得0 0 0 0f(x )切线与x轴的交点坐标x = x ，这就是牛顿法的迭代公式。因此，牛顿法又称“切10 f(x )0线法”。图 17.1 牛顿迭代法3牛顿迭代法的收敛性计算可得 g(x) = _ f(x)f U，设X* 是 f (x)二 0 的单根，有 f (x*)二 0, f(x*)丰

3、0，则 f ( x)2g(x*) :f驚 0, 故在x*附近，有g(x)| 1 .根据不动点原理知牛顿迭代法收敛.4牛顿迭代法的收敛速度定理(牛顿法收敛定理)设f (x)在区间a, b上有二阶连续导数,且满足 f (a)f (b) 0,f(x)在a,b上不变号,f(x)在a,b上不等于 0,令m = min|f (x)|, M = max|f(x)|,有 b - a 2MmMa xba xb.则对任意x0 e a,b,牛顿迭代格式收敛于f (x)二0在a,b中的唯一实根x *，并且:2m2M.(1)q2n, q 二x - x* 1.m 0(2)clear;x=0.5;for i=1:3x=x-

4、(xA3+xA2+x-1)/(3*xA2+2*x+1)end可算得迭代数列的前3 项 0.5455, 0.5437, 0.5437.近三次迭代,就大大超过了精度要求. 练习2用牛顿迭代法求方程X2 = a(a 0).的近似正实根，由此建立一种求平方根的计 算方法.1a由计算可知，迭代格式为g(x) =(x + ).,在实验12的练习4种已经进行了讨论.2x练习3用牛顿迭代法求方程xex二1的正根.牛顿迭代法的迭代函数为g (x)二 X -f (x)xex 1=x (x + 1)ex如果取初值为x二0,相应的MATLAB代码为：0clear;x=0.0;for i=1:6x=x-(x*exp(x

5、)-1)/(x+1)*exp(x)end 可算得迭代数列的前6项1, 0.6839, 0.5775, 0.5672, 0.5671, 0.5671,说明迭代是收敛的.如果取初值为x二10,相应的MATLAB代码为：0clear;x=10.0;for i=1:20x=x-(x*exp(x)-1)/(x+1)*exp(x)end可算得迭代数列的前20 项为9.0909, 8.1900, 7.2989, 6.4194, 5.5544, 4.7076, 3.8844, 3.0933, 2.3487, 1.6759,1.1195, 0.7453, 0.5902, 0.5676, 0.5671, 0.56

6、71, 0.5671, 0.5671, 0.5671, 0.5671 说明迭代是收敛的.如果取初值为xo二1，或xo二1.5，可算得(MATLAB代码略去)迭代数列是发散的请 根据函数图形分析原因,练习4求方程x = e-x在x = 0.5附近的根,精确到10-5.先直接使用g(x)二e-x的迭代格式，相应的MATLAB代码为: n=0; eps=1.0e-5; x=0.5;while abs(x-exp(-x)epsp(-x); n=n+1;endx, n结果为X= 0.5671, n = 17,说明迭代17次后达到精度要求.为加快收敛速度，用h(x)二Xg(x) + (1-九)x构造迭代格

7、式，由实验的预备知识中可知取X =沁 0.625,1 - g (0.5)相应的 MATLAB 代码为：n=0; eps=1.0e-5; x=0.5;while abs(x-0.625*exp(-x)-0.375*x)eps x=0.625*exp(-x)+0.375*x; n=n+1;endx, n结果为 x= 0.5671, n = 3,说明迭代3次后达到精度要求.练习5对练习中方程x e-x，用加快后的迭代格式h(x)=求在x 0.51 - g(x)附近的根,精确到10-5 .g (x) 一 xg(x)(x + 1)e - x计算可得h(x),相应的MATLAB代码为：1 - g(x)1 + e-xn=0; eps=1.0e-5; x=0.5;while abs(x-(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x)epsx=(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x); n=n+1;endx, n结果为 x= 0.5671, n =2,说明迭代2次后达到精度要求.【练习与思考】1. 用牛顿迭代法求方程x In x 1的近似根.2. 为求出方程 x3 -x-1 0的根,在区间1,2内使用迭代函数进行迭代,记录迭代数据,问迭代是否收敛?对迭代进行加速,对比加速前的数据,比较加速效果.3. 使用在不动点x*的泰勒公式,证明牛顿迭代法收敛定理.