概率论与数理统计：1-4 等可能概型

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1、一、古典概型定义一、古典概型定义 二、古典概型计算公式二、古典概型计算公式 第四节第四节 等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)三、典型例题三、典型例题 四、四、小结小结 一、古典概型的定义一、古典概型的定义 定义定义 ,是是随随机机试试验验设设E:满满足足下下列列条条件件若若E1。试验的样本空间只包含有限个元素试验的样本空间只包含有限个元素;2。试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同.为为等等可可能能概概型型则则称称E等可能概型的试验大量存在等可能概型的试验大量存在,它在概率论发它在概率论发 展初期是主要研究对象展初期是主要研究对象.等可能概型的一些概念等可能

2、概型的一些概念 具有直观具有直观、容易理解的特点容易理解的特点,应用非常广泛应用非常广泛.二、古典概型的计算公式二、古典概型的计算公式 定理定理 ,个个元元素素包包含含设设试试验验的的样样本本空空间间nS,个个基基本本事事件件包包含含事事件件kA则有则有 )(AP该式称为该式称为等可能概型中事件概率的计算公式等可能概型中事件概率的计算公式.,中中基基本本事事件件的的总总数数包包含含的的基基本本事事件件SA nk 又由于基本事件是两两互不相容的又由于基本事件是两两互不相容的,于是于是 )(SP1)(21neeeP )()()(21nePePeP ),(ienP 于是于是 )(ieP.,2,1ni

3、,1n 证证 ,21neeeS 设设试试验验的的样样本本空空间间为为由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同,即即 )(1eP.)(neP)(2eP ,2,1,21个不同的数个不同的数中某中某是是这里这里kniiik则有则有 kjijeP1)()(AP nk 中中基基本本事事件件的的总总数数包包含含的的基基本本事事件件数数SA定理得证定理得证.,个个基基本本事事件件包包含含若若事事件件kA即即 A,21kiiieee 三、典型例题三、典型例题 例例1 将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次.”“)1(1恰恰有有一一次次出出现现正正面面为为设设事事件件A;)

4、(1AP求求,“)2(2至至少少有有一一次次出出现现正正面面”为为设设事事件件 A.)(2AP求求解解 (1)我们考虑如下的样本空间我们考虑如下的样本空间:,THTHTTTHHHTHHHTHHHS ,TTTTTH而而 1A.,TTHTHTHTT,中中包包含含有有限限个个元元素素S由对称性知每个基本由对称性知每个基本 事件发生的可能性相同事件发生的可能性相同.故由计算公式得故由计算公式得 )(1AP(2)由于由于 2A于是于是 )(12AP)(2AP 811 .87.83,TTT 注意注意 当样本空间中的元素较多时当样本空间中的元素较多时,一般不再将元素一般不再将元素 一一列出一一列出,中中元元

5、素素的的个个数数，再再和和只只需需分分别别求求出出AS用计算公式即可求得相应的概率用计算公式即可求得相应的概率.例例2 一只口袋装有一只口袋装有6只球只球,其中其中4只白球只白球、2只红球只红球.从袋中取球两次从袋中取球两次,(a)第一次取一只球第一次取一只球,袋中袋中,样样.(b)第一次取一球不放回袋中第一次取一球不放回袋中,余的球中再取一球余的球中再取一球,(1)取到的两只球都是白球的概率取到的两只球都是白球的概率;(2)取到的两只球颜色相同的概率取到的两只球颜色相同的概率;球方式球方式:试分别就上面两种情况求试分别就上面两种情况求 考虑两种取考虑两种取观察其颜色后放回观察其颜色后放回第二

6、次从剩第二次从剩 这种取球方式叫做不放回抽样这种取球方式叫做不放回抽样.每次随机地取一只每次随机地取一只,这种取球方式叫做放回抽这种取球方式叫做放回抽搅匀后再取一球搅匀后再取一球.(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率取到的两只球中至少有一只是白球的概率.(a)放回抽样的情况放回抽样的情况.解解 分分别别表表示示事事以以CBA,件件“取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球”,“取到的两只球都取到的两只球都 是红球是红球”,“取到的两只球中至少有一只是白球取到的两只球中至少有一只是白球”.,”“BA这这一一事事件件为为球球取取到到两两只只颜颜色色相相同同的的易易知知.BC 而而在袋中依次取

7、两只球，在袋中依次取两只球，每一种取法为一个基本每一种取法为一个基本 事件事件,显然此时样本空间中仅包含有限个元素显然此时样本空间中仅包含有限个元素,且且 由对称性知每个基本事件发生的可能性相同由对称性知每个基本事件发生的可能性相同,因而因而 可利用公式来计算事件的概率可利用公式来计算事件的概率.第一次从袋中取球有第一次从袋中取球有6只球可供抽取只球可供抽取,第二次第二次 也有也有6只球可供抽取只球可供抽取.由组合法的乘法原理由组合法的乘法原理,一共有一共有 .66种取法种取法.66 为为即即样样本本空空间间中中元元素素总总数数对于对于 ,而言而言事件事件A由于第一次共有由于第一次共有4只白球

8、可供抽取只白球可供抽取,第第 二次也有二次也有4只白球可供抽取只白球可供抽取,则由乘法原理总共有则由乘法原理总共有 ,44种取法种取法.44个元素个元素中包含中包含即即 A同理同理,中包中包B.22个元素个元素含含 于是于是 )(AP 6644 .94)(BP 6622 .91,AB由于由于得得 )(BAP)()(BPAP .95)(CP(b)不放回抽样不放回抽样.请同学们自己完成请同学们自己完成.)(BP)(1BP .98例例3 3 ,)(个盒子里去个盒子里去只球随机地放入只球随机地放入将将nNNn 求每个盒子至多有一只球的概率求每个盒子至多有一只球的概率(盒子容量不限盒子容量不限).解解

9、,个个盒盒子子中中去去只只球球放放入入将将Nn因每一只球都可因每一只球都可 ,个个盒盒子子中中的的任任一一盒盒子子以以放放入入 N故共有故共有 ,种种不不同同的的放放法法nNNNN 而每个盒子而每个盒子 种种中中至至多多放放一一只只球球共共有有)1()1(nNNN不同放法不同放法.因而所求的概率为因而所求的概率为 p nNnNNN)1()1(nnNNA说明说明：许多问题和本例有相同数学模型：许多问题和本例有相同数学模型.生日问题生日问题试试例例4 ,件件产产品品设设有有 N,件件次次品品其其中中有有 D今从中任今从中任 ,件件取取n件件次次品品的的概概率率是是多多问问其其中中恰恰有有)(Dkk

10、 少少?解解 ,件件件件产产品品中中抽抽取取在在nN所有可能的取法共有所有可能的取法共有 ,种种 nN,件件件件次次品品中中取取在在kD种种，所所有有可可能能取取法法有有 kD件件所所有有可可能能的的取取法法有有件件正正品品中中取取在在knDN ,种种 knDN件件次次品品的的取取法法共共有有其其中中恰恰有有k所求概率为所求概率为 p kD.nNknDN超几何分布超几何分布的概率公式的概率公式由由乘乘法法原原理理知知,件件件产品中取件产品中取在在nN,种种 knDNkD例例5 ,只只白白球球袋袋中中有有a,只只红红球球b个个人人依依次次在在袋袋k中取一只球中取一只球,(1)作放回抽样作放回抽样

11、;(2)作不放回抽样作不放回抽样,的的概概率率记记为为事事件件人人取取到到白白球球求求第第)(),2,1(Bkii.)(bak 解解 (1)放回抽样的情况放回抽样的情况,显然有显然有 )(BP(2)不放回抽样的情况不放回抽样的情况.各人取一只球各人取一只球,个基本事件：个基本事件：共有共有kba A.baa ，)1()1)(kbababaAkba,发生时发生时当事件当事件B人人取取的的应应是是白白球球，第第i.种取法种取法有有a只只球球中中只只球球可可以以是是其其余余其其余余被被取取的的11 bak,1只只中中的的任任意意 k种取法：种取法：共有共有11A kba,11个个基基本本事事件件中中

12、包包含含于于是是 kbaAaB由计算公式得由计算公式得)(BP kbakbaAAa 11.baa.1)1(1)2)(1(11 kbababaAkba无关，无关，与与iBP)(,个个人人取取球球即即k尽管取球的尽管取球的先后次序不同先后次序不同,各人取到白球的概率是一样的各人取到白球的概率是一样的.结果分析：结果分析：(例如在例如在购买福利彩票时购买福利彩票时,各人得奖的机会相同各人得奖的机会相同).与上问结果与上问结果相同相同例例6 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问取到问取到的整数既不能被的整数既不能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率是多整除的概率是多 少

13、少?解解 ,”6“整整除除取取到到的的数数能能被被为为事事件件设设A为为事事B件件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”,则所求概率为则所求概率为 )(BAP)(BAP)(1BAP ).()()(1ABPBPAP 由于由于 ,33462000333 )(AP.2000333故得故得 由于由于 ，25082000 故得故得 )(BP.2000250又由于一个数同时能被又由于一个数同时能被6与与8整除整除,就相当于能被就相当于能被24 整除整除,因此因此,由由 ,8424200083 得得 )(ABP，200083于是所求概率为于是所求概率为 p 200083200025020003331.43例

14、例7 将将15名新生随机地平均分配到三个班级中去名新生随机地平均分配到三个班级中去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1)每个班级各每个班级各 分配到一名优秀生的概率是多少分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生名优秀生 分配在同一班级的概率是多少分配在同一班级的概率是多少?解解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数 为为 515 510 55.!5!5!5!15每一种分配法为一基本事件每一种分配法为一基本事件,且由对称性易知每个且由对称性易知每个 基本事件发生的可能性相同基本事件发生的可能性相同.(1)将将3名优秀生分配

15、到三个班级使每个班级名优秀生分配到三个班级使每个班级 都有一名优秀生的分法共都有一名优秀生的分法共3!种种.对于这每一种分法对于这每一种分法,其余其余12名新生平均分配到三个班级中的分法共有名新生平均分配到三个班级中的分法共有 .!4!4!4!12种种因此因此,每一班级各分配到一名优秀生的每一班级各分配到一名优秀生的 .!4!4!4!12!3种种分分法法共共有有 于是所求概率为于是所求概率为 1p!5!5!5!15!4!4!412!3！.9125.!5!5!2!12种种因此因此3名优秀生分配在同一班级的分法有名优秀生分配在同一班级的分法有 ,!55!2!123种种！(2)将将3名优秀生分配在同

16、一班级的分法共有名优秀生分配在同一班级的分法共有3 种种.对于这每一种分法对于这每一种分法,其余其余12名新生的分法共有名新生的分法共有 所求概率为所求概率为 2p!5!55!15!5!5!2!123！.916例例8 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过12次来访次来访,所有这所有这12次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是否问是否可以推断接待时间是有规定的可以推断接待时间是有规定的?解解 假设接待站的接待时间是没有规定假设接待站的接待时间是没有规定,而各来访而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的者在一周的任一天中去接待站是等可能的.12次接待来访者都

17、在周二次接待来访者都在周二、周四的概率为周四的概率为 121272.0000003.0已知已知小的事件在一次试验中竟然发生了小的事件在一次试验中竟然发生了,因此有理由怀因此有理由怀 疑假设的正确性疑假设的正确性,从而推断接待站不是每天都接待从而推断接待站不是每天都接待 来访者来访者,即认为其接待时间是有规定的即认为其接待时间是有规定的.人们在长期实践中总结得到人们在长期实践中总结得到“概率很小的事在概率很小的事在 一次试验中实际上几乎是不发生的一次试验中实际上几乎是不发生的”,现在概率很现在概率很 四、小结四、小结 定义定义 ,是是随随机机试试验验设设E:满满足足下下列列条条件件若若E1。试验的样本空间只包含有限个元素试验的样本空间只包含有限个元素;2。试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同.为为等等可可能能概概型型则则称称E)(AP.中中基基本本事事件件的的总总数数包包含含的的基基本本事事件件SA nk 计算公式计算公式