微积分II课件：7.2 第二类曲面积分

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1、7.2 第二类曲面积分第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）（对坐标的曲面积分）一、第二类曲面积分的概念与性质一、第二类曲面积分的概念与性质曲面法向量的指向决定曲面的曲面法向量的指向决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.1.有向曲面（曲面的侧）有向曲面（曲面的侧）以下总假定曲面是光滑的或分片光滑的。以下总假定曲面是光滑的或分片光滑的。例如旋转抛物面例如旋转抛物面22zxy在抛物面上每一点处的法向在抛物面上每一点处的法向量有两个，其中量有两个，其中 2,2,1,nxy 22zxyz它与 轴正向夹角为锐角,指向上侧;它与 轴正向夹角为锐角,指向上侧;2,2,1nxyz

2、而与 轴正向夹角为而与 轴正向夹角为对于曲面对于曲面S：z=z(x,y),若每一点的法向量与若每一点的法向量与z 轴正向夹轴正向夹角为锐角，则称法向量指向曲面的角为锐角，则称法向量指向曲面的上侧上侧;否则为否则为下侧下侧.钝角,指向下侧;钝角,指向下侧;对于曲面对于曲面S：y=y(x,z),若每一点的法向量与若每一点的法向量与y 轴正向轴正向夹角为锐角，则称法向量指向曲面的夹角为锐角，则称法向量指向曲面的右侧；右侧；否则为否则为左侧左侧。对封闭曲面则有对封闭曲面则有外侧外侧和和内侧内侧之分。之分。这种具有两个侧的曲面称为这种具有两个侧的曲面称为 双侧曲面双侧曲面。同理，对曲面同理，对曲面S：x

3、=x(y,z)有有前侧前侧和和后侧后侧之分。之分。曲面上单位法向量的指向确定曲面的侧曲面上单位法向量的指向确定曲面的侧 :,S zz x y 例如曲面例如曲面用单位法向量来确定曲面的上侧或下侧.用单位法向量来确定曲面的上侧或下侧.,：M x y z在点处在点处 ,1,xynzz 其上侧的法向量为其上侧的法向量为上侧的单位法向量为上侧的单位法向量为022;1xyxyz iz jknzz ,1,xynzz 其下侧的法向量为其下侧的法向量为022.1xyxyz iz jknzz 下侧的单位法向量为下侧的单位法向量为同学们可以自己写出:同学们可以自己写出:0,yy z xn 对于曲面用单位法向量确定曲

4、面的对于曲面用单位法向量确定曲面的右侧或左侧;右侧或左侧;0n 确定曲面的前侧或后侧.确定曲面的前侧或后侧.,xx y z 对于曲面用单位法向量对于曲面用单位法向量2.流量问题流量问题:cosS v 流流量量0Sv n v S vS 流速场为常向量，有向平面区域，求单位流速场为常向量，有向平面区域，求单位.S 时时间间流流过过 的的流流体体的的质质量量 0v nS 0.SSn 其中其中设稳定流动的不可压缩流体的速度场为设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 ,v x y zP x y z iQ x y z jR x y z k .,SP x y z是速度场中的一片有向曲面 函数，是速度场中的一片有

5、向曲面 函数，,.Q x y zR x y zS，都在 上连续 求在单位，都在 上连续 求在单位 时间内流向指定侧的流量.时间内流向指定侧的流量.则该点流速为则该点流速为 .iv 法向量为法向量为 .in()iiiivv,iiSnSS把曲面 任意分成 个小块，同时也用把曲面 任意分成 个小块，同时也用i表示第 个小块的面积，表示第 个小块的面积，,.iiiiS 在上任取一点在上任取一点()()()iiiiiiiiiP,iQ,jR,k,iS ,iii Sin iv 0(1,2,).iiiivnSin 该点处的单位法向量为该点处的单位法向量为：0coscoscosiiiinijk iS 通过流向指

6、定侧的流量通过流向指定侧的流量,i记为记为iS ,iii Sin iv (3).求和求和01niiiivnS 1(,)cos(,)cos(,)cosniiiiiiiiiiiiiiPQRS S通过 流向指定侧的流量通过 流向指定侧的流量0 令令.取取极极限限得得到到流流量量的的精精确确值值 001lim,niiiiiiiivnS 1,2,iSin 其中 为各小块曲面中直径的其中 为各小块曲面中直径的 0,.Sv x y znx y z dS 最大值.最大值.3.第二类曲面积分第二类曲面积分 的定义的定义0，SnS 设 为一光滑有向曲面设 为一光滑有向曲面定定为曲面为曲面义义上任上任MS一点处的单

7、位法向量,其方向与曲面 侧的一点处的单位法向量,其方向与曲面 侧的选取一致.又设向量值函数选取一致.又设向量值函数 0.SF nS 在曲面 上有界 若数量值函数在 上的第在曲面 上有界 若数量值函数在 上的第,一类曲面积分存在 则称此积分值为向量值函数一类曲面积分存在 则称此积分值为向量值函数 ,F x y zS 在有向曲面 上的第二类曲面积分在有向曲面 上的第二类曲面积分 0.SFndS 记为记为 ,F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k dS由于是数量由于是数量0,dSn dSdS 面积面积记称为记称为微元向量.微元向量.0dSn 的方向与单位法向量一致,其大

8、小为面积的方向与单位法向量一致,其大小为面积dS微微元元的的值值.,SF dS 第二类曲面积分的向量形式为第二类曲面积分的向量形式为 0.SSF ndSF dS 即即注：注：00.F ndSFn dSS若 为有向闭曲面时,记为若 为有向闭曲面时,记为 0.SSF ndSF dS ,F x y z 若向量值函数在光滑曲面或分片光若向量值函数在光滑曲面或分片光，S滑的有向曲面 上连续则第二类曲面积分滑的有向曲面 上连续则第二类曲面积分 0SSF n dSF dS 存在.存在.4.第二类曲面积分的性质第二类曲面积分的性质 121,k k设为两个常数,则设为两个常数,则 11221122.SSSk F

9、k FdSkFdSkFdS 12122,SSSSSS将 分成与与的侧与 的侧保持一致,将 分成与与的侧与 的侧保持一致,12.SSSF dSF dSF dS 则则 3，SS 若用表示 的另一侧则若用表示 的另一侧则.SSF dSF dS 0，Sn 事实上因为曲面的侧的单位法向量为-事实上因为曲面的侧的单位法向量为-SF dS .SF dS 0SF n dS 0SFndS 5.第二类曲面积分的表达形式第二类曲面积分的表达形式0n 单位法向量可以表示为:单位法向量可以表示为:0cos,cos,cos,n ：向量值函数为向量值函数为 ,F x y zP x y z iQ x y z jR x y z

10、 k：第二类曲面积分可以表示为第二类曲面积分可以表示为 01SSF dSF n dS coscoscos;SPQRdS cos,dxdydS 0cos,cos,cosdSn dSdSdSdS 则则 ,.dydz dzdx dxdy 第二类曲面积分也可以表示为:第二类曲面积分也可以表示为:0SSF dSF n dS ,.SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy（2）事实上：）事实上：n iS iAdsidxdy cos,cos,dydzdSdzdxdS 0SSF dSF n dS ,.SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 这

11、就是第二类曲面积分的坐标形式,也称第二类这就是第二类曲面积分的坐标形式,也称第二类曲面积分为对坐标的曲面积分.曲面积分为对坐标的曲面积分.二、第二类曲面积分的计算二、第二类曲面积分的计算下面讨论第二类曲面积分的计算公式：下面讨论第二类曲面积分的计算公式：1.,Szz x y 设积分曲面 的方程为:其指向设积分曲面 的方程为:其指向,xySxoyD为上侧在面上的投影区域为函数为上侧在面上的投影区域为函数 ,xyzz x yD 在上具有一阶连续偏导数,在上具有一阶连续偏导数,即曲面是光滑的,向量值函数即曲面是光滑的,向量值函数 ,F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k

12、.S在 上连续在 上连续 :,S zz x y 设曲面上任一点的指向上侧的设曲面上任一点的指向上侧的：n 法向量 为法向量 为.xynz iz jk 0：n 其单位法向量为其单位法向量为 02222.11xyxyxyz iz jknnzzzz ，由第一类曲面积分的计算公式有由第一类曲面积分的计算公式有 0,SSF dSF x y znx y dS 220,1xyxyDFx y z x ynx yzzdxdy ,xyDF x y z x yn x y dxdy ,SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 即即 ,.xyDF x y z x yn x y dxdy

13、 ：1:,nS zz x y 注法向量 指向曲面的上侧,注法向量 指向曲面的上侧,;xynz iz jk 2,Szz x yxoy 曲面 若为则向平面投影,曲面 若为则向平面投影,;xyD得投影区域得投影区域 3z被积函数中的变量 要换成曲面被积函数中的变量 要换成曲面 ,.zz x y 方程方程 ,SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy ,.xyDF x y z x yn x ydxdy 计算公式计算公式 ,4SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy,dydzPdzdxQdxdyR其中前的为前的为前的为其中前的为前的为前的

14、为 ,F x y z 则的构造为:则的构造为:,F x y zP x y z iQ x y z jR x y z k ,F x y z x y ,.P x y z x yiQ x y z x yjR x y z x yk ,.xyDF x y z x yn x ydxdy :,S zz x y 同理,若曲面的侧指向下侧,则有同理,若曲面的侧指向下侧,则有 ,xySDF dSF x y z x yn x ydxdy 其中其中 ,SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy ,FP x y z iQ x y z jR x y z k ,.xyn x yz iz jk

15、2.S设曲面 的方程为:设曲面 的方程为:,.zxyy z xz xD ,：yy z x 曲面的法向量为曲面的法向量为 ,1,xznyy SF dS 0,901,Sn y 注若 的侧指向侧,即注若 的侧指向侧,即右右取取+号;号;02,90n yS 若 的侧指若 的侧指左左向侧,即取号.向侧,即取号.,SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy ,zxDF x y z xzn z xdzdx 3.S设曲面 的方程为:设曲面 的方程为:,.yzxx y zy xD ,：xx y z 曲面的法向量为曲面的法向量为 1,yznxx SF dS 0,901,Sn x 注

16、若 的侧指向侧,即注若 的侧指向侧,即前前取取+号;号;02,90n xS 若 的侧指若 的侧指后后向侧,即取号.向侧,即取号.,SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy ,yzDF x y zy zn y zdydz 第二类曲面积分的计算方法第二类曲面积分的计算方法:3.3.坐标法坐标法,通常被积表达式和区域具有轮换性时用通常被积表达式和区域具有轮换性时用.1.1.定义法定义法：第一类曲面积分第一类曲面积分0SSF dSF n dS 二重积分二重积分2.2.投影法投影法：xySDF dSF ndxdy 三、第二类曲面积分的计算三、第二类曲面积分的计算 ,SP

17、 x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 中三部分分开计算，即分别计算：中三部分分开计算，即分别计算：,SP x y z dydz，,SQ x y z dzdx ,.SR x y z dxdy 三、第二类曲面积分的计算举例三、第二类曲面积分的计算举例2,SIydydzxdzdxz dxdyS 计计算算其其中中 为为锥锥面面例例1解解22,xxzxy 22:,S zxy22,yyzxy 221,2zxyzz被平面所截部分的外侧被平面所截部分的外侧 ,1xynzz 法向量法向量2222,1xynxyxy 222,，Fyx zx yyx xy :,S zz x y 曲面

18、的侧指向下侧,曲面的侧指向下侧,SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 22222,1xyDxyyx zx ydxdyxyxy 222222,1xyDxyyx xydxdyxyxy 22xyDxydxdy 15.2 22201drrdr 22:14xyDxy (,)2(,)(,),(,),1SIf x y zx dydzf x y zy dzdxf x y zz dxdyf x y zSxyz 计算计算其中为连续函数其中为连续函数为平面在第四卦限部分的上侧为平面在第四卦限部分的上侧例例2：S解曲面 的方程为解曲面 的方程为1,zxy其侧指向上侧.其侧指向上侧

19、.：,1xynzz 法向量为法向量为 1,1,1,(,),2(,),(,)Ff x y zxf x y zyf x y zz (,)2(,)SIf x y zx dydzf x y zy dzdx (,)f x y zz dxdy ,xyDxyz x y dxdy ,xyDF x y z x yn x ydxdy 1xyDxyxy dxdy xyDdxdy 1.2 1,1,1,n 解解22:1;Sxyzxyz2223100SxyzdxdySxyzx,y 例计算,其中 是球面例计算,其中 是球面的外侧在的外侧在的部分.的部分.其侧指向前侧.其侧指向前侧.：1,yznxx 法向量为法向量为2222

20、1,11yzyzyz 0,0,Fxyz 220,0,1yzyz 原式原式2yzDyz dydz yzDF ndydz 22221,11yznyzyz 142202cos sindrdr 215 xyz另解另解12SSS把 分成和两部分把 分成和两部分221:1;Szxy 222:1,SzxyxyzS1S22n 1n 20,0,Fxyz 220,0,1xyxy 2222,1,11xyxyxy 2,1xynzz 2222,111xyxyxy 10,0,Fxyz 1,1xynzz 220,0,1xyxy21SSSxyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy2211xyxyDDFn dxdyFn dxd

21、y 222,20,1.SIy dzdxzdxdySxyyzz 例4计算其中 为柱面例4计算其中 为柱面被平面所截部分的外侧被平面所截部分的外侧1S解左侧 的方程为:解左侧 的方程为:211,yx1：S 指向左侧的法向量为 指向左侧的法向量为 12,1,01xnz xx 2210,11,Fxz 2S右右 侧侧的的 方方 程程 为为:211,yx2：S 指指向向右右侧侧的的法法向向量量为为 22,1,01xnz xx 2220,11,Fxz 12SSxoz与在平面上的投影为:与在平面上的投影为:11,01.zxxDz 222xyy1222SSIy dzdxzdxdyy dzdxzdxdy11zxD

22、Fn dzdx 22zxDFn dzdx 22221111zxDxxdzdx 241zxDx dzdx 1121041x dxdz 2.例例5.计算计算 ，其中，其中S为平面为平面x+y+z=1上位于第一卦限部分的上侧。上位于第一卦限部分的上侧。222Sx dydzy dzdxz dxdy n xyzx 1111解：解：S的方程为的方程为z=1-x-y，它在，它在xOy面上的投影：面上的投影：()01 01.xyDx yyxx ，朝上的法向为朝上的法向为(,1)(1,1,1)xynzz 222(,)Fxyz 222F nxyz 222(1)xyxy 则则222Sx dydzy dzdxz dx

23、dy 222(1)Dxyxydxdy 1122200(1)xdxxyxydy 1233011(1)(1)(1)33xxxxdx 1.4 n xyzx 111122112SSx dydzy dzdx 解解:(坐标法坐标法)先计算先计算2Sz dxdy S的方程为的方程为z=1-x-y，它在，它在xOy面上的投影：面上的投影：()01 01.xyDx yyxx ，由于取的是上侧，则由于取的是上侧，则22(1)SDxyz dxdyxydxdy 112001(1)12xdxxydy 由轮换性：由轮换性：则所求积分为则所求积分为1.4n xyzx 11112222,0SIdydzdzdxdxdySxyzxyzR 求求其其中中 是是平平面面在在球球面面例例6内部部分的上侧内部部分的上侧.解：由于积分曲面是中心在原点的圆，投影到任意解：由于积分曲面是中心在原点的圆，投影到任意平面都是椭圆，用投影法不方便，所以用定义法平面都是椭圆，用投影法不方便，所以用定义法0SSIF dSF n dS (,1)(1,1,1)xynzz (1,1,1)F 033F n 0111(,)333n 2033.3SSIF n dSdSR