专题11 极值点与零点

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1、专题 11 极值点与零点一、选择题f（x） = -x3 + ax2 - 2x + 11.【2018江西省南昌检测】函数 Y在八；U内存在极值点，则（）AB1 12-a-2C【答案】A.1+ ax2 - x，若x=i是函数f是极大值点，贝y函数兀门的极小A. 1口2-2 b. In21c. In3_2Dln3-l答案】 A/(%) = Inx + ax2 - x(x 0)【解析】f (x) = - 4- 2ax -x2,f (1) = 1 + 2a = 2a- = 0a =丄是函数的极大值点，解得 ，f (%) = +=八x 22x 3 %2 - 3x 4- 2(咒一 1)(尤一 2)2x2xD

2、【解析】若函数忌）=討+22+在讥（1Q无极值点，贝ijr）=x3+2-20或fCO =疋+ lax -2 D在工E （L2）恒成立时，一口生1时，厂=加一 1兰得口-a 2时,5fr(2)=4a+2Q,得QE 明 当f （Q =xs+2ax-2 D在工E （L 2恒成立时，则厂= 2a-l D且ff（2） = 4a+2 0,得乱生一打5综上，无极值时口生一寸或口三I在一*比令在工E （止2涛在极直故选A.f（x） Inx2. 【2018安徽省定远模拟】设函数值为（TI.当（）（）h单调递增；当1 x = 1,当h 1时,r(x)5当d ch 山因此兀町有极犬值一4选a. 2/(%) =k +

3、 Inx)4. 【2019重庆市中山外国语学校开学考试】已知函数 ,若x = 2是函数f(x)的唯一的一个极值点，则实数 k 的取值范围为()A.(,e B.0,eC.(,e)D.0, e)【答案】 Ae 2f (x) =k (一 + Inx)【解析】函数，函数f (x)的定义域是(0,+)x=2是函数f (x)的唯一一个极值点x=2是导函数f(x) =0的唯一根. ex-kx=0 在(0,+)无变号零点, 令 g( x) =ex-kxg/(x) =ex-k kWO时，g(x)0恒成立.g &)在(0,+)时单调递增的 g (x)的最小值为g (0) =1, g (x) =0无解 k0 时，g

4、(x) =0 有解为：x=lnk0x0, g (x)单调递增 g (x)的最小值为 g (lnk)二kklnk k-klnk 0 k0,故1 +旷 1,所以1工匚故判断代幻=手无零点判断，A错一当工e为寸尸0） 0,故fO）在（毗防减函数，所以.E正确一A-D = -1 -汀=怡 因f（-D 4-f工0,故国数的團像不关于（X。）对称，所以.C错误一考虑y = Sy = 的图像如图所示人它们在【宀上有且仅有一个交点,故在八1：丄1,丨；上有且仅有一个实数根，且在其左右两侧，导数的符号发生了变化，故有一 个极值点，所以D错综上，选B.，若函数丁 兀门 山恰有3个零点，则实数的取值范围为Inx 4

5、-1 fM =6.【2018江西省南昌模拟】设)A.答案】 AC.B.()D.当h e （? +m）时，gr（.x）= 一竽呂当h e （厂1严寸，护CO 0,当HE （严+00）时，护00山所以在气）时増函数，在（誌+吋时减函叛 且f （謳）= 疋）=。 所以口 E （。吕）,故选A.7.【2018河南省巩义市模拟】若函数/：； d有两个极值点，则实数的取值范围是（）ABA答案】 BC.D.【解析】因为函数小小旅有两个极值点,所以広门 /【门1丨。有两个不同的正零点,1 ZCLX + 1g （x） = 2a + =因为，当（）时，口 （）在，丨恒成立， 则少门在上单调递增, 広门不可能有两个

6、正根（舍）,当时，令*门(),得令【门，得(0,-丄)即少门在上单调递增，在上单调递减,若慣门；4 1常有两个不同的正根,则V a V 0解得【20 18河南省安阳核心押题卷】函数(匚；1；有三个零点，则实数I的取值范围是8A(0, 2)b (2, e) c (e, + co) d (2 + 8)答案】 D【解析】函数fO)的定义域为。因为 f 么)=(h + l)lrwc a(x 1)?所以广 CO = Iily + 乎a = Injt + a + 1 o令鸟00 = f =砧+2 口 + 1,则0凶=三一吉=号令护0)=诗得。光o,可得咒io所以函数尅CO在(61)上为减函数，在(1- +

7、8上为増函数。所以尅(H)niiQ = ?(!) 2 ao因为f(l) = D,所以.1为函数fOO的一个零点。因为函数f &)=(疋+ 1)1 一氐匕-有三个零点，所以_函数fO)应有三个单调区间。所以0)如=2-a2。故选Do9.【2018河南省最后一次模拟】若函数八门小負丨九1在，丨上恰有两个极值点，贝的取值范围为( )e1A.B.， 丁C. |，D. 【答案】 D【解析】v fCO = ex almc 4- 2ax !fCO =护_牛十2a?再令C谓数fO) = ex-(dnx + 2m- 1在 +g)上恰有两个极值点；:曲=a有两个雲点，又咖 =_刊；：為叭令咖“,得且工工令gr(x

8、)0?得2 1,涵数巩刃在吩)G上单调递増，在(1 +)上单调递减，由于9(町=。祷=一5因为y =尅0)与y = 0有两个交点，f(Q =-根据数形结合法可得，口 一5即口 E (-d -e),故选D.有四个不等的实根,B.匸:则实数的取值范围是(10.【2018湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】已知函数 來(其中无理数= 2,718.),关于铀勺方程A答案】 C匕If(x)f(x) =【解析】由题意可得函数的定义域为;，且令得 或，则函数翼口在，匸，丨心上单调递增;令厂 得 0ee2eh() V 0久 一 + 1 V 02，即42A- + -乞故选C.11.【2018陕西省咸阳5月信

9、息专递】已知/门是函数儿门的导函数，且对任意的实数都有 f二品 - 2) +兀町严是自然对数的底数)，兀0),若方旳)”有三个不同的实数根，则实数的取值范围是( )A.【) B. PTC. I ) D.:【答案】 B【解析】因为fO) =ex(2x - 2) +fOO,所以理坐去沁2 =直2,也就是=2x-2?从而代刃=讥邪加+叭Xf(0)=l,故c =1. fCO = e*(jc2 1)；当工e时，FO) o, f&)为增函数;当工E (71为寸， 0, fO)为増函数，所以当f(1)krt-OT0今 时，直毎=应与y =代刃的圈像有三个不同的交点，即方程fCO = k有三个不同的解.故选E

10、.12.【2018江西师范大学附属中学三模】已知函数1 有两个零点5 ：,且则下列结论错误的是( )A.1 D.勺一勺厂1【答案】 B【解析】因为函数八11 CLXf (兀)=a =所以，当aWO时，/所以f(x)在(0,+8)上单调递增，所以不可能有两个零点.1 10V尤V I兀 I当a0时，时,/(),函数f(x)单调递增，时,函数f(x)单调递减.所以fmax =用)=碍In 0, Ina 0,Ina 0, /. 0 a 1.因为函数f(x)有两个零点，所以代丄)=-0,.-.-x1 .a aa则所以函数g(x)在上为减函数，=0, 又3)上)=0，又您1)，2 2 2.*./(x1)

11、= ln(%1) - a(咒J + 1 - f(x)=呂(咒J 0,又/，即故答案为：B13.2018滨海新区七所重点学校联考】已知函数f (x)= eX +1X - )X2 + 2X + 1(x 0时，f (x)= +1, f(x)=竺二竺=匕，从而可以确定函数f (x)在(ol)上是减函 exe2x数,在(1,1)上是增函数，在(1,+8)上是减函数，且f (1)= 0, f (1)=ea 2 0a 2 = 0a 2 = 0 所以该题等价于 1 或1 或1 a 1 + - a = 1 + 0 a 1ee0 a 一 2 1 + e11(丄1 a 1 + 或2a 2,即a 0恒成立，即負门在R

12、上递增，若: 时，贝 y/）；（）若d时，贝y/【山 （）故函数翼门在递增，在递减，故 在心处取得极小值，符合题意； 当wi 1B寸，字（刃0时,则 r）fr（o）= o.故函数f co在 +切递减,在（皿町递増,故fCO在处取得极大值，不符合题意,时， 川即“ ； ：故（）,即卩在 递减，不符合题意.综上所述：m的范围是也.故答案为：也一.16. 【2018华大新高考联盟4月教学质量检测】若函数儿门m/i “八有两个极值点，则实数的取值范围是答案】解析】f (x) xlnx 4-ax2 0)r f (x) = inx 4-1 4-2ax. 令尅(x) =4-1 4- 2aXs 由于固数固数f

13、(.x) = ax2 4-Jclmc有两个极值点点Q尅G = 0在区间 他+丿 上有两个实数 根.护Q =汁2乱=讐，当a 0时，0 d丿0 ,则函数9仕丿在区间+oo丿单调递増，因此尅&丿=0在区间 4, 4-；上不可能有两个实数根,应舍去当口 0时，令0皿，解得工=-土 ,令00 ,解得0x- ,此时函数站他丿单调递增；令护Q VQ ,解得2-土 ,此时函数9么丿单调递减.二当工=一函数灯&丿取得极大值要使9=。在区间 他*00丿上有两个实数根，则尅=抗(一2)山，解得一寸厲0.x + 3| +1), x 0,若存在实数J V (，满足二实数乱的取值范围是一弘乱CDf(x)=17.【201

14、8苏锡常镇四市调研2】已知函数，# 门为 /：,贝则打鮎加的最大值是【答案】【解析】详解：作出f (x)的函数图象如图所示:rT存在实数满足 f (a) =f (b) =f (c)?.a+b- 6.af (a) +bf (b) -tf (c) = (a-tn-c) f (c) = (c-6) lnc由函数图象可烁 gY已设 g (c) = (c- 6) Inc,贝ilsfr(MiK-l显然0(町在 黒 |上单调递増，二0(可在 压,耳上存在唯一一个零点，不妨设为宜,在g (c)在皿 E上单调递减，在 5 耳上单调递増，X g (Ve) (后-G 0,-g (c)的最大值为g(V) =2e=-1

15、2故答案为:2e=-1218.【2018天津市实验中学期中】对于函数/(x), g(x)，设aw(x|f (x )= o,卩eg X )=0 ，若存在 a,卩,使得|a 卩| 1 ,则称f (x), g X互为“零点相邻函数”若函数f (x) =ex1 + x 2 与 g(x)= x2 ax a + 3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是.【解析】 f(x) =ex-1 + x 2为单调递增函数, f(1)=0 ，所以g (x)零点在0,2 当 2 o 时 g (o) o,g(2)、0 n 3 a 2 时 g (0) 0, g(2) a 舍去；23当 0 - 2 时 g- 0或g (0)

16、 0 n 3 a 22k 2丿综上实数a的取值范围是 2,3三、解答题19.【2018广东汕头5月冲刺】已知函数口门T心牢.（1）讨论函数:在丄2上的单调性；（2）令函数/门 / Z d 门讣,是自然对数的底数，若函数代有且只有一个零点巴 判断/与铀勺大小，并说明理由.【解析】（1）由已知工 比且（刃=2咒+ 口+三=竺严， 当J =a2 -3 0,则函数0）在t2单调递增一 当虫=a2 - a 0H寸，即口 缜怯时、2妒+血+1 =。有两个根、 曳-3 a 2芒时，函数f（X）在1,2上单调递増=2。当解得V a V 3当时，函数 在上单调递减,上单调递增;=-+ a 0,则，所以小川在心上

17、单调增，+ S, 0)令，所以止；=po)= (1 一咒)(e】 + ：).则，所以工 e(),1),八门(),丫 e(1, + s),厂(门 0,p(e) = (2 - e)ee_1 - 1 4- -_ = (2 - e)ee1 -()；的最大值为诃W:.(1) 若关于的方程皿；川的两个实数根为 f 求证：】 w(2) 当心V时，证明函数余门门门在函数心；的最小零点处取得极小值.得；由，得所以，的增区间为12a 2aa，减区间为所以不妨设1 ，所以，设知在1，I上单调递增，础心；（），则= t-2lnt(t 1)，则1因 ，al a2，所以4012 2ln 0,0,o .xn x - - 2

18、a-2ax0,(a + l)x - ln(x + 2a),( - 2a x x0)ln(x + 2a) - (a - l)x/x0 x - 2a易知，且ag(Q =时,盹)=f 记H (a) = 4a- 则 S - 0a2939 , a + 1内单调递增,.昌制在以丨内单调递增，1于是。时,时，相应的“(X) = (a + 1) - - - (a - 1) = 1 0X十乙CLJL2a + 2aa所以負厂在递增.故是魚厂的极小值点.21. 【2018福建百校临考冲刺】已知函数口 1 1（1）讨论的单调性；（2）设八是*门的两个零点，证明：【解析】（1）3 =计,当口 。时，广CO o,贝MCO

19、在尺上单调递増.1 尤I乂 一 2= 9 （咒）=，设，贝y当a 0,得尤 】（#, 则丽的单调递增区间为（-“（-为 令4得心诚一）贝忻co的单调递减区间（in（y+）-（2）证明：由得由/ ：； （），得-（），得用:：” 2gmin =呂=-4 故的最小值.当时，9（门.当 时.不妨设1 j , 14_2且 在Im上单调递增,要证：6 一y只需证 八丁1 一 尤 乂 1 一 3 只需证i，即卩，即证11 : 设引 +x 1.VG则h八:；）； I 1令肌(咒)=/1(咒)，则加(兀)=4/“-(尤 _ 2), x E (1,2),m (%) 0,在门2上单调递减，即/小在门上单调递减,h

20、门 （）,“；在上单调递增,/i(x) /i(2) = 0,e 1 (尤i - 3)+ Xj - 1 0从而得证.22. 【2018江西赣州5月模拟】已知函数口门 皿、 （小用）.（1）若1 m,证明：函数/有且只有一个零点;（2）若函数八门有两个零点，求实数体勺取值范围.【解析】由 f()=x-ex-x (aeR)? f(x) =22x -1故当口 D时，f（=2ae-ex-l0?即函数兀光）在尺上单调递减.所以当口 D时，函数f（X）在（6 +8上最多有一个零点-又当一乞如寸，f（0）=a-l0? f（所以当-1 a o当G（0,co）, gx） 0, 9（ - 1） = e - 0故实数的取值范围是