有限元方式的进展及应用

《有限元方式的进展及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限元方式的进展及应用（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、有限元方式的进展及应用1 有限元法介绍有限元法概念有限元法（FEA, Finite Element Analysis）的大体概念是用较简单的问题代 替复杂问题后再求解。它是起源于 20 世纪 50 年代末 60年代初兴起的应用数学、 现代力学及运算机科学彼此渗透、综合利用的边缘科学。有限元法的大体思想是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域 组成,对每一单元假定一个适合的 （较简单的）近似解,然后推导求解那个域总 的知足条件（如结构的平衡条件）,从而取得问题的解。那个解不是准确解,而是 近似解,因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以取得准 确解,而有限元不仅计算精度高,

2、而且能适应各类复杂形状,因此成为行之有效 的工程分析手腕。有限元法最初应用在工程科学技术中 ,用于模拟而且解决工程 力学、热学、电磁学等物理问题。有限元法优缺点有限元方式是目前解决科学和工程问题最有效的数值方式,与其它数值方式 相较,它具有适用于任意几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、容易编 程、成熟的大型商用软件较多等长处。（1）概念浅显,容易掌握,能够在不同理论层面上成立起对有限元法的理 解,既能够通过超级直观的物理解释来理解,也能够成立基于严格的数学理论分 析。（2）有很强的适用性,应用范围极为普遍。它不仅能成功地处置线性弹性 力学问题、费均质材料、各向异性材料、非线性应立-应变关

3、系、大变形问题、 动力学问题已及复杂非线性边界条件等问题，而且随着其大体理论和方式的慢慢 完善和改良，能成功地用来求解如热传导、流体力学、电磁场等领域的各类线性、 非线性问题。他几乎适用于求解所有的持续介质和场问题，以至于目前开始向纳 米量级的分子动力学渗透。（3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制运算机软件。如此，不仅能够 充分利用高速运算机所提供的方便，使问题得以快速求解，而且能够使求解问题 的方式规范化、软件商业化，为有限元法推行和应用奠定了良好的基础。可是，在求解一些特殊问题，专门是中断问题时，有限元方式存在着某些固 有的缺点。例如：（1）有限元采用的是持续性的位移近似函数，对于裂纹类

4、强中断问题，为取得足够的计算精度，需要对网格进行足够的细分，计算量极大。（2）在采用拉格朗日法求解金属冲压成形、裂纹动态扩展、流固耦合、局 部剪切等涉及特大变形问题时，有限元网格可能会产生严峻扭曲，使计算精度急 剧下降乃至计算无法继续，因此，需要不断地进行网格重构，计算量极大。同时， 为了模拟裂纹的动态扩展进程，也需要不断地进行网格重构。（3）在处置夹杂问题时，单元的边须位于夹杂与基体的界面处，即便对于 网格自动化程度很高的二维问题这也很不容易，而三维问题则更复杂。有限元法的派生有限元法作为数值方式中的基础方式，有其必然的利用范围，也由于必 然的短处决定了其不完全通用性。在有限元方式基础上，进

5、展出有其特殊利用范围的更精准的派生数值方式，下面介绍几种重要的数值方式有限差分法有限差分法(FDM, Finite Difference Method)已经进展的一些近似数值分 析方式中，最初常常利用的是有限差分法，它能够处置一些相当困难的问题。但 对于几何形状复杂的边界条件，其解的精度受到限制，乃至发生困难。作为 60 年代最重要的科技成绩之一的有单元法。在理论和工程应用上都取得迅速进展， 几乎所有效经典力学解析方式难以解决的工程力学问题郁能够用有限元方式求 解。它将持续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，解析地模拟或逼近求解 区域。由于单元能按各类不同的联结方式组合在一路，且单元本身又可

6、有不同的 几何形状，因此能够适应几何形状复杂的求解域。有限元的另一特点是利用每一 单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。单元内的近似函 数由未知场函数在各个单元结点上数值和插值函数表达，这就使未知场函数的结 点值成为新的未知量，把一个持续的无穷自由度问题变成离散的有限自由度问 题，只要结点来知量解出，即能够肯定单元组合体上的场函数。随着单元数量的 增加，近似解收敛于精准解。可是有限元方式常常需要专门大的存贮容量，乃至 大得无法计算；由于相邻界面上只能位移协调，对于奇异性问题(应力出现中断) 的处置比较麻烦。这是有限单元法的不足的地方。边界元法边界元法(BEM, Boundar

7、y Element Method)是在有限元法以后进展起来的 一种较精准有效的工程数值分析方式。与有限元法在持续体域内划分单元的大体 思想不同,边界元法是在概念域的边界上划分单元,用知足控制方程的函数去逼 近边界条件,通过对边界分元插值离散,化为代数方程组求解。降低了问题的维 数,可用较简单的单元准确地模拟边界形状,利用微分算子的解析的大体解作为 边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的大体解为前提，对于 非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法普遍，而且通常由它 成立的求解代数方程组的系数阵是非对

8、称满阵，对解题规模产生较大限制。上述 两种数值方式的主要区别在于，边界元法是“边界”方式，而有限元法是“区域” 方式，但都是针对持续介质而言，只能取得某一荷载或边界条件下的稳固解。对 于节理裂隙发育的岩体或颗粒散体的处置则要麻烦得多，更无法进行大变形、分 离、回转及塌落进程的模拟。这就使得人们去探索和寻求适合模拟节理岩体和颗 粒散体运动变形特性的有效数值方式。离散元法离散元法(DEM, Distinct Element Method)是由 Cundall P A (1971)第一提出 并应用于岩土体稳固性分析的一种数值分析方式。它是一种动态的数值分析方式, 能够用来模拟边坡岩体的非均质、不持续

9、和大变形等特点,因此,也就成为目前较 为流行的一种岩土体稳固性分析数值方式。该方式在进行计算时 ,第一将边坡岩 体划分为若干刚性块体 (目前已能够考虑块体的弹性变形) ,以牛顿第二运动定律 为基础,结合不同本构关系,考虑块体受力后的运动及由此致使的受力状态和块体 运动随时刻的转变。它允许块体间发生平动、转动,乃至离开母体下落,结合 CAD 技术能够在运算机上形象地反映出边坡岩体中的应力场、位移及速度等力学参量 的全程转变。该方式对块状结构、层状破裂或一般碎裂结构岩体比较适合。 广义有限元法广义有限元方式(GFEM, Generalized Finite Method)是常规有限元方式在思想上的

10、延伸,它基于单位分解方式,通过在结点处引入广义自由度,对结点自 由度进行再次插值,从而提高有限元方式的逼近精度，或知足对特定问题的特殊 逼近要求。基于广义有限元方式对单元形状函数构造理论的深切研究，具有任意 内部特征(空洞、夹杂、裂纹等)及外部特征(凹角、角点、棱边等)的复杂问 题,都将在简单、且与区域无关的有限元网格上加以求解。扩展有限元法扩展有限元(XFEM, Extended Finite Element Method)是在标准有限元方式 的框架下，提出来的一种用于解决裂纹、孔洞、夹杂等中断问题的数值方式。在 有限元的近似函数中，增加能反映待求问题中断特性的附加函数项，采用水平集 方式(

11、LSM)描述中断面的几何特性及其移动规律。扩展有限元方式与标准有限 元方式相较，具有计算精度高、勿需网格重构等特点。2 有限元法的进展有限元法是于 1943 年第一提出的。自从提出有限元概念以来,有限元理论及 其应用取得了迅速进展。过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题，都取得 了新的解决方案。传统的FEM假设：分析域是无穷的；材料是同质的，乃至在 大部份的分析中以为材料是各向同性的;对边界条件简化处置。但实际问题往往 是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以肯定等。为解决这种问题 ,美国学 者提出用GFEM (Gener-alized Finite Element Method)解决分析域

12、内含有大量孔 洞特征的问题；比利时学者提出用 HSM (the Hybrid metis Singular element of Membrane plate )解决实际开裂问题。在FEM应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时，FEM也从分析比较 向优化设计方向进展。印度Mahanty博士用ANSYS对拖沓机前桥进行优化设计， 结果不但降低了约 40%的前桥自重，还避免了在制造进程中的大量焊接工艺，降 低了生产本钱FEM 在国内的应用也十分普遍。自从我国成功开发了国内第一个通用有限 元程序系统 JIGFEX 后，有限元法渗透到工程分析的各个领域中，从大型的三峡 工程到微米级器件都采用FEM进

13、行分析，在我国经济进展中拥有广漠的进展前 景。目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时，为了估量并控制误差 ,常 常利用基于后验误差估量的自适应有限元法。基于后处置法计算误差 ,与传统算 法不同，将网格自适应进程分成均匀化和变密度化 2 个迭代进程。在均匀化迭代 进程中，采用均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分，以便取得一个适合的起始 均匀网格；在变密度化迭代进程中只进行网格的细化操作，并充分利用上一次迭 代的结果，在单元所在的曲边三角形区域内部进行局部网格细化，保证了全局网 格尺寸散布的合理性，使得不同尺寸的网格能滑腻衔接，从而提高网格质量。整 个方案简单易行，稳固靠得住，数次迭代即可快速收

14、敛 ,生成的网格布局合理， 质量高。有限元法的国内外研究现状FEM作为求解数学物理问题的一种数值方式，已经历了 50余年的进展。20 世纪50年代，它作为处置固体力学问题的方式出现。1943年，Courant第一次提 出单元概念。19451955年,Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了专门大进展。 1956年,Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推行应用于弹性力学平面问题。 1960年,Clough第一把解决弹性力学平面问题的方式称为“有限元法”，并描画为 “有限元法 = Rayleigh Ritz 法 + 分片函数”。几乎与此同时,我国数学家冯康也 独立提出了类似方式。FE

15、M理论研究的重大进展，引发了数学界的高度重视。自20世纪60年代以来,人们增强了对FEM数学基础的研究。如大型线性方程组 和特征值问题的数值方式、离散误差分析、解的收敛性和稳固性等。FEM理论 研究功效为其应用奠定了基础,运算机技术的进展为其提供了条件。20世纪70年 代以来，接踵出现了一些通用的有限元分析（FEA: Finite Element Analysis）系统，如 SAP、ASKA、NASTRAN等，这些FEA系统可进行航空航天领域的结构强度、 刚度分析，从而推动了 FEM在工程中的实际应用。20世纪80年代以来，随着工 程工作站的出现和普遍应用,原来运行于大中型机上的 FEA 系统

16、得以在其上运 行，同时也出现了一批通用的FEA系统，如ANSYS-PC、NISA,SUPERSAP等。20 世纪90年代以来,随着微机性能的显著提高，大量FEA系统纷纷向微机移植，出 现了基于Windows的微机版FEA系统。通过半个多世纪的进展,FEM已从弹性力 学平面问题扩展到空间问题、板壳问题;从静力问题扩展到动力问题、稳固问题 和波动问题;从线性问题扩展到非线性问题；从固体力学领域扩展到流体力学、 传热学、电磁学等其他持续介质领域；从单一物理场计算扩展到多物理场的耦合 计算。它经历了从低级到高级、从简单到复杂的进展进程,目前已成为工程计算 最有效的办法之一。有限元法的网格化分进展作为有

17、限元走向工程应用枢纽的有限元网格划分，是有限元法的一个超级重 要的研究领域，经历了40 连年的进展历程。有限元网格划分算法研究中的某些 难点问题始终未能取得真正意义上的解决，它们的解决对工程问题具有重要的现 实价值和理论意义。有限元分析的大体进程可分为三个阶段：有限元模型的成立 （即前处置）、有限元解算、结果处置和评定（即后处置）。按照经验, 有限元分 析各阶段所用的时刻为：40%-45%用于模型的前处置，50%-55%用于后处置，而 分析计算只占 5%左右； 更有指出有限元建模占有限元分析一半以上的工作量, 乃至高达 80%。因此，有限元分析的前后处置一直都是有限元分析的瓶颈问题， 严峻地阻

18、碍着有限元分析技术的应用和进展。许多学者对有限元网格生成方式近 30 年的研究进行了归纳和总结，对某些重要分支领域的研究进展方面也做出了 奉献。最近几年来, 有限元网格生成方式研究有两个显著特点：（1）经历了一个 进化进程，一些方式的研究与应用出现停滞，而另外一些方式在不断地深切、完 善和进展，成为适应性强、应用范围普遍的通用方式；（2）领域和主题在不断扩 展和深切，研究重点由二维平面问题转移到三维曲面和三维实体问题，从三角形、 四面体网格自动生成转移到四边形、六面体网格自动生成。3 有限元法的应用有限元法最初应用在求解结构的平面问题上,进展至今，已由二维问题扩展 到三维问题、板壳问题，由静力

19、学问题扩展到动力学问题、稳固性问题，由结构 力学扩展到流体力学、电磁学、传热学等学科，由线性问题扩展到非线性问题， 由弹性材料扩展到弹塑性、塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从航空技术领域 扩展到航天、土木建筑、机械制造、水利工程、造船、电子技术及原子能等，由 单一物理场的求解扩展到多物理场的耦合，其应用的深度和广度都取得了极大的 拓展。有限元法的应用进程FEM 应用于实际问题须经历以下进程，如图 1 所示。理论研丿是图 1. FEM 的应用进程（1）问题的数学描述。对问题客观规律的数学描述（一般是微分方程及边界 条件）是成立有限元方程的前提。单元特性矩阵和整体有限元方程都是基于数学 模型成立的

20、。常见的弹性力学大体方程、运动方程、热传导方程等都是对客观现 象的数学描述。（2）有限元方程的成立。利用变分原理,通过离散、单元分析、整体分析等 进程,成立数学模型的有限元方程，它一般是一组易于用数值方式求解的代数方3）算法研究。有限元方程的计算量庞大，须有有效的算法来保证计算效 率和精度，同时考虑对计算条件的要求。如求解大型线性方程组的带宽法、波前 法，求解大型特征值问题的分块 Lanczos 法等。(4) 程序开发。数值计算依赖于运算机,因此求解算法需用相应的计算程序 来实现。(5) 有限元建模。对应于FEA系统的前处置(Pre-processing)。它为数值计 算提供所有原始输入数据(

21、节点数据、单元数据和边界条件数据)。因为模型形式 直接决定计算精度和规模，且建模所需时刻约占整个 FEA 的 70%左右，所以建II模质量和效率是FeA的关键。图2列出了有限元建模中的关键技术。II(6) 数值计算。对应于FEA系统的计算(Solving)。它由一系列计算程序组 成,计算程序又称求解器(solver)。每一个求解器完成特定类型的计算。因此求解 器越多,系统功能越强。(7) 结果处置。对应于FEA系统的后处置(Post-processing)o它对计算结果 进行处置、显示、运算和列表等。若依照(1)(7)进程,问题得以解决，则 FEM 应 用结束;反之,则需按照求解结果提出改良方

22、案 ,循环执行(5)(7)进程,直至问题解 决或取得最佳设计。对于一个全新的问题,必需从第一步开始。而对已知的问题， 可从第（5）步开始，即直接利用已有的FEA系统，成立有限元模型。在实际应用中, 绝大多数问题都属于第二类问题。有限元法的应用领域FEM 最先应用于固体力学领域,但由于其解决问题的有效性和实用性，专门 快推行应用于温度场、电磁场、流场、声场等持续介质领域。目前FEM的应用 领域主要包括：（1）静力分析。包括线性非线性静力分析。线性静力分析研究线弹性结构 的变形和应力，它是工程结构分析和设计中最大体的方式。非线性结构静力分析 主要研究外载作用下引发的非线性响应，其中非线性来源主如果

23、材料非线性、几 何非线性和边界条件非线性 3 大类。（2）动力分析。主要包括以下分析类型：1）模态分析。用于求解多自由度系统的模态参数。为计算取得的运算机主 板的前三阶振型。2）瞬态响应分析。求解在时域内结构经受随时刻转变的载荷和速度作历时 的动力响应。3）简谐响应分析。对简谐鼓励结构在其平衡位置的振动进行分析。4）频谱响应分析和随机振动分析。用于分析结构受已知频率鼓励时的最大 响应。5）屈曲和失稳分析。分析考察结构的极限承载能力，研究结构整体或局部 的稳固性，取得结构失稳形态和失稳路径。6）自动接触分析。用于接触边界概念和摩擦分析。3）失效和破坏分析。包括断裂分析（线弹性断裂分析和弹塑性断裂

24、分析）、裂纹萌生与扩展分析、跌落分析和疲劳失效分析。（4）热传导分析。包括稳态热传导分析、瞬态热传导分析、热辐射、强迫 对流及温度的耦合分析。（5）电磁场分析。它用于对电磁场中电感、电容、磁通量密度、涡流、电 场散布、磁力线散布、能量损失等物理量进行分析。（6）声场分析。它用来研究在含有流体介质中声波的传播问题,或分析浸在 流体中的固体结构的动态特性。（7）研究流体速度、压强、密度转变规律和粘滞流体的运动规律及粘滞流 体中运动物体所受阻力及其它热力学性质。（8）耦合场分析。考虑两种或两种以上物理场的交叉作用和彼此影响（耦合）。 有限元法的应用的热点和前景随着FEM研究的深切，过去不能解决或能解

25、决但求解精度不高的问题，都 取得了新的解决方案。传统的FEM假设：分析域是无穷的；材料是同质的，乃至 在大部份的分析中以为材料是各向同性的;对边界条件简化处置。但实际问题往 往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以肯定等。为解决这种问题，美国 的 heofanis Strouboulis & LinZhang 等人提出用 GFEM （Generalized Finite Element Method）解决分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时的Nguyen Dang Hung和 越南的 Tran Thanh Ngoc 提出用 HSM （the Hybrid metis Singular el

26、ement of Membrane plate）解决实际开裂问题（结构尺寸有限，形状任意，边界条件复杂,材料特 性任意）。传统的有限兀断裂力学技术（the finite element fracturemechanics techniques） 在解决零件中出现裂痕这种问题时，需要在曲线型裂纹前缘周围的区域细分网格。如此无论是从网格生成的角度看仍是从求解的角度看，都需要花费大量的时 刻。而且在循环加载的情形下产生的次裂纹将会使分析变得加倍复杂。为此，美 国的 Daniel S Pipkinsay & Satya N Atlurib 提出了 FEAM(Finite Element Alterna

27、ting Method)。该方式在求解应力集中因子时，可在不捐躯精度的情形下节省时刻， 用它分析具有椭圆裂纹或部份椭圆裂纹的结构是很有效的。另外，西班牙的 Onate E 和波兰的 Rojek J 将 DEM(Discrete Element Method) 和 FEM 结合解决地质力学中的动态分析问题 ;瑞典的 Birgersson F 和英国的 Finnveden S 针对 FEM 在频 域 中的 应 用 提 出了 SFEM (Spectral Finite ElementMethod)。在FEM应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时，FEM也从分析比较 向优化设计方向进展。印度Mahanty博士用ANSYS对拖沓机前桥进行优化设计, 结果不但降低了约 40%的前桥自重,还避免了在制造进程中的大量焊接工艺，降 低了生产本钱。FEM在国内的应用也十分普遍。20世纪80年代我国大连理工大学工程力学 研究所开发成功了国内第一个通用有限元程序系统JIGFEX,并在1983年开发出 了它的微机版JIGFEX-W。目前,FEM已渗透到工程分析的各个领域，从大型的三 峡工程到微米级器件都采用 FEM 进行分析。它在我国经济进展中拥有广漠的进 展前景。FEM 的研究热点目前表此刻两个方面:超收敛应力计算和有限元模型修正技 术。