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1、 第二章第二章 初等模型初等模型2.2 拟合、比例方法及类比法拟合、比例方法及类比法 汽车刹车距离汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背背景景与与问问题题 正常驾驶条件下正常驾驶条件下,车速每增车速每增10英里英里/小时，小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是实现这个规则的简便办法是“2秒准则秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判别判别“2秒准则秒准则”与与“车身规则是否
2、一车身规则是否一样；样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。问问题题分分析析常识：刹车距离与车速有关常识：刹车距离与车速有关10英里英里/小时小时(16公里公里/小时小时)车速下车速下2秒钟行驶秒钟行驶29英尺英尺(9米米)车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒准则与秒准则与“10英里英里/小时加一车身规则小时加一车身规则不同不同刹刹车车距距离离反应时间反应时间司机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀
3、减速运动。使汽车作匀减速运动。车速车速常数常数反反应应距距离离制制动动距距离离常数常数假假 设设 与与 建建 模模 1.刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2.反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;vtd11F d2=m v2/2F m21kvvtdt1为反应时间为反应时间21ddd且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比22kvd 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组
4、实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）44
5、4.84.3“2秒准则应修正为秒准则应修正为“t 秒准秒准则则”22106.075.0vvkvvtd模模 型型车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）（秒）1234动物的身长和体重问题的提出：四足动物的躯干的长度(不含头尾)与它的体重有什么关系？这个问题有一定的实际意义。比如，在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的有使
6、用价值的模型这里我们仅在十分粗赂的假设基础上，利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和体重间的比例关系。1、问题的分析与假设 把四足动物的躯干看作圆柱体，长度l、直径d、断面面积s如下图所示。将这种圆柱体的躯干类比作根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。2、模型的建立：原理：动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b，即梁的最大弯曲，根据对弹性粱的研究，有：进一步分析b/l的意义3、生物学角度分析b/lb/l生理学意义：b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将无法支撑；b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费。生物学进化角度：经过长期进化
7、，对每一种动物而言b/l已经达到其最合适的数值，即b/l应视为与这种动物的尺寸无关的常数。4、结论（1关系式：（前面分析）（2另一些比例关系：（3最终结论：即体重与躯干长度的4次方戊正比。这样，对于某一种四足动物比如生猪，在根据统计数据确定出上述比例系数以后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。作业问题：人在雨中从一处向另一处行走，当雨的速度已知问题：人在雨中从一处向另一处行走，当雨的速度已知时，问人行走的速度多大时才能使淋雨量最小？时，问人行走的速度多大时才能使淋雨量最小？分析建模）：人身体的表面非常复杂，为了简化问题，将分析建模）：人身体的表面非常复杂，为了简化问题，将人看作是一长方体，其前
8、、侧、顶的面积之比为人看作是一长方体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c,选择适选择适当的直角坐标系，使人的行走速度为当的直角坐标系，使人的行走速度为(u,0,0),设雨的速度为设雨的速度为(vx,vy.vz),人的行走距离为人的行走距离为L，则行走时间为，则行走时间为L/u。在上述分析下，由高数曲面积分中通量的概念，显然单在上述分析下，由高数曲面积分中通量的概念，显然单位时间内的淋雨量正比于位时间内的淋雨量正比于xyzxyz(uv,0v,0v).(1,b,c)uvv bv c 补充：设某向量场由A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k给出，其中P，Q，R具
9、有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，n是在点(x,y,z)处的单位法向量，那么 叫做向量场A通过曲面向着指定侧的 通量。A.nds从而总淋雨量正比于从而总淋雨量正比于xyzLR(u)(uvv bv c)u yzv bv c=a,不妨令显然显然a0,那么那么xLR(u)(uva)u于是原问题抽象成如下数学问题：在L，vx，a，已知的情况下，求R(u)的最小值。在L，vx，a，已知的情况下，求R(u)的最小值，其中求解模型求解模型:xLR(u)(uva)u由于这个模型的特殊性，用图解法求解方便些，分以下几种情况讨论：xxxxxxx(uv)L(v+a)L(vu)a)=LuuRu=L(a-v)L(
10、1).,(uv)(u-v)a)=v0u,+Lu，（）当当v xa时，可以大体做出时，可以大体做出R(u)的图像，的图像，由图知，当由图知，当v x=u时，时，Ru取得最小值，且取得最小值，且Rmin=La/vx当当v xa时，仍可以大体做出时，仍可以大体做出R(u)的图像，由图知，当的图像，由图知，当u尽可能尽可能大时，大时，Ru才会尽可能小接近于才会尽可能小接近于L）。）。xxx L(a+v)LRu=(u+va)=+Lu(2).v a0时，只要时，只要u=vx就可使淋雨量就可使淋雨量最小，其他情况下，都应使最小，其他情况下，都应使u尽可能大，才尽可能大，才能使淋雨量尽可能小。这显然符合生活常能使淋雨量尽可能小。这显然符合生活常识。识。
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