不定积分习题课件

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1、不定积分习题不定积分习题PPT课件课件习习 题题 课课不定积分习题不定积分习题PPT课件课件积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、主要内容一、主要内容不定积分习题不定积分习题PPT课件课件1 1、原函数、原函数2 2、不定积分、不定积分(1)定义定义CxFdxxf )()(2)微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.(3)不定积分的性质不定积分的性质3、积分法：三法一表、积分法：三法

2、一表基本积分表基本积分表分项积分法分项积分法换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法不定积分习题不定积分习题PPT课件课件4 4、基本积分表（、基本积分表（2424个公式个公式）5 5、直接积分法（、直接积分法（分项积分法分项积分法）6 6、第一类换元法（、第一类换元法（凑微分法凑微分法）凑微分法的主要思想：凑微分法的主要思想：将不同的部分将不同的部分中间变量与积分变量中间变量与积分变量变成相同，使之能套用基本积分公式。变成相同，使之能套用基本积分公式。此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，并善于从被积表达式中拼凑出合适的微分因子。并善于从被积表达式中拼凑

3、出合适的微分因子。不定积分习题不定积分习题PPT课件课件常见类型常见类型:;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx;sec)(tan.72xdxxf;1)(arctan.82dxxxf 不定积分习题不定积分习题PPT课件课件7 7、第二类换元法、第二类换元法 引入适当的变量代换，变化被积表达式，使之引入适当的变量代换，变化被积表达式，使之化简并变成容易的积分。化简并变成容易的积分。常用代换常用代换:.,)(.1Rbatx .sin,)(.222taxxaxf 令令如如三角函数代换三角函

4、数代换.sinh,)(.322taxxaxf 令令如如双双曲曲函函数数代代换换.1.4tx 令令倒置代换倒置代换不定积分习题不定积分习题PPT课件课件5.根式代换根式代换ndcxbax 被积式如含被积式如含ndcxbaxt 则令则令被积式如含被积式如含nmdcxbaxdcxbax ,则令则令kdcxbaxt ,nmLCMk 6.指数代换指数代换被积式如含被积式如含xa通常可令通常可令xat 不定积分习题不定积分习题PPT课件课件8 8、分部积分法、分部积分法dxvuuvdxvu duvuvudv 分部积分公式分部积分公式选择选择 u u、v v 的有效方法的有效方法:ILAETILAET选择法

5、选择法I-反三角函数；反三角函数；L-对数函数；对数函数；A-代数函数；代数函数；E-指数函数；指数函数；T-三角函数；三角函数；哪个在前哪个选作哪个在前哪个选作u.反、对、幂、指、三反、对、幂、指、三排序在后者优先进入积分号排序在后者优先进入积分号不定积分习题不定积分习题PPT课件课件9 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分待定系数法待定系数法化有理真分式为部分分式化有理真分式为部分分式四种类型最简分式的不定积分四种类型最简分式的不定积分 dxax1dxaxm )(1dxqpxxBAx 2dxqpxxBAxm )(2有递推公式有递推公式不定积

6、分习题不定积分习题PPT课件课件（2）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （3）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型讨论类型),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号注意注意某些初等函数的原函数不是初等函数某些初等函数的原函数不是初等函数如如 dxex2 dxxxsin dxxln1 dxx411俗称俗称“积不出来积不出来”不定积分习题不定积分习题PPT课件课件二、典型例题二、典型例题例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1

7、)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx)23(令令不定积分习题不定积分习题PPT课件课件例例2 2解解.cos1)sin1(dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan(xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 不定积分习题不定积分习题PPT课件课件例例3 3解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1

8、ln(22 xxdxx原原式式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 不定积分习题不定积分习题PPT课件课件例例4 4解一解一.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代换倒代换)不定积分习题不定积分习题PPT课件课件解二解二令令txsec dxxxx1122tdttttttansectansec1sec2 dttt sec1sec dtt)cos1(Ctt sinCxxx 1arccos12x112 xt不定积分习题不

9、定积分习题PPT课件课件例例5 5解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原原式式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1ln(21222 不定积分习题不定积分习题PPT课件课件.2)1ln(23)1ln()1(arctan212222Cxxxxxxx 例例6)0()(1 adxaxxn解一解一分子拆项分子拆项dxaxxn )(1dxaxxxaxannn )(1 111dxaxxdxxann不定积分习题不定积分习题P

10、PT课件课件Caxnxan )ln(1ln1Caxxnann ln1解二解二分子分母同乘以分子分母同乘以1 nxdxaxxn )(1 dxaxxxnnn)(1nnndxaxxn )(11令令nxt dttatn)(11不定积分习题不定积分习题PPT课件课件dtattna 111Cattna ln1Caxxnann ln1解三解三 倒代换倒代换令令tx1 dxaxxn )(1dttattnn2111 dtattnn11Catnan )1ln(1Caxxnann ln1不定积分习题不定积分习题PPT课件课件解四解四凑微分凑微分dxaxxn )(1 dxaxxnn)1(11Caxnan )1ln(1

11、Caxxnann ln1例例7 7.,1max dxx求求解解,1max)(xxf 设设,1,11,11,)(xxxxxxf则则,),()(上连续上连续在在xf).(xF则必存在原函数则必存在原函数不定积分习题不定积分习题PPT课件课件须处处连续，有须处处连续，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即不定积分习题不定积分习题PPT课件课件.1,12111,211,21,1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,21

12、32CCCC 可可得得,1CC 联联立立并并令令不定积分习题不定积分习题PPT课件课件例例8 8解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原原式式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 不定积分习题不定积分习题PPT课件课件例例9 dxxx22)1ln(解一解一直接分部积分直接分部积分 dxxx22)1ln(dxxxxxxxx222211)1ln(2)1ln()1(11)1ln()1ln(22222xdxxxxxx )1()1ln(2)1ln(

13、2222xdxxxxx 不定积分习题不定积分习题PPT课件课件 )1ln(12)1ln(2222xxxxxx dxxx221112 Cxxxxxxx 2)1ln(12)1ln(2222解二解二作双曲代换作双曲代换令令xarxxtsinh)1ln(2 dxxx22)1ln(tdtsinh2 tdttttsinh2sinh2不定积分习题不定积分习题PPT课件课件 ttdttcosh2sinh2 tdtttttcosh2cosh2sinh2Cttttt sinh2cosh2sinh2 )1ln(12)1ln(2222xxxxxx Cx 2解三解三用三角代换用三角代换令令txtan 注意注意tttse

14、c)tanln(sec 计算过程稍繁计算过程稍繁不定积分习题不定积分习题PPT课件课件例例10dxxx cossin13解一解一dxxx cossin13dxxxxx cossincossin322 dxxxdxxx3sincoscossin1)(sinsin1sincoscossin3xdxdxxxxx Cxx 2sin21tanln不定积分习题不定积分习题PPT课件课件解二解二dxxx cossin13 dxxxxx22cossincossin1 )(tantan11tan12xdxx )(tantan1)(tantan13xdxxdxCxx 2tan21tanln不定积分习题不定积分习题

15、PPT课件课件解三解三dxxx cossin13dxxxx cossinsin12dxxx 2sin)2cos1(14令令tx tan2122sinttx 22112costtx dttdx211 不定积分习题不定积分习题PPT课件课件dtttttt 222212)111(114dttt 32414dttdtt 113Ctt 221lnCxx 2tan21tanln解四解四万能代换万能代换不易得出正确结果不易得出正确结果不定积分习题不定积分习题PPT课件课件例例11dxxaxa 解一解一dxxaxa 分子分母同乘分子分母同乘xa dxxaxa22dxxaxdxxaa 22221Cxaaxa 2

16、2arcsin解二解二令令xaxat 1)1(22 ttax不定积分习题不定积分习题PPT课件课件dttatdx22)1(4 dxxaxa dttat 222)1(4dttadtta 222)1(14114而而dtt 22)1(1令令uttan uduu24secsec1 udu2cos不定积分习题不定积分习题PPT课件课件 duu2cos121Cuu 2sin4121t121t uCttt 2121arctan21dxxaxa Cttata 212arctan2Cxaxaxaa 22arctan2不定积分习题不定积分习题PPT课件课件例例12)()sin()sin(1 kbadxbxax 解

17、解dxbxax )sin()sin(1 dxbxaxbaba)sin()sin()sin()sin(1 dxbxaxbxaxba)sin()sin()()sin()sin(1dxaxaxbxbxba )sin()cos()sin()cos()sin(1Caxbxba )sin()sin(ln)sin(1不定积分习题不定积分习题PPT课件课件例例13 dxxxxx)1()1ln(ln解一解一注意到注意到)1(1)1ln(ln xxxx dxxxxx)1()1ln(ln)1ln(ln)1ln(ln xxdxxCxx 2)1ln(ln21解二解二111)1(1 xxxx不定积分习题不定积分习题PPT

18、课件课件 dxxxxx)1()1ln(ln dxxxdxxxdxxxdxxx1)1ln()1ln(1lnln而而 xdxdxxxln)1ln()1ln(dxxxxx1ln)1ln(ln dxxxxx)1()1ln(lnCxxxx )1(ln21)1ln(lnln2122不定积分习题不定积分习题PPT课件课件例例14 dxxx100)1(解一解一 dxxx100)1(101)1(1011xxd dxxxx101101)1(1011)1(1011Cxxx 102101)1(1021011)1(1011Cxx 101)1(102)1(101102解二解二 dxxx100)1(dxxx100)1)(1

19、1(不定积分习题不定积分习题PPT课件课件dxxdxx100101)1()1(Cxx 101)1(102)1(101102例例15dxxx 211解解令令txsin dxxx 211dtttt cossincos对对dtttt cossincos我们用多种解法来解我们用多种解法来解不定积分习题不定积分习题PPT课件课件分子拆项分子拆项ttttttcos)cos(sin)sin(coscos 再移项再移项 dttttcossincos dtttttdtttttcossincossin21cossinsincos21Cttt )cosln(sin2121分母和差化积分母和差化积 dttttcoss

20、incosdtttt )2sin(sincos 不定积分习题不定积分习题PPT课件课件 dttt)4cos(4sin2)44cos(dtt )4tan(121 Ctt )4lncos(2121 分子分母同乘分子分母同乘ttsincos dttttcossincos dttttt2coscossincos2 dtttt2cos2sin2cos121)2(2cos2sin14121tdttt 不定积分习题不定积分习题PPT课件课件Ctttt 2cosln41)2tan2ln(sec4121Ctt )2sin1ln(4121Cttt )cosln(sin2121分子分母同除以分子分母同除以tcos再

21、令再令ut tan dttttcossincosdtt tan11duuu )1)(1(12duuuu 1111212不定积分习题不定积分习题PPT课件课件Cuuu 211ln21arctan21分子分母同除以分子分母同除以tsin再令再令ut cot解法与完全类似解法与完全类似万能代换万能代换令令2tantu dttttcossincosduuuuu22212211 分母不易分解因式，直接用万能代换不妥分母不易分解因式，直接用万能代换不妥按分子分母都是按分子分母都是tt cos,sin的一次式来解的一次式来解不定积分习题不定积分习题PPT课件课件 dttttcossincosdtttttNttM cossin)cos(sin)cos(sin21 NM dttttcossincosCttt )cosln(sin2121分母是两项之和，分子是两项中之一项分母是两项之和，分子是两项中之一项令令 dttttIcossincosdttttJ cossinsin不定积分习题不定积分习题PPT课件课件则则 1CtdtJI 2)cosln(sincossinsincosCttdtttttJI解得解得CtttI )cosln(sin2121CtttJ )cosln(sin2121