数学模型电子教案

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1、北方民族大学信息与计算科学系第八章第八章 离散模型离散模型8.1 层次分析模型层次分析模型 效益的合理分配效益的合理分配y北方民族大学信息与计算科学系8.1 层次分析模型层次分析模型 Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process)AHP一种定性与定量相结合的、一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法系统化、层次化的分析方法北方民族大学信息与计算科学系目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途一

2、一.层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例.选择旅游地选择旅游地北方民族大学信息与计算科学系“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层，准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，；每层有若干元素，各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析

3、结合起来层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。北方民族大学信息与计算科学系NoImageNoImage层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性NoImageA成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地北方民族大学信息与计算科学系NoImageNoImage成对比较的不一致

4、情况成对比较的不一致情况NoImageNoImageNoImage一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况NoImageNoImageNoImage北方民族大学信息与计算科学系NoImageNoImage成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况NoImage满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量

5、对于不一致对于不一致(但在允许范围内但在允许范围内)的成对的成对比较阵比较阵A，建议用对应于最大特征根，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w，即，即一致阵一致阵性质性质北方民族大学信息与计算科学系2 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 NoImage相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强NoImageNoImageaij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为

6、成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。尺度较优。便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：北方民族大学信息与计算科学系一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且 =n时为一致阵时为一致阵NoImag

7、e定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RI随机模随机模拟得到拟得到aij,形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR=CI/RI 当当CR时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下北方民族大学信息与计算科学系“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验N

8、oImage准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)TNoImage一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR通过一致通过一致性检验性检验北方民族大学信息与计算科学系组合权向量组合权向量记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）层（目标）的权向量为的权向量为NoImage同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量NoImage方案层对方案层对C1(景色景

9、色)的成对比较阵的成对比较阵NoImage方案层对方案层对C2(费用费用)的成对比较阵的成对比较阵CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n 权向量权向量 w1(3)w2(3)wn(3)北方民族大学信息与计算科学系第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果kNoImageNoImageNoImage10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量组合权向量RI=0.58(n=3),CIk 均可通过一致性检验

10、均可通过一致性检验 w(2)方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T北方民族大学信息与计算科学系NoImageNoImage组合组合权向量权向量第第1层层O第第2层层C1,Cn第第3层层P1,PmNoImage第第2层对第层对第1层的权向量层的权向量第第3层对第层对第2层各元素的权向量层各元素的权向量NoImage构造矩阵构造矩阵则第则第3层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量NoImage第第s层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量其中其中W(p)是由第是由第p层对第层对第p-1层权向

11、量组成的矩阵层权向量组成的矩阵北方民族大学信息与计算科学系层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵）构造成对比较阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算

12、最大特征根和特征向量，作一致性对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。组合权向量可作为决策的定量依据。北方民族大学信息与计算科学系二二.层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。产业结构，教育，医疗，环境

13、，军事等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。策层参与。构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。断力强的专家给出。北方民族大学信息与计算科学系国家综合实力国家综合实力国民国民收入收入军事军事力量力量科技科技水平水平社会社会稳定稳定对外对外贸易贸易美、俄、中、日、德等大国美、俄、中、日、德等大国工作选择工作选择贡贡献献收收入入发发展展声声誉誉关关系系位位置置供选择的岗位供选择的岗位例例1 国家国家实

14、力分析实力分析例例2 工作选择工作选择北方民族大学信息与计算科学系过河的效益过河的效益 A经济效益经济效益B1社会效益社会效益B2环境效益环境效益B3节节省省时时间间C1收收入入C2岸岸间间商商业业C3当当地地商商业业C4建建筑筑就就业业C5安安全全可可靠靠C6交交往往沟沟通通C7自自豪豪感感C8舒舒适适C9进进出出方方便便C10美美化化C11桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）过河效益层次结构）过河效益层次结构例例3 横渡横渡江河、海峡江河、海峡方案的抉择方案的抉择北方民族大学信息与计算科学系过河的代价过河的代价 A经济代价经济代价 B1环境代价环境代价B3社会代价社会代价B2投投入入

15、资资金金C1操操作作维维护护C2冲冲击击渡渡船船业业C3冲冲击击生生活活方方式式C4交交通通拥拥挤挤C5居居民民搬搬迁迁C6汽汽车车排排放放物物C7对对水水的的污污染染C8对对生生态态的的破破坏坏C9桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）过河代价层次结构）过河代价层次结构例例3 横渡横渡江河、海峡江河、海峡方案的抉择方案的抉择北方民族大学信息与计算科学系待评价的科技成果待评价的科技成果直接直接经济经济效益效益 C11间接间接经济经济效益效益 C12社会社会效益效益 C13学识学识水平水平 C21学术学术创新创新 C22技术技术水平水平 C23技术技术创新创新 C24效益效益C1水平水平C2

16、规模规模C3科技成果评价科技成果评价例例4 科技成果科技成果的综合评价的综合评价北方民族大学信息与计算科学系三三.层次分析法的若干问题层次分析法的若干问题 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？近一致阵的程度？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？为什么用特征向量作为权向量？为什么用特征向量作为权向量？当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？层次分析

17、法？北方民族大学信息与计算科学系1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理定理1 1 正矩阵正矩阵A 的的最大特征根最大特征根 是正单根，对应是正单根，对应正特征向量正特征向量w，且，且NoImage定理定理2 2 n阶正互反阵阶正互反阵A的最大特征根的最大特征根 n,=n是是A为一致阵的充要条件。为一致阵的充要条件。正互反阵的最大特征根是正数，正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。特征向量是正向量。一致性指标一致性指标 定义合理定义合理NoImage北方民族大学信息与计算科学系2.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算正互反阵最大特征根和特征向量

18、的简化计算和法和法取列向量的算术平均取列向量的算术平均NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage列向量列向量归一化归一化算术算术平均平均NoImage精确结果精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,北方民族大学信息与计算科学系根法根法取列向量的几何平均取列向量的几何平均幂法幂法迭代算法迭代算法1）任取初始向量）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度，设置精度 NoImage2)计算计算NoImage3）归一化）归一化NoImage5)计算计算4）若）若 ，停止；，停止；否则，否则，k:=k+1,转转2NoImage北方民族大学信息与计算科学系3.特

19、征向量作为权向量特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应成对比较的多步累积效应问问题题一致阵一致阵A,权向量权向量w=(w1,wn)T,aij=wi/wjA不一致不一致,应选权向量应选权向量w使使wi/wj与与 aij相差相差尽量小（对所有尽量小（对所有i,j)。NoImage用拟合方法确定用拟合方法确定w非线性非线性最小二乘最小二乘NoImage线性化线性化对数最小二乘对数最小二乘结果与根法相同结果与根法相同北方民族大学信息与计算科学系 按不同准则确定的权向量不按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。同，特征向量有什么优点。成对比较成对比较Ci:Cj(直接比较）直接比较）aij 1

20、1步强度步强度NoImageNoImageaisasj Ci通过通过Cs 与与Cj的比较的比较aij(2)2步强度步强度更能反映更能反映Ci对对Cj 的强度的强度NoImage多步累积效应多步累积效应体现体现多步累积效应多步累积效应NoImage定理定理1 1NoImage特征向量体现特征向量体现多步累积效应多步累积效应当当k足够大足够大,Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的权重的权重求求Ak的行和的行和北方民族大学信息与计算科学系4.不完全层次结构中组合权向量的计算不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完

21、全层次结构不完全层次结构设第设第2层对第层对第1层权向量层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定已定第第3层对第层对第2层权向量层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得讨论由讨论由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3)计算第计算第3层对第层对第1层权向量层权向量w(3）的方法的方法贡献贡献O教学教学C1科研科研C2P2 P1P3P4例例:评价教师贡献的层次结构评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学只作教学,P4只作科研只作科研,P3兼作教学、科研。兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等

22、支配元素的数目不等北方民族大学信息与计算科学系NoImage 不考虑支配元素数目不等的影响不考虑支配元素数目不等的影响NoImage 仍用仍用 计算计算 支配元素越多权重越大支配元素越多权重越大用支配元素数目用支配元素数目n1,n2对对w(2)加权修正加权修正 若若C1,C2重要性相同重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1P4能力相同能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的评价应为：公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 再用再用 计算计算NoImagew(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3

23、)=(1/5,1/5,2/5,1/5)TNoImage 支配元素越多权重越小支配元素越多权重越小教学、科研任务由上级安排教学、科研任务由上级安排教学、科研靠个人积极性教学、科研靠个人积极性考察一个特例：考察一个特例：北方民族大学信息与计算科学系5.残缺成对比较阵的处理残缺成对比较阵的处理NoImageNoImageNoImageNoImageNoImagemiA第第i 行行中中 的个数的个数NoImage 为残缺元素为残缺元素辅助矩阵辅助矩阵NoImage北方民族大学信息与计算科学系6.更复杂的层次结构更复杂的层次结构 递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和递阶层次结构：层内各元素独立，无

24、相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。更复杂的层次结构：更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。或支配；层间存在反馈或循环。制动制动底盘底盘车轮车轮方向盘方向盘发动机发动机减震装置减震装置刹车刹车转向转向运行运行加速性能加速性能汽车行驶性能汽车行驶性能汽车汽车1汽车汽车2汽车汽车n例例北方民族大学信息与计算科学系 层次分析法的优点层次分析法的优点 系统性系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策综合的思维方式进行决策系统

25、分析（与机理分析、系统分析（与机理分析、测试分析并列）；测试分析并列）；实用性实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；法不能解决的问题；简洁性简洁性计算简便，结果明确，便于决策者计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。直接了解和掌握。层次分析法的局限层次分析法的局限 囿旧囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；只能从原方案中选优，不能产生新方案；粗略粗略定性化为定量，结果粗糙；定性化为定量，结果粗糙；主观主观主观因素作用大，结果可能难以服人。主观因素作用大，结果可能难以服人。北方民族大学信息与计算科学系 效益的合理分配效益的合理分配

26、NoImageNoImage例例甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，元，甲丙合作获利甲丙合作获利5元，乙丙合作获利元，乙丙合作获利4元，元，三人合作获利三人合作获利11元。又知每人单干获利元。又知每人单干获利1元。元。问三人合作时如何分配获利？问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为记甲乙丙三人分配为NoImage解不唯一解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)NoImage北方民族大学信息与计算科学系NoImageNoImageNoImageNoImage(1)Shapley合作对策合作对策NoImage I,v n人合作对策，人合作对策，

27、v特征函数特征函数NoImagen人从人从v(I)得到的分配，满足得到的分配，满足v(s)子集子集s的获利的获利北方民族大学信息与计算科学系NoImageNoImage公理化方法公理化方法 s 子集子集 s中的元素数目，中的元素数目，Si 包含包含i的所有子集的所有子集NoImage由由 s 决定的决定的“贡献贡献”的权重的权重 Shapley值值NoImage i 对合作对合作s 的的“贡献贡献”NoImageShapley合作对策合作对策北方民族大学信息与计算科学系三人三人(I=1,2,3)经商中甲的分配经商中甲的分配x1的计算的计算 1/3 1/6 1/6 1/3NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage1 1 2 1 3 INoImageNoImage1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3x1=13/3类似可得类似可得 x2=23/6,x3=17/6NoImage1 2 2 3