微积分课件：D11_2续格林公式1

《微积分课件：D11_2续格林公式1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分课件：D11_2续格林公式1（44页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第二节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十一章 三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积四、全微分方程四、全微分方程平面曲线积分与二重积分之间的关系平面曲线积分与二重积分之间的关系一、一、格林格林(Green)公式公式1、单、复连通区域及正向边界单连通区域单连通区域：设D是一区域,若D内任何闭曲线可不越过D的边界而连续地缩为一点,或D内任一条闭曲线所包含复连通区域复连通区域：的 区域属于D,则称D为单连通区域（无洞区域）单连通区域挖去若干个洞后所得的区域（有洞区域）域域D边界的边界的 正向正向：L

2、D平面闭曲线L围成区域D,若观察者沿L行进时,D的内部靠左(总保持在左边),则称行进的方向为L的正向,反向为负向,记为-L或-LLD复连通区域外边界L1的正向就是逆时针方向单连通区域L的正向就是逆时针方向复连通区域内边界L2的正向就是顺时针方向分段光滑且自身不相交的闭曲线称为简单曲线定理定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,),(yxP),(yxQydxdyPxQydQxdPDL(格林公式格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,ydxdQPydQxdPDyxL或2、格林公式证明证明:1)若D 既是 X-型区域,又是 Y-型区域,且bxaxyxD)()(:21dycyxy

3、D)()(:21则DydxdxQdcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD即ydxdxQDLyyxQd),(同理可证DydxdyPLxyxPd),(、两式相加得:LDydQxdPydxdyPxQ(yxoL2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割1DnD2Dn1kDydxdyPxQkDydxdyPxQ(nkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域,如图)(的正向边界表示kkDD3)若D是复连通区域,则将D划分为单连通区域推论推论:

4、正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式ydxdyPxQydQxdPDL例如例如,椭圆20,sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab例例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明0dd22yxxyxL证证:令,22xQyxP则yPxQ利用格林公式,得yxxyxLdd22022xxDyxdd00说明：若说明：若L不是闭曲线不是闭曲线,可适当添加辅助线使可适当添加辅助线使L补补为闭曲线，所加曲线为平行于坐标轴的为闭曲线，所加曲线为平行于坐标轴的 直线直线例例2.计算,ydxdeDy2其中D 是以 O(0,0),A(

5、1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解解:令,则2,0yexQPyPxQ利用格林公式,有Dyydxde2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx)1,1(A)1,0(BD2yeyA xoL例例3.计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段,AOD它与L 所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dydxd4）（OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周区域为D,则3648 例例4.计算L222dy)ysinyx(dx)yx(其中L是抛物线2xy 上从点A(-

6、1,1)到点B(1,1)的一段练习：求L2223dy)yx3xsiny21(dx)xcosyxy2(其中L是抛物线2yx2上点O(0,0)到点(/2,1)的一段例5 设L是平面区域D的正向边界曲线,cossin,DnLnij有面积，是 单位外法矢，-sin,cos,(cossin)LIxyds证明：并求nDOkjixyz证明：如图证明：如图,nk 成右手系 故=001cossin0ijkkn sin,cos,0,0,Fy记x则(cossin)LIxyds LF nds()LFk ds()LFk ds()LkFdskF而0010ijkxy,0y x(),0LLIkFdsy xds Lydxxdy

7、 22Ddxdy,LLIP QndsQdxPdy 例例6.计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解:令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D,)0,0(时当D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoLdsincos2022222rrr2,)0,0(时当D在D 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1D,对区域1D应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01DyxlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx记 L 和 l 所围的区域为林公式,

8、得练习：求练习：求,dd22Lyxxyyx其中其中L为椭圆形区域为椭圆形区域:的正向边界12:22 yxD二、二、平面上曲线积分平面上曲线积分与路径无关的等价条件与路径无关的等价条件1、第二型曲线积分在、第二型曲线积分在D内与路径无关内与路径无关设D是XOY平面上的区域,P,Q是D内的连续函数,若对D内任两条共起点与终点的分段光滑曲线21L,L都有21LLQdydxPQdydxP则称LQdydxP在D内与路径无关定理定理.设D 是单连通域,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有.0ddLyQxP(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)

9、yQxPdd),(yxuyQxPyxudd),(d(4)在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 2、等价条件、等价条件说明说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为 证明证明(1)(2)设21,LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPdd证明证明(2)(3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yx

10、yxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B(x,y),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 证明证明(3)(4)设存在函数 u(x,y)使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP,Q 在 D 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,证明证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD(如图),上因此在DxQ

11、yP利用格林公式格林公式,得LDyxxQxQyQxPdd)(ddDDL0所围区域为证毕yx说明说明:根据定理,若在某区域内,xQyP则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;4)若函数P或Q在L内部某点不连续或 D为

12、复连通区域,则上述结果不适用,但有下列结论定理 设除点0M外,P,Q处处有 连续的 一阶偏导数,且对任何包围点0M的正向简单闭曲线L,积分LQdyPdx取同一值(与环路径无关).ABLC0M0,L C证明：设是包含M 的两条简单闭曲线,不妨设C在L的内部作一辅助线段AB,从点A出发沿L的正向绕行一周到B，沿C之负向绕行一周到B，再经BA回到A0LABBAC LCLa222)yx(y)ydxxdy(x例例7.在上半平面(不含X轴)内与路径无关,求a与)2,0()1,1(a222)yx(y)ydxxdy(xI,)(222yxyxyP解：令)(2222yxyxQ,)()12(122223yxyxya

13、xPy1222233)()(2yxyxyxaxQx由题意有由题意有,xyQP 122223)()12(yxyxyax1222233)()(2yxyxyxax即即23)12(xyax)(2233xyxax)0(0)(12(23yxyxa由此推出：由此推出：21a取取L为从点为从点(1,1)经点经点(0,2)的折线的折线)2,0()1,1(222)()dd(Iayxyyxxyx210)1(d01212xxx三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积yyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00yQxPuddd的原函数是ydQxdP)y,x(u称为全微分ydQxdP全微分

14、求积公式定理 设D是平面单连通区域,P,Q在D内有连续的一阶偏导数,且在D内有,xQyP若有函数，则使QdyPdx)y,x(dv),y,x(v)y,x()y,x(1100QdyPdx)y,x(v)y,x(v0011)y,x()y,x(1100|)y,x(v说明：在单连通区域D内有,xQyP才可用此公式QdyPdx并不是总有类似原函数,有也不一定易求例例8.验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理 可知,存在函数 u(x,y)使yyxxyxuddd22),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0,0(。),(yx)

15、0,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx例例9.验证22ddyxxyyx在右半平面(x 0)内存在原函数,并求出它.证证:令2222,yxxQyxyP则22222(0)()PyxQxyxyx由定理定理 可知存在原函数),()0,1(22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0,(x)0,1(),(yxoxy)0,(x)0,1(),(yx),()0,1(22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或),1(y)0(arctanxxy例例

16、10.设质点在力场作用下沿曲线 L:xycos2由)2,0(A移动到,)0,2(B求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.)(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考:积分路径是否可以取?OBAO取圆弧LBAyox为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!yd)yx(xd)yx(I2L2求的一段到点上从点)1,0()0,1(1yx:L221

17、）曲线积分法）曲线积分法 2）不定积分法）不定积分法 3）凑微分法）凑微分法原函数的求法：yd)ycosxe(xd)exy12(I yLy求的曲线轴到点再沿到从点是)0,2(x),0,0()1,1(xyL2四、全微分方程四、全微分方程一阶微分方程一阶微分方程(*)0y)dyQ(x,y)dxP(x,若若（*）右端为全微分）右端为全微分,即存在即存在),y,x(uQdyPdxdu则称则称(*)为全微分方程，其通解为为全微分方程，其通解为c)y,x(u若若P,Q在平面单连通区域在平面单连通区域D内有连续的一阶偏导内有连续的一阶偏导数数,则则(*)是全微分方程是全微分方程xQyP此时通解为此时通解为x

18、x00 xd)y,x(P)y,x(uCyd)y,x(Qyy0 xx0 xd)y,x(P)y,x(uCyd)y,x(Qyy00或例例 求以下方程的解求以下方程的解0dy)y2xe(dxeyy若若(*)本身不是全微分方程本身不是全微分方程,但能找到非零因子但能找到非零因子)y,x(,使得(*)0y)dyQ(x,y)dxP(x,)y,x(称为积分因子称为积分因子例例 求以下方程的解求以下方程的解0dy)xxyxy2(dx)xyy1232）（0ydyx2dx)xy2ex222x4）（内容小结内容小结1.格林公式LyQxPdd2.等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyP

19、xQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有思考与练习思考与练习1.设,4:,1:222412yxlyxL且都取正向,问下列计算是否正确?Lyxxyyx22d4d)1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41d241D2提示提示:时022 yxyPxQ)1(yPxQ)2(2.设,56,4),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422)

20、,(yxuyox),(yx)0,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0,0(yxCCCCDyxoaaC设 C 为沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点),0(a依逆时针),0(a的半圆,计算解解:添加辅助线如图,利用格林公式.原式=321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到点D2.质点M 沿着以AB为直径的半圆,从 A(1,2)运动到Dydxd2点B(3,4),到原点的距离,解解:由图知 故所求功为AByxxyddABBAABxxxd)1(3122锐角,其方向垂直于OM,且与y 轴正向夹角为AB)dd(yxxy)1(21334xyAB的方程F求变力 F 对质点M 所作的功.(90考研考研)F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,sFWd),(yxMBAyxo,xyF