八年级数学下册第一章三角形的证明阶段专题复习课件新

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1、阶段专题复习第 一 章请写出框图中数字处的内容请写出框图中数字处的内容:_;_;_;_;_;_;_;_;_;_;_;_;SSS,SAS,ASA,AAS,HLSSS,SAS,ASA,AAS,HL等边对等角等边对等角等角对等边等角对等边等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合相重合等边三角形的三个内角都相等等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于并且每个角都等于6060有一个角等于有一个角等于6060的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形;三个角都三个角都相等的三角形是等边三角形相等的三角形是等边三角形_;_;_;_;

2、_;_;_;_;_;_;_._.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三那么这个三角形是直角三角形角形是直角三角形线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分在这条线段的垂直平分线上线上角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相

3、等的点,在这个角的在这个角的平分线上平分线上考点考点 1 1 等腰三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定【知识点睛知识点睛】1.1.定义定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形有两边相等的三角形叫做等腰三角形,其中三边相等的其中三边相等的三角形叫做等边三角形三角形叫做等边三角形.2.2.等腰三角形的性质等腰三角形的性质(1)(1)等边对等角等边对等角.(2).(2)三线合一三线合一.(3).(3)是轴对称图形是轴对称图形.(4).(4)等腰三角等腰三角形的性质还有形的性质还有:等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等,两腰上的高线相两腰上的高线相等等,两底角的平分线也相等两底角的平

4、分线也相等.3.3.等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)(1)有两边相等的三角形有两边相等的三角形.(2).(2)等角对等边等角对等边.4.4.等边三角形等边三角形(1)(1)性质性质:等边三角形的每个内角都是等边三角形的每个内角都是6060,三条边都相等三条边都相等;等边等边三角形是中心对称图形三角形是中心对称图形,也是轴对称图形也是轴对称图形,它有它有3 3条对称轴条对称轴.(2)(2)判定判定:有三个角相等的三角形是等边三角形有三个角相等的三角形是等边三角形;有一个角有一个角是是6060度的等腰三角形是等边三角形度的等腰三角形是等边三角形.【例例1 1】(2013(2013荆门中考荆门

5、中考)若等腰三角形的一个内角为若等腰三角形的一个内角为5050,则则它的顶角为它的顶角为.【思路点拨思路点拨】由于等腰三角形中已知的内角可能是顶角由于等腰三角形中已知的内角可能是顶角,也可也可能是底角能是底角.故分类讨论故分类讨论,求解求解.【自主解答自主解答】顶角是顶角是5050,或者底角是或者底角是5050,此时顶角是此时顶角是8080.答案答案:5050或或8080【中考集训中考集训】1.(20131.(2013南平中考南平中考)如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,DEBC,ADE=48DEBC,ADE=48,则下列结论中不正确的则下列结论中不正确的是是()A.B=4

6、8A.B=48B.AED=66B.AED=66C.A=84C.A=84D.B+C=96D.B+C=96【解析解析】选选B.A.DEBC,ADE=48B.A.DEBC,ADE=48,B=ADE=48B=ADE=48正确正确,不符合题意不符合题意;B.AB=AC,C=B=48B.AB=AC,C=B=48,DEBC,AED=C=48,DEBC,AED=C=48,符符合题意合题意;C.A=180C.A=180-B-C=180-B-C=180-48-48-48-48=84=84正确正确,不符合题不符合题意意;D.B+C=48D.B+C=48+48+48=96=96正确正确,不符合题意不符合题意.2.(2

7、0132.(2013成都中考成都中考)如图如图,在在ABCABC中中,B=C,AB=5,B=C,AB=5,则则ACAC的长的长为为()A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5【解析解析】选选D.B=C,AC=AB=5.D.B=C,AC=AB=5.3.(20133.(2013张掖中考张掖中考)等腰三角形的周长为等腰三角形的周长为16,16,其一边长为其一边长为6,6,则则另两边为另两边为.【解析解析】当边长为当边长为6 6的边是底边时的边是底边时,两腰为两腰为5,5;5,5;当边长为当边长为6 6的边的边是腰时是腰时,另两边长为另两边长为6,4,6,4,故本题答案为故本题答案为5,55,

8、5或或6,4.6,4.答案答案:5,55,5或或6,46,4考点考点 2 2 直角三角形的性质和判定直角三角形的性质和判定【知识点睛知识点睛】一、直角三角形的性质一、直角三角形的性质1.1.直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余.2.2.勾股定理勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.3.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4.4.直角三角形中直角三角形中3030角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半.5.5.直角三角形中直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半如果一

9、条直角边等于斜边的一半,那么这条直那么这条直角边所对的角等于角边所对的角等于3030.二、直角三角形的判定二、直角三角形的判定1.1.有一个角是直角的三角形是直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.2.有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形.3.3.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的如果三角形两边的平方和等于第三边的平方平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.4.4.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角那么这个三角形是直角三角形形是直角三角形.【例例2

10、 2】(2013(2013吉林中考吉林中考)如图如图,在平面直角坐在平面直角坐标系中标系中,点点A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为(-6,0),(0,8).(-6,0),(0,8).以以点点A A为圆心为圆心,以以ABAB长为半径画弧长为半径画弧,交交x x轴正半轴于轴正半轴于点点C,C,则点则点C C的坐标为的坐标为.【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】点点A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为(-6,0),(0,8),(-6,0),(0,8),AO=6,BO=8,AB=10.AO=6,BO=8,AB=10.以点以点A A为圆心为圆心,以以ABAB长为长为半径画弧半径画弧,AB=AC=1

11、0,OC=AC-AO=4.,AB=AC=10,OC=AC-AO=4.交交x x轴正半轴于点轴正半轴于点C,C,点点C C的坐标为的坐标为(4,0),(4,0),答案答案:(4,0)(4,0)22AOBO【中考集训中考集训】1.(20131.(2013资阳中考资阳中考)如图如图,点点E E在在正方形正方形ABCDABCD内内,满足满足AEB=90AEB=90,AE=6,BE=8,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是则阴影部分的面积是()A.48 B.60A.48 B.60C.76 D.80C.76 D.80【解析解析】选选C.AEB=90C.AEB=90,AE=6,BE=8,AE=6,BE=8

12、,在在RtRtABEABE中中,AB,AB2 2=AE=AE2 2+BE+BE2 2=100,=100,SS阴影部分阴影部分=S=S正方形正方形ABCDABCD-S-SABEABE=AB=AB2 2-AEAEBE=100-BE=100-6 68=76.8=76.12122.(20122.(2012湖州中考湖州中考)如图如图,在在RtRtABCABC中中,ACB=90ACB=90,AB=10,CD,AB=10,CD是是ABAB边上的中线边上的中线,则则CDCD的长是的长是()A.20 B.10 C.5 D.A.20 B.10 C.5 D.【解析解析】选选C.C.在在RtRtABCABC中中,AC

13、B=90,ACB=90,AB=10,CD,AB=10,CD是是ABAB边上边上的中线的中线,CD=AB=5.,CD=AB=5.12523.3.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,AC=9,BC=12,AC=9,BC=12,则则点点C C到到ABAB的距离是的距离是()【解析解析】选选A.A.根据勾股定理根据勾股定理,得得AB=15,AB=15,设点设点C C到到ABAB的的距离为距离为h,h,根据三角形的面积公式得根据三角形的面积公式得:解得解得h=.h=.361293 3A.B.C.D.52544229+1211h 159 12,22 365考点考点 3 3 线段的垂直平分线和

14、角的平分线线段的垂直平分线和角的平分线【知识点睛知识点睛】线段的垂直平分线和角的平分线线段的垂直平分线和角的平分线1.1.线段的垂直平分线线段的垂直平分线(1)(1)性质性质:线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等相等;三角形的三条边的垂直平分线相交于一点三角形的三条边的垂直平分线相交于一点,并且这点到三并且这点到三个顶点的距离相等个顶点的距离相等.(2)(2)判别判别:到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂在这条线段的垂直平分线上直平分线上.2.2.角的平分线角的平分线(1)(1)性质性质:角平分

15、线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等;三角形的三条三角形的三条角平分线相交于一点角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等并且这一点到三条边的距离相等.(2)(2)判别判别:在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点,在这个在这个角的平分线上角的平分线上.【例例3 3】(2012(2012绍兴中考绍兴中考)我们引入如下概念我们引入如下概念.定义定义:到三角形的两个顶点距离相等的点到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外叫做此三角形的准外心心.举例举例:如图如图1,1,若若PA=PB,PA=PB,则点则点P P为为ABCA

16、BC的准外心的准外心.应用应用:如图如图2,CD2,CD为等边三角形为等边三角形ABCABC的高的高,准外心准外心P P在高在高CDCD上上,且且PD=AB,PD=AB,求求APBAPB的度数的度数.探究探究:已知已知ABCABC为直角三角形为直角三角形,斜边斜边BC=5,AB=3,BC=5,AB=3,准外心准外心P P在在ACAC边边上上,试探究试探究PAPA的长的长.【思路点拨思路点拨】应用应用:判断判断PB=PC,PA=PC,PA=PBPB=PC,PA=PC,PA=PB三种情况哪种情况三种情况哪种情况合适合适,再求出再求出APBAPB的度数的度数;探究探究:先根据勾股定理求出先根据勾股定

17、理求出ACAC的长度的长度,根据准外心的定义根据准外心的定义,分分PB=PC,PB=PC,PA=PC,PA=PC,PA=PBPA=PB三种情况求解三种情况求解.【自主解答自主解答】应用应用:若若PB=PC,PB=PC,连接连接PB,PB,则则PCB=PBC,CDPCB=PBC,CD为等边三角形的高为等边三角形的高,AD=BD,PCB=30AD=BD,PCB=30,PBD=PBC=30,PBD=PBC=30,PD=DB=AB,PD=DB=AB,与已知与已知PD=ABPD=AB矛盾矛盾,PBPC;PBPC;若若PA=PC,PA=PC,连接连接PA,PA,同理可得同理可得PAPC;PAPC;若若PA

18、=PB,PA=PB,连接连接AP,BP,AP,BP,336312由由PD=AB,PD=AB,得得PD=AD,APD=45PD=AD,APD=45,故故APB=90APB=90.探究探究:BC=5,AB=3,AC=4.:BC=5,AB=3,AC=4.若若PB=PC,PB=PC,设设PA=x,PA=x,则则x x2 2+3+32 2=(4-x)=(4-x)2 2,x=,x=,即即PA=;PA=;若若PA=PC,PA=PC,则则PA=2;PA=2;若若PA=PB,PA=PB,由图知由图知,在在RtRtPABPAB中中,不可能不可能.故故PA=2PA=2或或 .122222BCAB53787878【中

19、考集训中考集训】1.(20121.(2012毕节中考毕节中考)如图如图,在在RtRtABCABC中中,A=30,A=30,DEDE垂直平分斜边垂直平分斜边AC,AC,交交ABAB于于D,ED,E是垂足是垂足,连接连接CD,CD,若若BDBD=1,=1,则则ACAC的长是的长是()A.2 B.2A.2 B.2C.4 D.4C.4 D.433【解析解析】选选A.A=30A.A=30,B=90,B=90,ACB=180ACB=180-30-30-90-90=60=60.DEDE垂直平分斜边垂直平分斜边AC,AD=CD,AC,AD=CD,A=ACD=30A=ACD=30,DCB=60,DCB=60-3

20、0-30=30=30,BD=1,CD=2=AD,AB=1+2=3,BD=1,CD=2=AD,AB=1+2=3,在在BCDBCD中中,由勾股定理得由勾股定理得:CB=,:CB=,在在ABCABC中中,由勾股定理得由勾股定理得:AC=2 .:AC=2 .322ABBC32.(20132.(2013长沙中考长沙中考)如图如图,BD,BD是是ABCABC的平分的平分线线,P,P为为BDBD上的一点上的一点,PEBA,PEBA于点于点E,PE=4cm,E,PE=4cm,则则点点P P到边到边BCBC的距离为的距离为cm.cm.【解析解析】BDBD是是ABCABC的平分线的平分线,PEAB,PEAB于点于

21、点E,PE=4cm,E,PE=4cm,点点P P到到BCBC的距离的距离=PE=4cm.=PE=4cm.答案答案:4 43.(20123.(2012通辽中考通辽中考)如图如图,ABCABC的三边的三边AB,BC,AB,BC,CACA长分别为长分别为40,50,60,40,50,60,其三条角平分线交于点其三条角平分线交于点O,O,则则S SABOABOSSBCOBCOSSCAOCAO=.【解析解析】作作ODABODAB于于D,OEBCD,OEBC于于E,E,BOBO平分平分ABC,OD=OE,ABC,OD=OE,SSABOABOSSBCOBCO=ABBC=4050=45,=ABBC=4050=

22、45,同理同理S SBCOBCOSSCAOCAO=56,=56,SSABOABOSSBCOBCOSSCAOCAO=456.=456.答案答案:456456考点考点 4 4 尺规作图的应用尺规作图的应用【知识点睛知识点睛】1.1.用尺规作线段的垂直平分线的三个应用用尺规作线段的垂直平分线的三个应用(1)(1)确定到两点或三点距离相等的点的位置确定到两点或三点距离相等的点的位置.(2)(2)确定线段的中点确定线段的中点.(3)(3)过一点作已知直线或线段的垂线过一点作已知直线或线段的垂线.2.2.用尺规作角的平分线的三个应用用尺规作角的平分线的三个应用(1)(1)把一个角分为把一个角分为2 2n

23、n等份等份.(2)(2)确定到角的两边或三角形三边距离相等的点确定到角的两边或三角形三边距离相等的点.(3)(3)与垂直平分线结合与垂直平分线结合,解决一些实际问题解决一些实际问题.【例例4 4】(2012(2012北海中考北海中考)已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,A=30,A=30,B=60,B=60.(1)(1)作作B B的平分线的平分线BD,BD,交交ACAC于点于点D;D;作作ABAB的的中点中点E(E(要求要求:尺规作图尺规作图,保留作图痕迹保留作图痕迹,不必写作法和证明不必写作法和证明).).(2)(2)连接连接DE,DE,求证求证:ADEADEBDE.BDE.【思路点拨

24、思路点拨】(1)AB(1)AB与其垂直平分线的交点与其垂直平分线的交点,就是就是ABAB的中点的中点.(2)(2)先证明先证明ABD=A,ABD=A,可得可得AD=BD,AD=BD,再加上条件再加上条件AE=BE,AE=BE,由由SASSAS可得可得ADEADEBDE.BDE.【自主解答自主解答】(1)(1)如图所示如图所示:(2)ABD=(2)ABD=6060=30=30,A=30,A=30,ABD=A,AD=BD,ABD=A,AD=BD,又又AE=BE,AED=BED=90AE=BE,AED=BED=90,ADEADEBDE.BDE.12【中考集训中考集训】1.(20121.(2012赤峰

25、中考赤峰中考)如图所示如图所示,在在ABCABC中中,ABC=ACB.ABC=ACB.(1)(1)尺规作图尺规作图,过顶点过顶点A A作作ABCABC的角平分线的角平分线AD.(AD.(不写作法不写作法,保留作图痕迹保留作图痕迹)(2)(2)在在ADAD上任取一点上任取一点E,E,连接连接BE,CE.BE,CE.求证求证:ABEABEACE.ACE.【解析解析】(1)(1)如图所示如图所示:(2)AD(2)AD是是ABCABC的角平分线的角平分线,BAD=CAD.BAD=CAD.ABC=ACB,ABC=ACB,AB=AC.AB=AC.又又AE=AE,AE=AE,ABEABEACE.ACE.2.

26、(20122.(2012玉林中考玉林中考)已知等腰已知等腰ABCABC的顶角的顶角A=36A=36(如图如图).).(1)(1)作底角作底角ABCABC的平分线的平分线BD,BD,交交ACAC于点于点D(D(用用尺规作图尺规作图,不写作法不写作法,但保留作图痕迹但保留作图痕迹).).(2)(2)通过计算说明通过计算说明ABDABD和和BDCBDC都是等腰三角形都是等腰三角形.【解析解析】(1)(1)如图所示如图所示:(2)A=36(2)A=36,AB=AC,AB=AC,ABC=C=72ABC=C=72.又又BDBD平分平分ABC,ABC,ABD=DBC=ABC=ABD=DBC=ABC=7272=36=36,A=ABD,A=ABD,ABDABD是等腰三角形是等腰三角形.BDC=A+ABD=36BDC=A+ABD=36+36+36=72=72=C,=C,BDCBDC是等腰三角形是等腰三角形.180A 18036221212