初三数学圆的经典讲义[行稳书屋]

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1、圆目 录一 圆的定义及相关概念二 垂经定理及其推论三 圆周角与圆心角四 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五 圆内接四边形六 会用切线 , 能证切线七 切线长定理八 三角形的内切圆九 了解弦切角与圆幂定理（选学）十 圆与圆的位置关系十一 圆的有关计算十二 圆的基础综合测试十三 圆的终极综合测试一圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径

2、。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。 点

3、在圆外dr；点在圆上d=r；点在圆内 dr；【典型例题】例1 在ABC 中，ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。MABC例2已知，如图，CD是直径，AE交O于B，且AB=OC，求A的度数。DOEBAC例3 O平面内一点P和O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？例5 如图,O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,，ABDCOE求CD的长例6.已知

4、：O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为，求的度数【考点速练】1.下列命题中，正确的是（ ） A三点确定一个圆B任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C任何一个四边形都有一个外接圆 D等腰三角形的外心一定在它的外部2如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D钝角三角形3圆的内接三角形的个数为（ ） A1个 B2 C3个D无数个4三角形的外接圆的个数为（ ） A1个 B2 C3个D无数个5下列说法中，正确的个数为（ ） 任意一点可以确定一个圆；任意两点可以确定一个圆；任意三点可以确定一个圆；经过任一点可以作圆；经过任意两点一定有圆 A1个

5、B2个 C3个 D4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界)7.已知O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在O上,则OA的长( ) A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm8.如图,O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个9.如图,A是半径为5的O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条10.要浇铸一个和残破轮片

6、同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径（要求保留作图痕迹）11.如图，已知在中，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长BDAC12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB16cm，拱高CD4cm，那么拱形的半径是m。13、 ABC中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是。14、如图，点P是半径为5的O内一点，且OP3，在过点P的所有的O的弦中，弦长为整数的弦的条数为。15.思考题ABDCEPFO如图所示,已知O的半径为10cm，P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂

7、线AE和BF,求AE-BF的值.【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1、在半径为2的圆中，弦长等于2的弦的弦心距为 _ 2. ABC的三个顶点在O上,且AB=AC=2,BAC=120,则O的半径= _, BC= _.3 P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_4. 如图,A,B,C三点在O上,且AB是O的直径,半径ODAC,垂足为F,若A=30,OF=3,则OA=_ , AC=_ , BC= _ .5.如图5,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB= _ 6.如图6, O中弦ABAC,D,E分别是AB,AC的中点.

8、若AB=AC,则四边形OEAD是 形;若OD=3,半径,则AB= _cm, AC= _ _ cm 7.如图7，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，CEA=30，则CD的长为_(5) (6) (7)二垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤推论2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论1中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平

9、分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB、CD是O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且ABDCONM求证：AB=CD例2已知，不过圆心的直线交O于C、D两点，AB是O的直径，AE于E，BF于F。求证：CE=DF 例3 如图所示，O的直径AB15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CECD交AB于E，DFCD交AB于F。（1）求证：AEBFOABCDEFm（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。例4 AB

10、CDPO。.如图，在O内，弦CD与直径AB交成角，若弦CD交直径AB于点P，且O半径为1，试问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】1.已知O的半径为2cm，弦AB长，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）. A1cm B.2cm C. D.cm3如图1，O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且ABCD，垂足为点E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（ ） A10cm B.8cm C. D.4.有下列判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ） A0个 B.1个 C.2个 D.3个5如图

11、2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A3:2 B.:2 C.: D.5:46.等腰三角形腰长为4cm,底角为,则外接圆直径为（ ）ADECBO图1 A2cm B.4cm C.6cm D.8cm AOCDB图27.如图,O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是 .8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ _m.ABDCO8009.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，求水的最大深度CDA

12、BCD10.如图，已知ABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心，CA为半径作圆交斜边AB于D，则AD的长为 。11.已知:如图,在O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为弧AB的中点,AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.12.如图所示，在O中，弦ABAC，弦BDBA，AC、BD交直径MN于E、F.求证：ME=NF.OABDCEFMNABMNCP13.（思考题）如图，与交于点A，B，过A的直线分别交，于M,N，C为MN的中点，P为的中点，求证：PA=PC.【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1.已知O的直径AB=10cm，弦CDAB，垂足为M。且OM=

13、3cm，则CD= .2D是半径为5cm的O内的一点，且D0=3cm，则过点D的所有弦中，最小的弦AB= cm.3.若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为cm，则此弦所对应弓形的弓高是 .4.已知O的弦AB=2cm,圆心到AB的距离为n,则O的半径R= ，O的周长为 . O的面积为 .5在O中，弦AB=10cm，C为劣孤的中点，OC交AB于D，CD=1cm，则O的半径是 .6O中，AB、CD是弦，且ABCD，且AB=8cm，CD=6cm，O的半径为5cm，连接AD、BC，则梯形ABCD的面积等于 .7如图，O的半径为4cm，弦AB、CD交于E点，AC=BC，OFCD于F，OF=2cm，则BED= .

14、AEFBCDO8已知O的半径为10cm，弦MNEF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 .三圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图，请证明。 考点34. 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆

15、周角所对的弦是直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形经典例题例1：下图中是圆周角的有 .是圆心角的有 。 例2：如图，A是O的圆周角，且A35,则OBC=_.BOCAOABC例3：如图，圆心角AOB=100，则ACB=EFCDGO例例：如图，是O的直径，点都在O上，若，则 （例）例5：如图2，O的直径过弦的中点，则 例6：已知：如图，AD是O的直径，ABC=30，则CAD=_._D_C_B_A_O 例7：已知O中，则O的半径为AOBDCGF1E例8 已知：如图所示，是O的内接三角形，O的直径BD交AC于E，AFBD于F，延长AF交BC于G求证：考点练习1.如图，已

16、知是O的圆周角，则圆心角是（）A B. C. D. 2.已知：如图，四边形ABCD是O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则BPC的度数是（ ）A45 B60 C75 D903.ABC中，A30，B60，AC6，则ABC外接圆的半径为（） A B C D34.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） A30 B150 C30或150 D605.如图所示，AB是O的直径，ADDE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的角有（ ）A2个 B3个 C4个 D5 个 BEDACO6.下列命题中，正确的是（ ）顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；

17、的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等ABCOABCD7.如图，O是等边三角形的外接圆，O的半径为2，则等边三角形的边长为（ ）ABCD（第9题）A8.如图，ABC内接于O，BAC=120，AB=AC，BD为 O的直径，AD=6，则BC 。9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台。ABOCxPO10.如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则1的度数为 。11.如图, AB是O的直径，点C在O上，BAC=30，点P在线段OB上运动.设AC

18、P=x，则x的取值范围是 .12.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时AOE56，则的度数是 . 13.如图，已知A、B、C、D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD、AD（1）求证：DB平分ADC； （2）若BE3，ED6，求AB的长 14.如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E连接AC、OC、BCEDBAOC（1）求证：ACO=BCD （2）若EB=，CD=，求O的直径15.如图，在RtABC中，ACB90，AC

19、5，CB12，AD是ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。（1）求证：ACAE；ACBDE（2）求ACD外接圆的半径。16.已知：如图等边内接于O，点是劣弧上的一点（端点除外），延长至，使，连结（1）若过圆心，如图，请你判断是什么三角形？并说明理由（2）若不过圆心，如图，又是什么三角形？为什么？AOCDPB图AOCDPB图四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么

20、它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）ABEFOOPOCO1O2ODO例1如图所示，点O是EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD例2、已知：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。OABC例3如图所示，在中，A=，O截的三条边长所得的三条弦等长，求BOC.例4如图，O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE求证：AC=AE OCAEBD例5如图所示，已知在O中，弦AB=CB，ABC=，ODAB于D，OEBC于E求证：是等边三角形OADEBC综合练习一、选择题 1下列

21、说法中正确的是（ ）A、相等的圆心角所对的弧相等 B、相等的弧所对的圆心角相等 C、相等的弦所对的弦心距相等 D、弦心距相等，则弦相等 2如图，在O中，AB的度数是，OBC=，那么OAC等于（ ）O图ABCA、 B、 C、 D、3P为O内一点，已知OP=1cm，O的半径r=2cm，则过P点弦中，最短的弦长为（ ）A、1cm B、cm C、cm D、4cm4在O中，AB与CD为两平行弦，ABCD，AB、CD所对圆心角分别为，若O的半径为6，则AB、CD两弦相距（ ）A、3 B、6 C、 D、5.如图所示，已知ABC是等边三角形，以BC为直径的O分别交AB、AC于点D、E。（1）试说明ODE的形状

22、；（2）如图2，若A=60，ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。6 如图，ABC是等边三角形，O过点B，C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E.弦DFAC，EF的延长线交BC的延长线于点G.（1）求证：BEF是等边三角形；AOBEDCGF（2）BA=4，CG=2，求BF的长.7 已知：如图，AOB=90，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1.如图1，内接于，则的半径为（ ）. AB4CD52.如图2，在中，点C是AB的中点，则等于（ ）. ABCD如图1如图2 3.如图3，A、B、C、D是上四点，

23、且D是AB的中点，CD交OB于E，= 度.4.如图4，已知AB是的直径，C、D是上的两点，则的度数是 .如图3如图4如图55.如图5，AB是半圆的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为 cm.6如图所示，在O中，AB是直径，COAB，D 是CO的中点，DEAB求证: EC=2EAABODEC五圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD中，A:B:C=2:3:4，求D的度数ABCDO（2）已知

24、圆内接四边形ABCD中，如图所示，AB、BC、CD、AD的度数之比为1:2:3:4,求A、B、C、D的度数例2 四边形ABCD内接于O，点P在CD的延长线上，且APBD求证：ADCBOP例3 如图所示，是等边三角形，D是BC上任一点求证：DB+DC=DAABCDO例4 AB是O的直径，弦DEAB，弦AF和DE的延长线交于C，连结DF、EF，求证：ABCDEO例5 如图所示，在中，AB=AC，过A点的直线与的外接圆交于E，与BC的延长线交于D求证：【考点速练】1圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角2已知四边形ABCD内接于O，则A:B:C:D=3:2: :7，且最大的内角为 AB

25、CEDO3如右图，已知四边形ABCD内接于O，AECD于E，若ABC=，则DAE= 4已知圆内接四边形ABCD的A、B、C的外角度数比为2:3:4，则A= ，B= 5圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 6若E是圆内接四边形ABCD的边BA的延长线上一点，BD=CD，EAD=，则BDC= 7四边形ABCD内接于圆，A、C的度数之比是5:4，B比D大，则A= 。D= 8圆内接四边形ABCD中，A、B、C的度数比是2：3：6,则D的度数是（ ） A、B、C、D、9如图1所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB延长线交于P，AC和BD交于Q，则图中相似三角形有（ ） A、1对B、2对C、3对D、4

26、对10如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（ ） A、B、C、D、11下列四边形中，有外接圆的四边形是（ ） A、有一个角为的平行四边形B、菱形 C、矩形D、直角梯形12如图2，四边形ABCD是圆的内接四边形，如果BCD的度数为，那么C等于（ ） A、B、C、D、13若四边形ABCD内接于圆，且A:B:C:D=5:m:4:n，则（ ）ADBCO图2 A、5m=4nB、4m=5nC、m+n=9D、m=n=ADCBPQ图114如图，已知O的半径为2，弦AB的长为，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上任一点（点C、D均不与A、B重合）.(1)求；ABCOD(2)求三角形ABD的最大面积

27、15如图所示，已知ABC内接于O，AB=AC，点D为劣弧BC上一动点（不与B、A、C重合），直线AD与BC交于E点，连结BD、DC. （1）求证:BDDC=DEDA； （2）若将D改为优弧BAC上一动点（不与B、A、C重合），其他条件均不改变，则（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论.ABCOAEDCB【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1过四边形ABCD顶点A、B、C作一个圆，若B+D，则D点在（ ） A、圆上B、圆内C、圆外D、不能确定2如图1，若AC=AD，那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（ ） A、5对B、6对C、7对D、8对 3如图2，已知的外角BCD的平分线CE交的外接圆于

28、E，则是（ ） A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形4如图3，四边形ABCD是O的内接四边形，AE是O的弦，且AECD，若B=，则DAE为（ ）ABCDEO图3ABCD图1 A、B、C、D、ABCDE图2ABDCO5已知：如图所示，四边形ABCD内接于O，BD是O直径，若DAC=，BC=，AD=5求AC的长六会用切线，能证切线考点速览：考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系0dr相离1d=r相切2dr相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 OA l 于A， OA为半径 l 为O的切线考点3判断直线是圆的切线的方

29、法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：例1.如图，ABC内接于O， AB是 O的直径，CAD ABC，判断直线AD与O的位置关系，并说明理由。例2.如图,OA=OB=13cm，AB=24cm，O的半径为5cm，AB与O相

30、切吗？为什么?例3.如图,PA、PB是O的切线，切点为A、B，C是O上一点，若P40。，求C的度数。ABCEOD例4如图所示，中，以AC为直径作O交AB于D，E为BC中点。求证：DE是O的切线例5（2010深圳）如图10，以点M（1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y x 与M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F （1）请直接写出OE、M的半径r、CH的长；（3分）（2）如图11，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH3:2，求cosQHC的值；（3分）（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交M于点T，弦AT交x轴于点N是否存在一个常数a，始终满

31、足MNMKa，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由（3分） xDABHCEMOF图10xyDABHCEMO图11PQxyDABHCEMOF图12NKy中考链接1.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB.试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。2. 如图，在RtABC中，C=90。 ，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且CBD= A，判断BD与O的位置关系，并证明你的结论。3. (2009深圳)如图，AB是O的直径，AB=10，DC切O于点C，

32、ADDC，垂足为D，AD交O于点E。（1）求证：AC平分BAD；（2）若sinBEC=，求DC的长。4（2008深圳）如图，点D是O的直径CA延长线上一点，点B在O上，且ABADAO（1）求证：BD是O的切线（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BEF的面积为8，cosBFA，求ACF的面积课堂速练（1）1 判断垂直于半径的直线是圆的切线。（ ）过半径外端的直线是圆的切线。（ ）与圆有公共点的直线是圆的切线。（ ）圆的切线垂直于半径。（ ）2 如图，AC切O于点A，BAC37。，则AOB的度数为（ ）A. 64。 B. 74。 C. 83。 D. 84。 3. 如图，AB与O相

33、切于B，AO的延长线交O于点C，连接BC，若A36。则C_4 如图，AB是O的直径，C是O上一点，ABC=30。过点A作O的切线交BC的延长线于点D，则CAD_5如图，AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，BAC50。，ACD=_6如图，AB为O的直径，BC切O于B，CO交O于点D，AD的延长线交BC于E，若C=25。求A的度数7（2006深圳）如图10-1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上， 交轴于 两点，交轴于两点，且为弧AE的中点，交轴于点，若点的坐标为（2，0），(1)求点的坐标. (2)连结，求证：(3)如图10-2，过点作的切线，交轴于点.动点在的圆周上运动时，的比值是否发生

34、变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. 七切线长定理考点速览：考点1切线长概念： 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长和切线的区别AAOACADABAPA 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量考点2 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切O于A、B两点，PA=PB PO平分考点3 两个结论： 圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长经典例题：例1 已知PA、PB、DE分别

35、切O于A、B、C三点，若PO=13，的周长为24，AEPDBCO求：O的半径；若，的度数例2 如图，O分别切的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若EFDCOAB（1）求AD、BE、CF的长；（2）当，求内切圆半径rEFDCOAB例3如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？例4 如图甲，直线与轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C是第二象限内任意一点，以点C为圆心与圆与轴相切于点E，与直线AB相切于点F.（1）当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；（2）如图乙，若C与轴相切于点D，求C的半径r；（3）求m与n之间的函数关系式；（4）在C的移动过程中，能否使是等

36、边三角形（只回答“能”或“不能”）？AOCDBBBEF考点速练1：1如图，O是的内切圆，D、E、F为切点，则 2直角三角形的两条直角边为5、12，则此直角三角形的外接圆半径为 ，内切圆半径为 AOCDBBBEFGB3如图，直线AB、BC、CD分别与O相切于点E、F、G，且ABCD，若OB=6，OC=8，则 ，O的半径= ，BE+CG= AOPBBBM4如图，PA、PB是O的切线，AB交OP于点，若，则O的半径是 考点速练（2）1如图，在中，以BC边上一点O为圆心作O与AB相切于E，与AC相切于C，又O与BC的另一个交点D，则线段BD的长 2如图，内接于O，AB为O直径，过C点的切线交直径AB的

37、延长线于P，则 AEDBOC题1APBOC题24、（广西）PA、PB是O切线，A、B切点，APB780，点C是O上异于A、B任一点，那么ACB。5、（山西）若直角三角形斜边长为10cm，其内切圆半径为2cm，则它的周长为_。6、（贵阳）如图，O是RtABC的内切圆，ACB900，且AB13，AC12，则图中阴影部分的面积是（）A、B、C、D、7连结圆的两条平行切线的切点的线段，是这个圆的 8.如图1，AB是O的直径，直线MN切半圆于C，AMMN，BNMN，若AM=，BN=，则AB= .9如图2，AB是O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切O于C，则D= ，ACD= ，若半径为，AC= A

38、BDCO图2MCAOBN图110经过圆的直径两端点的切线必互相 11.如图，在，点P在AC上，AP=2，若的圆心在线段BP上，且与AB、AC都相切，则的半径是（ ）.A1 B C D12.如图，四边形ABCD是直角梯形，以垂直于底的腰AB为直径的O与腰CD相切于E，若此圆半径为6，梯形ABCD的周长为38，求梯形的上、下底AD、BC的长AODBBBCE八三角形内切圆考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形考点2三角形外接圆与内切圆比较：

39、名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形ABC内切圆O的半径为.2、一般三角形已知三边，求ABC内切圆O的半径r. （海伦公式S ， 其中s=)经典例题：例1阅读材料：如图（1），ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，ABC被划分为三个小三角形，用SABC表示ABC的面积 SABC =SOAB +SOBC +

40、SOCA 又SOAB =ABr，SOBC =BCr，SOCA =ACr SABC =ABr+BCr+CAr =Lr（可作为三角形内切圆半径公式） （1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径； （2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）例2如图，ABC中，A=m （1）如图（1），当O是ABC的内心时，求BOC的度数；

41、 （2）如图（2），当O是ABC的外心时，求BOC的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求BOC的度数例3如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求RtABC的内心I与外心O之间的距离考点速练1：1如图1，O内切于ABC，切点为D，E，F已知B=50，C=60，连结OE，OF，DE，DF，那么EDF等于（ ）A40 B55 C65 D70 图1 图2 图32如图2，O是ABC的内切圆，D，E，F是切点，A=50，C=60，则DOE=（ ） A70 B110 C120 D1303如图3，ABC中，A=45，I是内心，则BIC=（

42、） A112.5 B112 C125 D554下列命题正确的是（ ） A三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B三角形的内心不一定在三角形的内部 C等边三角形的内心，外心重合 D一个圆一定有唯一一个外切三角形5在RtABC中，C=90，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ） A1.5，2.5 B2，5 C1，2.5 D2，2.56如图，在ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F （1）求证：BF=CE；（2）若C=30，CE=2，求AC的长7如图，I切ABC的边分别为D，E，F，B=70，C=60，M是弧DEF上的动点（与D，E不重合），DMF的

43、大小一定吗？若一定，求出DMF的大小；若不一定，请说明理由 考点速练21如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ）A（）nR B（）nR C（）n1R D（）n1R 2如图，O为ABC的内切圆，C=90，AO的延长线交BC于点D，AC=4，DC=1，则O的半径等于（ ） A B C D3如图，已知ABC的内切圆O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，如果AF=2，BD=7，CE=4 （1）求ABC的三边长；（2）如果P为弧DF上一点，过P作O的切线，交AB于M，交BC于N，求BMN的周长4如图，O与四

44、边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件ADBC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长5、思考题（选作）：如图，已知正三角形ABC的边长为2a （1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积； （2）根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积； （3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出怎样的结论？（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积九了解弦切角与圆幂定理（选学）【考点速览】考点11. 弦切角

45、的概念： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 注意：弦切角必须具备三个条件：（1）顶点在圆上（切点），（2）一边和圆相切，（3）一边和圆相交（弦），三者缺一不可。 2. 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 3. 弦切角定理的推论： 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。考点2圆幂定理：圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。1、相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。2、相交弦定理的推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。4、切割线定理的推论（或称割线定理）： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。典型例题：例1. 如图，经过O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C。 求证：ATCTBC