平面向量重难点解析

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1、平面向量重难点解析平面向量重难点解析课文目录2. 1平面向量的实际背景及基本概念2. 2平面向量的线性运算2. 3平面向量的基本定理及坐标表示2. 4平面向量的数量积2. 5平面向量应用举例目标：1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用;重难点重点：向量的综合应用。难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。【要点精讲】1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向.2. 向量的表示方法： 用有向线段表示-曷（几何表示法）

2、; 用字母a、b等表示（字母表示法）； 平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，、j作为基底。任作一个向 量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a = xi + yj，顷,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a 二顷,y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i = （1,0），j = （0,1），0 = （0,0）。x AB | = 0) n I a |2 = b2 (实数与向量的转化关系)(2) a = b n I a I2 =| b I2，反之不然(3) 三角不等式:I a I - I b I I a 土b I

3、I a I + I b I(4) I a b I I a II b I (当且仅当a, b共线时取“ = ”) 即当a,b同向时，a b = I a II b I ； 即当a,b同反向时，a b =-1 a II b I.(5) 平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即 21 a |2 +21 b |2 = I a + b I2 +1 a -b I28 .实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作：入a （1）I 入 a |=1 入 IL a I；(2)入0时入a与a方向相同；入0时入a与a方向相反；入=0时入a = 0 ； 、，、运算定律 a （a ）=（入日）a，（入+日）

4、a =入a +a，入（a + b ）=入a +入b(3)交换律：a b = b a;分配律：(a + b) c = a c + b c(人 a ) b =人(a b )= a (人 b );向量没有除法运算。如：ab吏cba都是错误的 b（4）已知两个非零向量a,b，它们的夹角为9，则a b = I a II b I cos9坐标运算：a = (x ,), b= (x ,)，贝lja b = xx +)1 12 21212（5）向量AB = a在轴l上的投影为:I a I cos9，（ 9为a与n的夹角，n为l的方向向量）其投影的长为|A/b /| =nI（二为n的单位向量）I n I（6）

5、a与b的夹角9和a九的关系:（1）当9 = 0时，a与b同向；当9=兀时，a与b反向（2） 9为锐角时，则有ab 0； 9为钝角时，则有一 一a, b不共线一 一 a b 0、a, b不共线不满足结合律：即（a b） c。a （b c）9.向量共线定理：向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使b =入a。10 .平面向量基本定理：如果匕，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一 向量a，有且只有一对实数入1,入2使a =入1 e +入2 U。121 12 2不共线向量ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；基底不惟一，关键是不共线；(3)

6、由定理可将任一向量万在给出基底ei、e2的条件下进行分解；基底给定时，分解形式惟一.W 是被a，/，e唯一确定的数量。1212向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐 标，即若A(x，y)，则松=(x,y)；当向量起点不在原点时，向量疝坐标为终 点坐标减去起点坐标，即若A (x1,y1)，B (x2,y2)，则ab =(x2-x1,y2-y1)11. 向量a和b的数量积： a b = | a | | b |cos0，其中0 E0，n 为a 和 b 的夹角。Eie0 a |b |cos0称为b在a的方向上的投影。 a b的几何意义是：b的长度| b |在a的方向上的投影的

7、乘积，是一个实数(可正、可负、也可是零)，而不是向量。 若 a = （ x， y ） , b =（x,， y ）,则 a b = xx + yy11221212 运算律：a b=b a,（入 a） b=a （入 b）= （a b）， （a+b） c=a c+b c。a b间阳方12 + ： 捉 a a = a2 = | a |2=x2+y2,或| a= Jx2 + y2 =0 ；当6与6异向时，入0，u0贝0OC =x 顷 +u oB. | 顷 | = | OB |=1. x = | oE |，u = | oD | OEC 中，/E=600，/OCE=75。，由 1 由 =_L6_ = J C

8、6 得：sin750 sin 600 sin 450| o6 |= IO6 Isin75。= 5(3*1 + 后sin 6006| Cg |_ I。己 Isin45。_ 5扁 sin 6003.5(3互+斥)5界. X =,日=63.Og =冬+&)OA+匝og63说明：用若十个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的 问题，通常通过构造平行四边形来处理例 2、已知 ABC 中，A (2, -1), B (3, 2), C (-3, -1), BC 边上的高为AD,求点D和向量AD坐标。解题思路分析：用解方程组思想设 D (x, y),则 aD = (x-2, y+1)bC = (

9、-6, -3), aD - bC =0-6(x-2)-3(y+1)=0，艮fl 2x+y-3=0bD =(x-3, y-2), bC BD-6(y-2)=-3(x-3)，艮fl x-2y+1=0由得：(xT1 y = i. D (1, 1), aD = (-1, 2)例3、求与向量g =(.巨,-1 )和8 = (1,方)夹角相等，且模为际的向量g的 坐标。解题思路分析：用解方程组思想法一：设 g = (x, y),则 g - g =丙 x-y, g - g =x+3 y=g gg g a - cb - c =Ig|g| Ig|g| 履乂 一 y = x + 侦 3y即 x = (2 + C3

10、)yX2+y2=2x =由得y =、泠+12v 3 -12v3 +1x =（舍） T 、,；3 +1 曷-1、 c =（,）22法二：从分析形的特征着手I如二1引二2a - K =0.AOB为等腰直角三角形，如图I OC I二互，ZAOC=ZBOC.C为AB中点.C （点+1巨-1 ）22说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简 化计算。例4、在AOAB的边OA、OB上分别取点M、N,使| OM | : I OA |=1 ： 3,I on |: | oa |=1 ： 4,设线段 an 与 bm 交于点 p,记oa = a, oa=a，用 a,a表示向量oa。解题思路分析

11、：/ B、P、M 共线.记再a =s pm oa=工oa+-oa=Loa+oa=la+a 1 + s1 + s1+s3(1 + s)1+s3(1 + s)同理，记Aa=t -a. oa=l a+a 1 + t 4(1 + t) a, a不共线上=上Is=9.由得1 +1 3（1 +s）解之得：J 21 t8= t =-1 + s 4（1 +1）3 op=A j + A , 1111说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s, t）是常用技巧之 一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关 于s, t的方程。例5、已知长方形ABCD, AB=3, BC=2, E为B

12、C中点，P为AB上一点（1）利用向量知识判定点P在什么位置时，/PED=450；（2）若ZPED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。解题思路分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系则 C （2，0），D （2，3），E （1，0）设 P （0， y） EP = （1，3），eP = （-1，y） I Ej l=71B, I Epl= Jy2 +1Ep EP =3y-1代入cos450二EP宜I Ej II 衣 I解之得y 1 （舍），或y=2 2.点P为靠近点A的AB三等分处（3）当ZPED=450 时，由（1）知 P （0，2）. Pj = （2，1），EP = （-1，

13、2）. EP P0 =0. ZDPE=900又 ZDCE=900D、P、E、C四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：建立平面直角坐标系；设 点的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；得到结 论。【考点剖析】考点一：向量的概念、向量的基本定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线 向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基 本定理。注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向 量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量万 勺 切.a有且只

14、有一对实数入1、入2，使万=入+入2e；-注意：若和是同一平面内的两个不共线向量， e1 e2【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填 空题为主，考查的难度属中档类型。例1、（2007上海）直角坐标系By中，i，j分别是与尤，y轴正方向同向_的单位向量.在直角三角形ABC中，若AB = 2i + j, AC = 3i + kj，则k的可 能值个数是（）一一A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 if - 解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为（2,1），C点坐标为（3,k），所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可 一 能为直角.所以k的可能值个数是

15、2,选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。,例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC洪 中与OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30，且| OA | = | OB |=1，.技| OC | = 2 后，若 oC =入 OA +U oB （入，UER）,解：过C作04与。的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由 角BOC=90。角AOC=30, 0C =盘得平行四边形的边长为2和4,入 + 日=2+4=6点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为 基底表示出来后，求相应的系数，也考查

16、了平行四边形法则。考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法 则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向 量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会 平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标 表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用 向量积判断两个平面向量的垂直关系。【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点 为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相 结合。例 3、(2008 湖北文、理)设。=(1

17、广2)，=(-3,4),c=(3,2),则0+2b) c=()A.( 15,12)B.0 C.-3 D.-11解：(a+2b) (1,-2) + 2(3,4) = (5,6) , (a+2b) c = (5,6) - (3,2) = 3，选 C点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加 法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。b-例4、(2008广东文)已知平面向量a = (1,2),b = (2,m)，且a b，贝 MV2a + 3b =()A(-2, -4) B. (-3, -6) C. (-4, -8)D. (-5, -10)解：由a b，得

18、m = 4,所以，tF-2a + 3b =(2, 4) + (6,12) = (4,8)，故选(C)。点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的人倍，也是共线向 量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。例5、(2008海南、宁夏文)已知平面向量a = (1,3), b = (4,2),人a + b与a垂直，则人是()A. -1B. 1C. -2D. 2解：由于 Xa + b =(人 + 4,一3人一 2), a = (1,一3),Xa + b a :.(X + 4) 3(3X 2)= 0,即 10X +10 = 0/.!=-1,选A点评：本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运

19、算，注意不要出现运 算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。例6、(2008广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O, E是线段A 1 , 12,11 , nA. a + b B. a +bC. a + b423324解:AO = 1 a , AD = AO + OD = 1 a + 1 b,2221 1 ,=a + b,24D.1 a + 2 b33=2a + b + a1222 )OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC = a, BD = b,则AF =()r/= 1 (1 丁 1 AE = -(AO + AD) = -2 2V_ -由A、E、F三点共线，知AF = XA

20、E, X 1 而满足此条件的选择支只有B,故选B.点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算 的一个难点，体现数形结合的数学思想。例7、(2008江苏)已知向量a和b的夹角为120 0, I a 1= 1,1 b 1= 3,则 15a - b I=.解：-一-5a-b2 =Ga-b) = 25a2 -10a b + b2 = 25x 12 -10x 1x3x(-上+ 32 = 49 ,I 25a b = 7 点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只 零田心，运算不要出现错误即可。考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练

21、应用，求点 分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度 一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若 出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。例8、(2008湖南理)设D、E、F分别是福。的三边BC、CA、AB上的点，且 DC = 2BD, CE = 2EA, AF = 2FB，则 AD + BE + CF 与 BC ()A.反向平行B.同向平行 C.互相垂直。既不平行也不垂直S：由定比分点的茹式律AD =AC tAB1 AC + - AB,同理，有：1 口33BE = 3BC + 2BA

22、 , CF = 3 CA + ；CB，以上三式相加得AD + Be + C； = _ 1bc，所以选一一一3点评:M用定比分点的啤式，M向量的运算，是解决本题的要点 考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了 向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三 角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易 题。例9、(2008深圳福田等)已知向量a =(思 sin x,cos x), b = (cos x,cos x),(1)求f(x)的最小正周

23、期；(2)当xe-,与吐若f (x) =1,求x的值.6 2 解： f (x) = 2如3 sin xcos x + 2cos 2x 一 1 = 0, . C 是锐角.cos C =1 8(2)由 CB CA = ，:. abcosC = ，:. ab = 20 .22又 a + b = 9a2 + 2ab + b2 = 81. a2 + b2 = 41.c2 = a2 + b2 - 2ab cos C - 36 . 二 c = 6 点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。例11、(2007 湖北)将 y - 2cos平移后所得图象的解析式为(A. y - 2c

24、os + - 2 k 3 4 )C. y - 2cos f - - ) - 2k 3 12 )B.D.的图象按向量y - 2cosy - 2cos平移，解：由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点P（,y），则a 十 7，一2）-PP-( - ,y- y)n - + ：,y - y + 2，代入到已知4解析式中可得选A点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切 入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移-个单位，再向下平移2个单位，误选C4考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次

25、函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。例12、 （2008广东六校联考）已知向量a =（cos x, sin x）, b = 22（-cos X, sin X ）,且 xE0,.222X.（1）求 a+b_（2）设函数f（x） = a+b + a-b,求函数f（x）的最值及相应的x的值。解由已知条件：0*I,得:一 .，/3x . x . 3x.x、a + b = (cos + cos ,sin -sin)=2222，/ 3x . x3x . x、_.(cos+ cos)2 + (sin - sin )2 :2222=2 一 2 cos 2 x

26、= 2 sin x3xx. 3x . x(2) f (x) =2sin x + cos cos - sin sin = 2 sin x + cos 2 x22221、3=-2sin2 x + 2sin x +1 = -2(sin x 一 一)2 + 22因为：0 x ，所以：0 sinx 1C.-1VaW3D. a06. 在 ABC 中,三边长 AB=7，BC=5，AC=6，则 aB BC 等于()D.-19（）D.既不充分也不必要A. 19B.-14C.-187. 在ABC中，AB是sinAsinB成立的什么条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要8. 若ABC的3条边的长分别为3, 4,

27、6,则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是（）A. 1 ：1B. 1 ： 2C.1： 4D. 3 ： 49. 已知向量a = （1,1）, b = （2 , 一 3），若ka - 2b与a垂直，则实数k =（）A. 1B.-1C.0D. 210. 已知向量a= （cos0,sin9），向量b=（十3,-1），则|2ab|的最大值是 （）A. 4B.4C.2D.211. 已知a、b是非零向量，则|a| = |b|是（a+b）与（ab）垂直的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜

28、角改为10，则 坡底要伸长（）A. 1 公里B. sin10 公里 C. cos10 公里 D. cos20 公里第11卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）, tsin C 2 z 13. 在ABC 中，BC=3, AB=2,且=二 G 6 + 1），A=.sin B 514. 在 ABC中，已知AB=/，ZC=50。，当/B=时，BC的长取得最大值.15. 向量 a、b 满足（ab）（2a+b） =4，且|a|=2，|b|=4，则 a 与 b 夹角的余弦值等于.16. 已知 ab c 与 a、b 的夹角均为 60，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则

29、（a+2bc）2= _.三、解答题（本大题共74分，1721题每题12分，22题14分）17. 设ee2是两个互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2,b=3e1+4e2,求a b.18.设三角形各角的余切成等差数列，求证：相应各边的平方也成等差数列19.已知ABC 中，A (2,1), B (3, 2), C (-3,-1), BC 边上的高为 AD,求AD及D点坐标.20.如图，半圆。的直径MN=2, OA=2, B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC,问B在什么位置时，四边形OACB面积最大最大面积是多少21.已知 A、B、C 成等差数列，求ta + tan +*3tand t

30、an 的值.222222.如图，在RtAABC中，已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角。取何值时BP CQ的值最大并求出这个最大值.参考答案一、选择题1. C2. A 3. B 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. B 10. A 11. C 12. A二、填空题13. 12014. 4015. - - 16. 112三、解答题17.解法一：. 2=|勺|。2|8、90 =0.a b=(3e1+2e2) (3e1+4e2)= 9e2 + 8e2 + 6e -e=-9|e1|2+8|e2|2=-9+8=-1解法二：.、e2是单位向量，且e1e2，于

31、是可得：a=(3,2)山=(3,4):.a b=3X( 3)+2X4=-118 .解析：,2cot B - cot A + cot C,. 2cos B - sin2B / sin A - sin C,2 R 2 R故 2(a2 + c2 - b2)2acG2+b2=2b2，故得证.19.解析：设D点坐标为(x,y), D分BC所成的比为入，则3 + 人(-3)2 + 人(-1)尤-1+人y-1+人AD - ( - 2,淫 +1), BC - (-6,-3) 1 +入 1 +入aD 1 BC,. aD - BC - 0-6(3 - 2) - 3(2- +1) - 0 1+人1+人解得： -2.

32、x=1,y=1 故 D 点坐标为(1, 1), AD = (1, 2)20.解析：设ZAOB= 9 ,由余弦定理知 AB2=OA2+OB2 2OA OB cos 9 =54cos 9= -至-再 cos 9ABC44OA - OB - sin 6 _6+ 2 sin(0 一 ：)Saaob sm.S四边形=登- 3 cos6 + sin6 - 2OACB 445兀当=甘时，S四边形OACB最大,最大值为孚+2tan 土 =很,2221.解析：A+B+C=n, A+C=2B ,.A+C=兀，3A C A C、 tan + tan = 3(1 - tan- tan 一),2222A CAC-故有

33、tan + tan +v3 tan -tan =t 3.222222. . AP = -AQ, BP = AP - AB, CQ = AQ - AC,.BP - CQ = (AP - AB) - (AQ - AC)=AP - AQ - AP - AC - AB - AQ + AB - AC=-a3 - AP - AC + AB - AP=-a2 + AP - (AB - AC)1= -a 2 + - PQ - BC=-a 2 + a 2 cos 0 .itHH故当cos0 = 1,即0 = 0（ PQ与BC方向相同）时,BPCQ最大其最大值为0.解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线

34、为坐标轴建立如图所示 的平面直角坐标系.设 I AB = c,l AC 1=。，贝豚(0,0), B(c,0), C(0, b), 且 I PQ l= 2土,1 BC l= a.设点P的坐标为3, y)，则Q(-x,-y).BP =(x 一 c, y),CQ =(x,y b), BC = (c, b), PQ = (2 x,2 y).BP - CQ = (x c)(x) + y (y b)=(x 2 + y 2) + cx by.b 1-.cx by = a2 cos0.PQ - BC cx by cos 0 = 一 /I PQ I -1 BC I a2BP - CQ =a2 + a2 cos0.故当cos0 = 1,即0 = 0（ PQ与BC方向相同）时,BC - CQ最大,其最大值为0.