计算机控制系统：第3章 计算机控制系统的数学描述1

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1、哈尔滨工业大学（威海）哈尔滨工业大学（威海）控制科学与工程系控制科学与工程系Computer Control System 3.1 差分方程差分方程 3.2 z变换变换 3.3 脉冲传递函数脉冲传递函数 3.4 开环和闭环脉冲传递函数的求法开环和闭环脉冲传递函数的求法 3.5 计算机控制系统的响应计算机控制系统的响应 3.1 差分方程差分方程 3.2 z变换变换 3.3 脉冲传递函数脉冲传递函数 3.4 开环和闭环脉冲传递函数的求法开环和闭环脉冲传递函数的求法 3.5 计算机控制系统的响应计算机控制系统的响应 一、差分一、差分一、差分一、差分一阶前向差分一阶前向差分:二阶前向差分二阶前向差分:

2、n阶前向差分阶前向差分:()(1)()f kf kf k2()(1)()f kf kf k 11()(1)()nnnf kf kf k(2)2(1)()f kf kf k一、差分一、差分一阶后向差分一阶后向差分:二阶后向差分二阶后向差分:n阶后向差分阶后向差分:11()()(1)nnnf kf kf k()()(1)f kf kf k)1()()(2kfkfkf)2()1(2)(kfkfkf二、差分方程二、差分方程差分方程是确定时间序列的方程差分方程是确定时间序列的方程 连续系统连续系统22()/()/()()d c tdtadc tdtbc tkr t微分用差分代替微分用差分代替 222()

3、/()(2)2(1)()d c tdtc tc kc kc k()/(1)()dc tdtc kc k(2)2(1)()(1)()()()c kc kc ka c kc kbc kkr k12(2)(1)()()c ka c ka c kkr k()c k代替代替()c t代替代替()r k()r t二、差分方程二、差分方程12(2)(1)()()c ka c ka c kkr k一般离散系统的差分方程：一般离散系统的差分方程：12()(1)(2)()nc kna c kna c kna c k1()(1)()omb r kmbr kmb r k差分方程还可用差分方程还可用后后向差分表示为：向

4、差分表示为：12()(1)(2)()nc ka c ka c ka c kn01()(1)()mb r kbr kb r kmmnmn例例 已知差分方程如下，求已知差分方程如下，求c(k)()0.5(1)()c kc kr k(0)0c()1r k()()0.5(1)c kr kc k解：采用递推迭代法，有解：采用递推迭代法，有1,(1)(1)0.5(1 1)10.5(0)1kcrcc 2,(2)(2)0.5(2 1)10.5(1)10.51.5kcrcc 3,(3)(3)0.5(3 1)10.5(2)10.5 1.51.75kcrcc 例例 已知差分方程如下，求已知差分方程如下，求u(k)解

5、：采用递推迭代法，有解：采用递推迭代法，有0)2(12)1(8)(kukuku1)1(u3)2(u)2(12)1(8)(kukuku3k练习练习12)3(u4k60)4(u例例 已知差分方程如下，求已知差分方程如下，求c(k)()0.5(1)()c kc kr k(0)0c()1r k 采用采用MATLAB程序求解程序求解n=10;%定义计算的点数定义计算的点数c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0;%定义初值定义初值for i=2:n c(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,k:o)%绘输出响应图绘输出响应图MATLAB程序程序

6、三、差分方程的解三、差分方程的解差分方程的解也分为通解与特解通解是与方程初始状态有关的解通解是与方程初始状态有关的解特解与外部输入有关，它描述系统在外部特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动输入作用下的强迫运动)()1()()()1()(101kubmkubmkubkyankyankymn。由系统的初始条件确定通解中的系数重根的解的形式为重根，则有）若解（；则方程通解为：个单根）若解为（求解特征根ikmmkkkknnkkncrkcrkckrcrckymmrrcrcrckyrrrn;)(2)(,11-23212211210)()1()(1kyankyankyn它的齐次方程为02

7、211 nnnnararar它的特征方程为它的特征方程为)()1()()()1()(101kubkubkubnkyakyakymn0)()1()(1nkyakyakyn它的齐次方程为02211 nnnnararar它的特征方程为它的特征方程为对于后向差分对于后向差分，求求解解。，初初始始条条件件已已知知例例1)1(0)0(,0)(2)1(3)2(yykykyky。则则解解为为，代代入入初初始始条条件件可可得得kkkycc)2()1()(1,121 0232 rr解：特征方程。则通解为，有两实根kkccky)2()1()(21210)(12)1(8)2(kukuku练习kkccku26)(21。

8、则通解为，有一对共轭复根，解：特征方程求通解。例kkjcjckyjrrkykyky)21()21()(21052,0)(5)1(2)2(212。则通解为则通解为，有二重根，有二重根解：特征方程解：特征方程求通解。求通解。例例kkkcckyrrkykyky)2()2()(2044,0)(4)1(4)2(212 0)(9)1(6)2(kukku练习kkkccku33)(21 3.1 差分方程差分方程 3.2 z变换变换 3.3 脉冲传递函数脉冲传递函数 3.4 开环和闭环脉冲传递函数的求法开环和闭环脉冲传递函数的求法 3.5 计算机控制系统的响应计算机控制系统的响应 一、一、z变换定义变换定义 0

9、)()()(*kkTtkTftf 采采样样过过程程：0)()(*LaplacekkTsekTfsF变换：0)()(kkzkTfzF则sTez 引引入入新新变变量量：为为f*(t)的的z变换变换一、一、z变换定义变换定义 F(z)为f*(t)的z变换 习惯上说F(z)为f(t)的z变换，指f(t)的采样脉冲序列的z变换，可以理解为z变换本身包含离散时间的概念注：注：1.单边z变换 当t0时，f(t)=0，或当t0时，f(kT)=f(k)=0 2.F(z)与f(kT)或者 f*(t)一一对应，与f(t)并不一一对应0)()(kkzkTfzF一、一、z变换定义变换定义z变换中，变换中，z-1代表信号

10、滞后一个采样周期，可称代表信号滞后一个采样周期，可称为单位延迟因子为单位延迟因子0)()(kkzkTfzF0)()(kkzkfzF二、二、z变换性质变换性质1.线性性质线性性质)()()()(,zbGzaFkTbgkTafZba为常数二、二、z变换性质变换性质2.实位移定理实位移定理(时移定理时移定理)(1)右位移（延迟）定理右位移（延迟）定理 (2)左位移（超前）定理左位移（超前）定理)()(zFznTtfZn)()()(10nkknzkTfzFznTtfZ)()()(10nkknzkfzFznkfZ)()(zFznkfZn二、二、z变换性质变换性质3.复域位移定理复域位移定理)()(aTa

11、tzeFtfeZ二、二、z变换性质变换性质4.初值定理初值定理)(lim)0(),(limzFfzFzz则有如果存在极限二、二、z变换性质变换性质5.终值定理终值定理设函数设函数F F(z z)全部极点均在全部极点均在z z平面的单位圆内，平面的单位圆内，或最多有一个极点在或最多有一个极点在z=1z=1处，则处，则 111lim()lim(1)()lim(1)()kzzf kTzF zzF z三、三、z变换的求法变换的求法1.级数求和法级数求和法例例1：求单位脉冲函数：求单位脉冲函数 的的z变换变换)(t解：解：0)()(kkzkTfzF0)0(zf1例例2：求单位阶跃函数的：求单位阶跃函数的

12、z变换变换0001)(tttf解：解：0)()(kkzkTfzF.121zz111z1zz1|1z例例3：求单位斜坡函数的：求单位斜坡函数的z变换变换000)(ttttf解：解：0)()(kkzkTfzF0kkkTz.)32(321zzzT211)1(zzT2)1(zTz例例4：求：求 的的z变换变换解：解：0)()(kkTzkTzF01kkz.1321zzz0)()(kTkTtt111z1zz1|1z例例5：求：求 的的z变换变换解：解：0)()(kkzkTfzF0kkakTze.1221zezeaTaT111zeaTaTezzatetf)(1|1zeaT三、三、z变换的求法变换的求法2.部

13、分分式展开法部分分式展开法已知已知 f(t)的的Laplace变换变换 F(s)，求，求 F(z)？F(z)F(s)lnzT1s,ezsT得到代入由f(t)F(s)f*(t)F*(s)F(z)三、三、z变换的求法变换的求法2.部分分式展开法部分分式展开法F(s)f(t)F(z)niiissAsF1)()1(nitsiieAtf1)()2(niTsiiezzAzF1)()3(例例6：求：求 的的z变换变换解：解：111)(sssF)1(1ssTezzzzzF1)(niiissAsF1)()1(niTsiiezzAzF1)()3(例例7：求：求 的的z变换变换解：解：asssF11)()(assa

14、aTezzzzzF1)(niiissAsF1)()1(niTsiiezzAzF1)()3(例例8：求：求 的的z变换变换解：解：)()1()(kfkfZkfZ)(,)(),(2kfZkfZkfZm)()0()(zFzfzzF)0()()1(zfzFz)()()(10nkknzkfzFznkfZ例例8：求：求 的的z变换变换解：解：)0()1()0()1()()1()(22ffzfzzzFzkfZ)(,)(),(2kfZkfZkfZm101)0()1()()1()(mjjjmmmfzzzFzkfZ)()1(2)2()(2kfkfkfkf)()()(10nkknzkfzFznkfZ例例9：求：求 的的z变换变换解：解：)1()()(kfkfZkfZ)(,)(),(2kfZkfZkfZm)()(1zFzzF)()1(1zFz)()(zFznkfZn例例9：求：求 的的z变换变换解：解：)()1()(212zFzkfZ)()1()(1zFzkfZmm)(,)(),(2kfZkfZkfZm)()(zFznkfZn)2()1(2)()(2kfkfkfkf