【数学】152定积分课件（苏教版选修2-2）

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1、第1章 导数及其应用 1.5.2 定积分微积分在几何上有两个基本问题微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方如何求曲线下方“曲线梯形曲线梯形”的面积。的面积。xy0 xy0 xyo直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？知识回顾：知识回顾：用用“以直代曲以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：解决问题的思想和具体操作过程：分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近求由连续曲线求由连续曲线y=f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)以直代曲以直代曲:任取任取x xi xi-1,xi，第

2、，第i个小曲边梯形的面积用高个小曲边梯形的面积用高为为f(x xi),宽为宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似地去代替近似地去代替.(4)逼近逼近:所求曲边所求曲边梯形的面积梯形的面积S为为 (3)作和作和:取取n个小矩形面积的和作个小矩形面积的和作为曲边梯形面积为曲边梯形面积S的近似值：的近似值：xi-1y=f(x)x yObaxixixD10,()()niixfxSnx=D D 1()niiSfxx=D (1)分割分割:在区间在区间a,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间:每个小区间宽度每个小区间宽度xban-=11

3、211,iina xx xxxxb-11()()nnniiiibaSf xxf xn=-=D=小矩形面积和如果当如果当n+时，时，Sn 就无限接近于某个常数，就无限接近于某个常数，这个常数为函数这个常数为函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分，记作上的定积分，记作 baf(x)dx，即f(x)dx=f(x i)Dxi。从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四个步骤四个步骤”:分割分割-以直代曲以直代曲-求和求和-逼近逼近.定积分的定义定积分的定义:一般地一般地,设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上有定义上有定义,将区间将区间a,b等分成等分成n个小

4、区间个小区间,每个小区的长度每个小区的长度为为 ,在每个小区间上取一点在每个小区间上取一点,依次为依次为x1,x2,.xi,.xn,作和作和如果如果 无限趋近于无限趋近于0时时,Sn无限趋近于无限趋近于常数常数S,那那么称么称常数常数S为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分上的定积分,记记作作:.)(nabxx-=DDx)f(xx)f(xx)x(fSn21nD DD=baSf(x)dxf(x)dxxD定积分的相关名称：定积分的相关名称：叫做积分号，叫做积分号，f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式，f(x)叫做被积函数叫做被积函数,x 叫做积分变量，叫做积分变量，a 叫做积分下

5、限，叫做积分下限，b 叫做积分上限，叫做积分上限，a,b 叫做积分区间。叫做积分区间。()baSf x dx=被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限()baSf x dx=S=baf(x)dx；按定积分的定义，有按定积分的定义，有 (1)由连续曲线由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线，直线x=a、x=b及及x轴轴所围成的曲边梯形的面积为所围成的曲边梯形的面积为 (2)设物体运动的速度设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间，则此物体在时间区间a,b内运动的距离内运动的距离s为为();baSv t dt=(3)设物体在变力设物体在变力F

6、=F(r)的方向上有位移，则的方向上有位移，则F在位在位移区间移区间a,b内所做的功内所做的功W为为().baWF r dr=注注：定积分数值只与被积函数及积分定积分数值只与被积函数及积分区间区间 a,b 有关有关,与积分变量记号无关与积分变量记号无关=bababaduufdttfdxxf)()()(例例1（1).由曲线由曲线y=x2+1与直线与直线x=1,x=3及及x轴所围成的曲边梯形的面轴所围成的曲边梯形的面积积,用定积分表示为用定积分表示为_.-223sin tdt(2).中中,积分上限是积分上限是_,积分下限积分下限是是_,积分区间是积分区间是_dxx)1(2312-2-2,2(3).

7、定积分定积分 =_.211 1)d dx x(x x25定积分的几何意义定积分的几何意义.当当 f(x)0，定积分，定积分 badxxf)(的几何意义就是的几何意义就是bAoxyay=f(x)S 曲线曲线 y=f(x)直线直线 x=a，x=b，y=0 所所围成的曲边梯形的面积围成的曲边梯形的面积=b ba aS Sf(x)dxf(x)dx:即即思考思考:函数在区间函数在区间a,ba,b上的定积分上的定积分 能否为能否为负负的的?当函数当函数 f(x)0，x a,b 时时 定积分定积分 几何意义几何意义badxxf)(Sdxxfba-=)(即即就是位于就是位于 x 轴下方的曲轴下方的曲边梯形面积

8、的相反数边梯形面积的相反数.oyaby=f(x)S当函数当函数 f(x)在在 x a,b 有正有负时有正有负时,定定积分积分 几何意义几何意义badxxf)(3 32 21 1b ba aS SS SS Sf f(x x)d dx x即即-=就是图中几个曲边图形面积的就是图中几个曲边图形面积的代数和代数和,(x轴上方面积取正号轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号轴下方面积取负号)OXS2S1yS3定积分的几何意义：定积分的几何意义：在区间在区间a,ba,b上曲线与上曲线与x x轴所围成图形面积的代数轴所围成图形面积的代数和和(即即x x轴上方的面积减去轴上方的面积减去x x轴下方的面积轴下方的

9、面积).).50(24)xdx-计算定积分-465OxyAB50(24)945xdx-=-=例例2 2解析：如图所示，计算可得A的面积是9，B的面积是4，从而 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1.1.dx)x(g)x(fba =babadx)x(gdx)x(f性质性质2.2.badx)x(kf =badx)x(fk课外拓展 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3.3.=2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab y=f(x)小结小结:定积分的实质定积分的实质：特殊和式的逼近值：特殊和式的逼近值定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取逼近取逼近精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取逼近取逼近3.定积分的几何意义及简单应用定积分的几何意义及简单应用