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1、 1 第七章 三角形【知识要点】一认识三角形 1关于三角形的概念及其按角的分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2三角形的分类：三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。2关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。3与三角形有关的线段：三角形的角平分线、中线和高 三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中
2、点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。注意：三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。（三角形的三条高（或三条高所在的直线）
3、交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。）4三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180 引申：直角三角形的两个锐角互余；一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角中至少有两个内角是锐角。（2）三角形的外角和：360（3）三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；常用来求角度 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。常用来比较角的大小 5.多边形的内角与外角 多边形的内角和与外角和（识记）正 n 边形 3 4 5 6 8 10 12 15 内角和 180 360 540 720
4、1080 1440 1800 2340 外角和 360 360 360 360 360 360 360 360 每一个内角60 90 108 120 135 144 150 158 2 EAHn360180180)2(或nn 每一个外角n360180)2(180或nn 120 90 72 60 45 36 30 22 （1）多边形的内角和：（n-2）180（2）多边形的外角和：360 引申：（1）从 n 边形的一个顶点出发能作（n-3）条对角线；（2）多边形有2)3(nn条对角线。（3）从 n 边形的一个顶点出发能将 n 边形分成（n-2）个三角形；6镶嵌（1）同一种正三边形、正四边形、正六边
5、形可以进行平面镶嵌；（2）正三角形与正四边形、正三角形与正六边形可以进行平面镶嵌；（1）同一种任意三角形、任意四边形可以进行镶嵌。【典型例题】三角形的分类 例题 1：具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（B ）。A：A+B=C B：A=B=C C：A=90-B D：A-B=90 例题 2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则顶角的度数为(D )A60 B120 C60或 150 D60或 120 如图，1+2+3+4 等于多少度；（280）练习：1、如图，下列说法错误的是(A)A、B ACD B、B+ACB=180A C、B+ACB B 2、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的
6、内角，则这个三角形是(C ).A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定 三角形的内角和、外角和相关的计算与证明 例题 1：若三角形的三个外角的比为 3：4：5，则这个三角形为（B ）A锐角三角形 B直角三角形 C等边三角形 D钝角三角形 例题 2：已知等腰三角形的一个外角为 150，则它的底角为_.练习：1、如图，若AEC=100，B=45，C=38，则DFE 等于(A)A.125 B.115 C.110 D.105 图4432140?3 2、如图，1=_.3、如图，则1=_,2=_,3=_,4、已知等腰三角形的一个外角是 120，则它是(C)A.等腰直角三角形 B.一般的
7、等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 5、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为 180，那么与这个外角相邻的内角的度数为(C )A.30 B.60 C.90 D.120 6、已知三角形的三个外角的度数比为 234，则它的最大内角的度数(D ).A.90 B.110 C.100 D.120 例 7.如图（1）所示，中，的平分线交于点，求证：.（1）（2）（3）变式 1：如图（2）所示，中，内角和外角的平分线交于点，求证：.变式 2：如图（3）所示，中，外角的平分线交于点，求证：.分析：本题已知的内角平分线和外角平分线，从而想到可利用三角形角平分线的性质，三角形的内角和定理以
8、及外角与内角的关系证题。解答：如图（1），在中，又的平分线交于点，_ 3 题图 _ 150 _ 50 _ 3 _ 2 _ 1 _ 2 题图 _ 140 _ 80 _ 1 _ 1 题图 _ F_ E _ A _ C _ B _ D 4 变式 1：是的一个外角，平分，平分，且是的外角，即 变式 2：在中，在中，平分，且三点共线，同理可证 例 5.已知：如图，在中，分别是边上的高，相交于，求的度数。分析：由已知可求，在中，故先求和。解答：5 设，则，解得 为边上的高，在中，同理 在中，例题 1：若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（A）A 三角形 B六边形 C五边形 D四边形 例题 2：
9、下列说法错误的是（A ）A边数越多，多边形的外角和越大 B多边形每增加一条边，内角和就增加 180 C正多边形的每一个外角随着边数的增加而减小 D六边形的每一个内角都是 120 例题 3：一个多边形内角和与其中一个外角的总和为 1360这个多边形的边数为 9 .例题 4：一个多边形的每一个外角都是 24，则此多边形的内角和（B）A2160 B2340 C2700 D2880 练习：1一个多边形内角和是 10800，则这个多边形的边数为 （B）A、6 B、7 C、8 D、9 2一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，它是（C ）A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、八边形 3一个多边形的边数增加
10、一倍，它的内角和增加(A )A.180 B.360 C.(n-2)180 D.n180 4、若一个多边形的内角和与外角和相加是 1800，则此多边形是(B )A、八边形 B、十边形 C、十二边形 D、十四边形 5、正方形每个内角都是 _90_，每个外角都是 _90_。6、多边形的每一个内角都等于 150，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 9 条。7、正六边形共有_9_条对角线，内角和等于_720_，每一个内角等于_120_。8、内角和是 1620的多边形的边数是 _11_。9、如果一个多边形的每一外角都是 24，那么它是_15_边形。10、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形
11、的内角和_180或 360_。11、一个多边形的内角和与外角和之比是 52，则这个多边形的边数为_8_。12、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为 2520,则原多边形有_15 或 16 或 17_条边。6 13.已知一个十边形中九个内角的和的度数是 12900，那么这个十边形的另一个内角为 150 度.考点六：镶嵌 例题 1：装饰大世界出售下列形状的地砖：1 正方形；2 长方形；3 正五边形；4 正六边形。若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有（B ）A.123 B.124 C.234 D.134 例题 2：边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是(B)A.
12、正方形与正三角形 B.正五边形与正三角形 C.正六边形与正三角形 D.正八边形与正方形 练习：1.下列正多边中，能铺满地面的是（B）A、正方形 B、正五边形 C、等边三角形 D、正六边形 2.下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是(D ).A.正六边形和正三角形 B.正三角形和正方形 C.正八边形和正方形 D.正五边形和正八边形 3.用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有(B )种.A、1 B、2 C、3 D、4 4.某装饰公司出售下列形状的地砖：正方形；长方形；正五边形；正六边形.若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有(C )种.A、1 B、2 C、3 D、4 5.小李家装修地
13、面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是(C )A、正方形 B、正六边形 C、正八边形 D、正十二边形 6.用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有_3_个正三角形和_2_个正四边形。7.如图，第 n 个图案中有白色地砖_（4n+2）_块.8.多边形的内角和与某一个外角的度数总和为，求多边形的边数。分析：利用多边形的内角和公式来求，另外此题隐含边数为正整数这个条件。解答：设边数为，这个外角为，则，依题意有：为正整数，（）必为 180 的倍数。又，_ 第 1 个 _ 第 3 个 _ 第?2 个 7
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