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1、单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为相垂直，且大小都为1，那么这个基底叫，那么这个基底叫做单位正交基底，常用做单位正交基底，常用 来表示来表示.,i j k i k j 下面我们类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系 在空间选定一点在空间选定一点O和一个单位正交基底和一个单位正交基底 以点以点O为原点，分别以为原点，分别以 的正方向建立三条数的正方向建立三条数轴：轴：x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，这样就建立了一个空间直轴，这样就建立了一个空间直角坐标系角坐标系O xyz.x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，都叫做叫轴，都叫
2、做叫做坐标轴做坐标轴,点点O 叫做原点，向量叫做原点，向量 都叫做坐都叫做坐标向量标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.,i j k ,ij k ,ij k 123(,)A a a aa xyzOkij 对空间任一向量对空间任一向量 ,由空由空间向量基本定理，存在唯一的间向量基本定理，存在唯一的有序实数组有序实数组 ,使使a 123(,)a a a123.a a i a j a k 空间直角坐标系空间直角坐标系坐标化规律坐标化规律思考思考2 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一点中，对空间任一点A,对应一个向量对应一个向量 ,于
3、是存在唯一的有序实数组于是存在唯一的有序实数组 x,y,z,使使 (如图如图).OA OAxiy jzk 显然显然,向量向量 的坐标，就是点的坐标，就是点A在此空在此空间直角坐标系中的坐标间直角坐标系中的坐标(x,y,z).OA xyzOA(x,y,z)ijk 也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.我们说我们说,点点A的坐标为的坐标为(x,y,z),记作记作A(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点A的横坐标的横坐标,y叫做点叫做点A的纵坐标的纵坐标,z叫做点叫做点A的竖坐的竖坐标标.空间向量运算的坐标规律空间向量运算的坐标规律:,那么那
4、么设设123123(,),(,)aa a abb b b ababa a b /ab ab 112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab 123(,)()aaaR 1 12233a ba ba b 112233,()ab ab abR 1 12 23 30.(,)aba ba ba b 都都不不是是零零向向量量练习练习1:1:知知 求求),4,1,3(),5,3,2(babaababa,8,(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)ab (2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)ab 88(2,3,5)(16,24,40)a(2,3,5)(3,1,4)29a b 解解:
5、结论：若结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),那那么么AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1 ,y2-y1,z2-z1)注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.如果知道有向线段的起点和终点的坐标,那么有向线段表示的向量坐标怎样求?继续继续F1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，那么立空间直角坐标系，那么Oxyz13(1,1,0),
6、1,1,4BE 11(0,0,0),0,1.4DF，1311,1(1,1,0)0,1,44BE 例例5如图如图,在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17|171744BE DFBE DFBEDF 小结：小结：1、空间向量的坐标运算；、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键
7、：何关系的关键：首先要选定单位正交基底，进而首先要选定单位正交基底，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。标运算确定几何关系。O xyz以以 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyzi k j xyz(,)P x y z 若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),那么那么 AB=OB-OA=(x2-x1 ,y2-y1,z2-z1)1答案答案2答案答案A1D1C1B1ACBDFE证明证明:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,.DAi DCj DDk 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,1),
8、2ADD F 则则11(1,0,0)(0,1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1,),2AE 又又111(0,1,)(0,1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另证证 可可以以用用三三垂垂线线定定理理证证D D得得证证a b c 1.基本知识：基本知识：（1向量的长度公式与两点间的距离公式；向量的长度公式与两点间的距离公式；（2两个向量的夹角公式。两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。证明。
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