高数上册第一章第二节数列的极限ppt课件

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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1第二节第二节 数列的极限数列的极限一、概念的引入一、概念的引入二、数列的定义二、数列的定义三、数列的极限三、数列的极限四、数列极限的性质四、数列极限的性质五、小结五、小结 思考题思考题1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2单击任意点开始观察单击任意点开始观察1.【割圆术】【割圆术】观察完毕观察完毕“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽【引例】【引例】一、概念的引入机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

2、返回返回 结束结束 3R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 42.【截丈问题】【截丈问题】“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”公元前公元前300300年左右，中国年左右，中国古代思想家墨子语：古代思想家墨子语：;21 1 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;2121 22 X为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1机动机动 目录目录 上

3、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5二、数列的定义【例如】【例如】;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6【注意】【注意】1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn ,333,33,3 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7单击任意点开始观察单击任意点开始

4、观察.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限观察结束观察结束机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8【问题【问题1 1】当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 【问题【问题2 2】“无限接近意味着什么无限接近意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它，描述它。刻划它，描述它。通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:无限接近无限接近可任意接近可任意接近“绝对值任意小”“绝对

5、值任意小”.1可可任任意意小小即即 nx【直观定义】当【直观定义】当n无限增大时，无限增大时，xn无限接近于一个确无限接近于一个确定的常数定的常数a，称，称a是数列是数列xn的极限的极限.“距离任意距离任意 小小”机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9,1001给给定定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx 1nxnnn11)1(1 机动

6、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10【发散】如果数列没有极限【发散】如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.【说明】发散有【说明】发散有 不存在；不存在；-；+；。1.【精确定义】【精确定义】设设xnxn为一数列为一数列,若存在常数若存在常数a,a,对任给定的正数对任给定的正数(不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数N,N,使得当使得当n N n N 时，不等式时，不等式|xn-a|xn-a|N时，有无穷多个点落在时，有无穷多个点落在(a-,a+)内是等价解释，正确吗？内是等价解释，正确吗？)（不不正正确确有的点有的点无穷多个点并不包括所无穷多

7、个点并不包括所机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 13数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.【例【例1 1】.1)1(lim1 nnnn证证明明【证】【证】1 nx1)1(1 nnnn1,0 任任给给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn就就有有.1)1(lim1 nnnn即即【注意】【注意】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 14【例【例2 2】【证】【证】【练习】证明常数列的极限等于它本身【练习】证明常数列的极限等于它本身.（公式）（公式）,0成立成立 n

8、x,0 任任给给所以所以,axn 0)1()1(2 nn2)1(1 n11 n,0 nx欲欲使使,1 n只要只要即即可可，即即 1 n,1 N现取现取 时时，有有则则当当Nn 0)1()1(lim 2 nnn证明：证明：n1 0)1()1(lim 2 nnn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15【例【例3 3】.1,0lim qqnn其其中中证证明明【证】【证】,01 任任给给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则则当当Nn ,0 nq就就有有.0lim nnq,0 q若若;00limlim nnnq则则,10 q若若,lnlnqn 【小结】【小结

9、】用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.N.,0 公式公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16【补例【补例4 4】.lim,0lim,0axaxxnnnnn 求证求证且且设设【证】【证】,01 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时时恒恒有有使使得得当当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 放大不等式放大不等式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17【注意】【注意】(1)lim 关关系系如如下下的的逻逻辑辑与与的的

10、过过程程中中，在在证证明明 naxnn axnNn 即即 ，通过，通过0 不等式的放大等措施求出正整数不等式的放大等措施求出正整数N N，再定出，再定出n n的的范围，从而保证范围，从而保证 成立成立.axn(2)N(2)N与与是相对应的，但是相对应的，但N N不是唯一的不是唯一的;N;N有无有无穷多个，那么穷多个，那么“nN“nN允许为允许为“nN”.“nN”.(3)(3)同理，因同理，因任意，则任意，则22，等也任意，那么等也任意，那么2 axn允许为允许为 22 等等或或 axaxnn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18四、数列极限的性质1.唯一性唯一性【定理

11、【定理1 1】每个收敛的数列只有一个极限】每个收敛的数列只有一个极限.【证】【证】,lim,limbxaxnnnn 又又设设使使得得.,21NN 注意以下证明都是已知极限存在时，利用注意以下证明都是已知极限存在时，利用的的给定性来论证的给定性来论证的用反证法用反证法.ba 不不妨妨设设,2ba 对对,21baaxNnn 时时恒恒有有当当;232baxban 即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19【例【例5 5】.)1(1是是发发散散的的证证明明数数列列 nnx【证】【证】,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成成立立有有时时使使得得当当则则 a

12、xNnNn),21,21(,aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.1.,1,1 两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx,22babxNnn 时时恒恒有有当当.223baxabn 即即 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn 同同时时成成立立，与与22baxbaxnn 矛盾矛盾 【证完】【证完】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 202.有界性有界性(1)【定义】【定义】对数列对数列nx,若存在正数若存在正数 M,使得一使得一切自然数切自然数 n,恒有恒有Mxn 成立成立,则称数列则称数列 nx有有界界,否则否则,称为无界称为无界.【例如】【例

13、如】;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列【几几何何表表现现】数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点 nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界不可能同时位于长度为不可能同时位于长度为1 1的区间内的区间内.,但但却却发发散散是是有有界界的的事事实实上上nx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21(2)【定理【定理2】收敛的数列必定有界】收敛的数列必定有界.【证】【证】,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则.11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆皆有有则则

14、对对一一切切自自然然数数 .有有界界故故nx【注意】【注意】逆否命题必成立：无界数列必定发散逆否命题必成立：无界数列必定发散.逆命题不成立；有界列不一定收敛逆命题不成立；有界列不一定收敛.数列有界是收敛的必要条件数列有界是收敛的必要条件.nnx)1(如如机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 223.保号性保号性【定理【定理3 3】)0(0 ,lim aaaxnn或或且且如果如果0 N则存在正整数则存在正整数时时当当 Nn )0(0 nnxx或或都都有有【证明】【证明】0 的情形的情形仅证仅证 a由数列极限定义，由数列极限定义，时时当当对对NnNa ,0,02 有有2aax

15、n 从而从而022 aaaxn【证完】【证完】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23【推论】【推论】)0(0 nnnxxx或或从从某某项项起起有有如如果果数数列列,lim axnn 且且)0(0 aa或或则则【证明】【证明】的的情情形形仅仅证证 0 nx0 N 1 nxn时时，设设当当以下用反证法以下用反证法0lim axnn若若由定理由定理3 3知知时时当当22 ,0 NnN 0 nx有有 21,max NNN 取取时时当当 Nn 00同同时时成成立立，矛矛盾盾与与 nnxx【证完】【证完】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 244.【子数列

16、的收敛性】（收敛列与其子列的关系）【子数列的收敛性】（收敛列与其子列的关系）的的子子数数列列（或或子子列列）的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列到到中中的的先先后后次次序序，这这样样得得这这些些项项在在原原数数列列保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并在在数数列列nnnxxx ,21nixxxx,21knnnxxx .项项中中却却是是第第在在原原数数列列而而项项，是是第第中中，一一般般项项在在子子数数列列knnnnnxxkxxkkk【注意】【注意】例如例如lknnlk 若若knk 显显然然（1）【定义】）【定义】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 25（2

17、）【定理）【定理4】收敛数列的任一子数列也收敛】收敛数列的任一子数列也收敛 且极限相同且极限相同【证】【证】的的任任一一子子数数列列是是数数列列设设数数列列nnxxk,limaxnn 已已知知)(kaxkn欲欲证证【分析】【分析】欲证欲证0 0 K寻寻找找时时当当 Kk axkn 有有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 26.,0,0 axNnNn恒恒有有时时使使,NK 取取,时时则则当当Kk .NnnnNKk .axkn.limaxknk 【证毕】【证毕】可可知知由由 ,limaxnn （寻找到（寻找到K K）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

18、 27【注意】【注意】a.a.常用此关系判断一个数列极限不存常用此关系判断一个数列极限不存在在方法：若数列有两个子列收敛于不同的极限，方法：若数列有两个子列收敛于不同的极限，则原数列发散则原数列发散.如数列如数列方法：若数列有一个子列发散方法：若数列有一个子列发散,则原数列发散则原数列发散.如如b.上例说明了发散数列也可能有收敛的子列上例说明了发散数列也可能有收敛的子列.,1,1,1,1 )(112 kxk)(12 kxk发散发散 nx,0,4,0,3,0,2,0,1)(12 kxk发散发散 nx,0,0,0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 28五、小结数列数列:研究

19、其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性收敛性.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 29【思考题】【思考题】指指出出下下列列讨讨论论数数列列 nncos1的的极极限限中中的的错错误误【错证】【错证】可以证明可以证明1cos1lim nnn因为因为121cos11cos1 nnnnn解新的不等式解新的不等式 12n12 n故故,0N 当当12 Nn时必有时必有 1cos1nn证完证完机动机动 目录目录 上页上页

20、下页下页 返回返回 结束结束 30【思考题解答】【思考题解答】【分析】【分析】错误：极限是错误：极限是1 明显是不对的，应为明显是不对的，应为0.错误：推导过程中又将错误：推导过程中又将1cos1 nn不适当的放大，致使不等式：不适当的放大，致使不等式：12n不能对任何不能对任何 0成立成立.例如取例如取=1/2时，找不到时，找不到 n 满足该不等式满足该不等式.【结论】【结论】极限的分析定义严格描述了极限过程，如极限的分析定义严格描述了极限过程，如果随心所欲地放大不等式，就会导致荒谬果随心所欲地放大不等式，就会导致荒谬的结果的结果.切记证明中应适当放大，且最终必切记证明中应适当放大，且最终必须是无穷小即极限为须是无穷小即极限为0），否则无法保证），否则无法保证小于任给的小于任给的0.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 31【正确证法】【正确证法】,0 因为因为nnn20cos1 解不等式解不等式 n2 2 n故取故取12 N则当则当nN 时，必有时，必有 0cos1nn故故0cos1lim nnn证完证完