带电粒子在电磁场中的运动分析解读

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1、论文题目：带电粒子在电磁场中的运动专业:物理学本科生:边鲜叶签名指导教师:贾祥富签名摘要：从带电粒子在电磁场中的运动的经典哈密顿量出发推导出了带电粒子 在恒定电磁场中的薛定谔方程，并讨论了带电粒子在恒定均匀磁场中的运动，以 及在恒定电磁场中的原子能级和光谱的变化关键词：带电粒子；电磁场；能级；光谱Title: A Study of Charged Particles in Electric and Magnetic FieldMajor:Physics Name:Bian Xianye Supervisor:Jia XiangfuSignatureSignatureAbstract start

2、 ing from the classicle Hamilton whose charged particles moved in the electrie and magnetic field,infer the shrodinger equation which charged particles in the electrie and magnetic field.Analyzed the charged particles motion in the constant megnetic field,as well as the changes of the energy level a

3、nd spectrum in the constant electrie ang magnetic field.Key words：charged par ticleselec trie and magne tic field energy level spectrum目录引言、粒子在电磁场中的运动方程1、无自旋粒子运动的哈密顿算符2、几率流密度3、规范变换及规范不变性4、朗道能级5、带电粒子在电磁场中运动计入自旋和相对论性修正后的哈密顿算二、原子在恒定均匀磁场中的运动1、体系的哈密顿算符2、强磁场情况：正常的塞曼效应3、弱磁场情况：反常塞曼效应4、氢原子及类氢离子在外恒定均匀强磁场中运动方程

4、的柱面三、电场中的原子1、氢原子及类氢离子在外恒定均匀电场中能级的线性斯塔克分 裂。2、氢原子在外恒定均匀强电场中运动方程的抛物线坐标式3、振荡电场中的原子结论引言带电粒子在均匀电磁场中的运动时一个重要的研究课题，其应用也十分广泛， 对科学技术的许多领域有非常重大的意义，例如，大气磁场对环境影响的研究、 对等离子体性质的研究、电子器件如磁控管示波器、质谱仪、电子显像管的研究 和制造都有极其重要的意义而以前的大多数文献中,对带电粒子在电磁场中的运 动都是从洛伦兹力出发对其特殊情况进行分析的，并没有分析带电粒子在电磁场 运动的薛定谔方程，更没有研究其能级和光谱的变化。本文从带电粒子在电磁场 运动的

5、经典哈密顿量出发推出其薛定谔方程，具体讨论了氢原子及类氢原子在电 场及磁场中的运动方程的柱面坐标系式和其在外恒定均匀强磁场中的运动方程的 抛物线坐标式。、粒子在电磁场中的运动方程1、无自旋粒子运动的哈密顿算符假设质量为，带电量为q的粒子在电磁场中运动，其哈密顿量为+ q 二+ q p - A +2卩卩2卩利用电磁场的横波条件VA = 0，即有所以有p-A A-p = 0, 进而有育二史+ q 纟A-p +纟2卩卩 2卩又 p = i方 V 所以 R =竺 V 2 + q6, t)壘 A V+ q 2 A2 G t)G2卩ip2卩式中p = ihv是粒子的动能项q (f, t) 是粒子的静电势能

6、函数项塑Av表粒子“轨道”运动与外磁场的耦合作用项 ip综上，带电粒子在电磁场中运动的薛定谔方程可写为:i 力V (f, t )= p dt2p+ q v(r, t)(2 )2、几率流密度对应上面的薛定谔方程，可将粒子的速度算符由令=迓对应改为令二2虫 所以几率密度 了即可表示为j 二 Re 屮 * 6, t_ 屮 6, t）二一也 G * 屮一屮屮 *）一 邑2屮 *屮（3）卩2卩卩而粒子在势场qO（F, t）中运动时，其几率密度表达式为=一_ G * V屮一屮V屮 *）（4）2卩两式比较显然（3）式多出一项，而这项则是由电磁场矢势a6,t）引起的，由及其重要的作用。3、规范变换及规范不变性

7、电磁场的矢势A（r,t）和标势o（r,t）都是实函数，它们与电场强度E和磁感应强度B之间的关系是E (r , t ) = -V 0 (r , t ) - A (r , t ) a tb (r , t ) = v x a (r , t).（5）.（6）电磁场具有规范不变性，即当作下列规范变换时A T Ar = A + Vx（r, t）（）0/ = 0-%6, t）.（8）at（式中X 6, t） 是任一标量实函数） 电场强度E和磁场强度B都不变，这称为电磁场具有规范不变性。所以，可以选不同的失势A（r,t）和不同的标势o（r,t）来描述同一电磁场，由此可 知，电场强度E是表征一个电磁场的物理量，

8、而失势A（r,t）和标势t）只描 述电磁场的数学量，但当同一电磁场选的失势aG,t）和标势t）不同时，由（1）式可看出体系的哈密顿算符A表示式不同，进而可知（2）也可能不同，若对体 系的波函数屮6,t）作幺正变换，即为屮6, t）TV6, t）二 e；加则6, t）i 力V 6, t)= dt则体系的薛定谔方程（2）在（7）、（8）、（9）式的变换后形式也不变，即为 qA + qQ v6, t）这表明屮6,t）也是带电粒子在同一电场中运动状态的波函数，但是，若失势A = 0变换为A丰0，则由（7）式可得A二t），即可知式（9）的位相因子e；加二 exp 丄qJ A（r,t） dl（11）L ；

9、_对于闭合回路C，（11）式中的J A-dl二JJB -ds是磁通量，式是的一个规范不cs变量，因为恒为04、朗道能级1讨论带电粒子在恒定均匀磁场中运动，设磁场方向沿Z轴，失势取为A二-BXr2则 B =（0,0, B）A = f- - By,- Bx,0-I 22 丿可见满足Vx A = B和A = 0，所以该带电粒子的哈密顿算符H具体可写P 2 + p 2 + p 2 )_ 叠 L + 泄(xxyz 2卩Z8卩为了方便，以下把带电粒子沿Z轴方向的自由运动分离出去，集中讨论电子在x-y 平面中的运动。在x-y平面内，体系的能谱是分立的：Enpm=2n + mi -q plq|q|B即 E =

10、1 1)n +，而=泄,n =1二 n + I|m| -qmnL 2丿00 Pp 2lq丿这=0,1,2.-(13)屮npm即称为朗道能级（p,Q）= nr |imnp Im其相应的二维运动定态波函数为（14）式中的Rnp Im IC）即为二维各向同性谐振子定态的径向函数R(p)x P 山np Imf qB PFexp - p 2 F4舟k 4 丿f-n m +1,叱 p 2 I p，2力丿F为合流超几何函数，n为径向波函数的节点数（p二0,x点除外），eimp贝廿描 P述的是带电粒子绕磁场方向（Z）轴转动的行波。的条件，此时带电b ,0,0）时，也满足VxA = B （沿z轴）及A = 0y

11、粒子在电磁场中运动的哈密顿算符即为(16 )pxqB所以在垂直于磁场方向的xy体系的能谱仍为f 1)qBE 二力 3,3 二nk 2丿0 0相应的能量屮(x, y)= N exp-昨(y - y)Hnpx2方0n,n=0,1,2iUy - yi exp p xI方x丿它描述了带电粒子在y轴上作简谐振动，而在x轴方向是自由运动处于平面波状态。由此可见，它依赖于n与又，所以决定而任一实值，但不由决定。所以在 均匀磁场中运动的带电粒子可出现在无穷远处，但其能级是离散的。5、带电粒子在电磁场中运动计入自旋和相对论性修正后的哈密顿算符为：A 二史 + qQ-纟 A- p -qs - B + 聖 A2 +

12、1 i V（qO）x p 1 v2（qO）2卩卩卩2卩2卩2 c 28卩3 c 2（17）二、原子在恒定均匀磁场中的运动原子在磁场中定态能量对磁量子数的简并解除，能级进一步分裂，引起光谱线 也进一步分裂，分裂的情况因磁场的很强或很弱而不同。1、体系的哈密顿算符下面讨论的是在恒定均匀的磁场中的氢原子和类氢原子，取磁场方向沿Z轴方向, 即B = G,0.b），相应的失势A 可取为A二1Bxr ，则21 1A二-By, A二Bx, A二0， 由式（17）可知，带电量为e的电子，有x 2y 2zqQ二-竺， 它 的 哈 密 顿 算 符 为4ks r0八- P 2Ze 2eB /e 2 B 2 (H -

13、+L + 2 s+ 2 u4k8 r2 u z z丿8u0(18)2、强磁场情况：正常的塞曼效应当磁场强度很大即磁场足够强时，磁场将分别与电子的轨道磁矩和自旋磁 矩耦合，因为（18）式中电子的自旋-轨道耦合等最后三项与式中第三、四项 2 + y 2）也相比可略去，实验室中磁场强度B 105Gs,:. B2 B ,因此可略去，所以，p 2 Ze 2 eBH +-2卩 4ks r 2卩o算符为：(19)其本征值为 E E 0 + u B(m + 2m )nmsnBs1 m s 2n = 1,2,3，l 0,1,2,.n 1，上式中,E o是氢原子及类氢离子的波尔-薛定谔能量，u是波尔磁子，上 nB

14、式表明原子在足够强的外磁场中能级E 0分裂，对角量子数/的简并保留，n但是对磁量子数m和m的简并解除。s由于能级分裂，相应的光谱线也发生分裂，即氢原子及类氢离子的光谱线 发生分裂，实验证明，从垂直于磁场方向观测，光谱线分裂为三条，均为线偏 振的，其中两条的偏振方向与磁场方向垂直，另一条的偏振方向与磁场方向平 行，在平行逆着磁场的方向只能观测到光谱线分裂为两条，分别是左旋和右旋 偏振的。综上，在强磁场中原子光谱发生分裂的现象称为正常的塞曼效应。3、弱磁场情况：反常塞曼效应当所加外磁场B很弱时，自旋轨道耦合作用并不比外磁场作用小，此时 应把它们一并加以考虑，这就造成了反常塞曼现象。由于外磁场很弱，

15、所以（18） 式中电子的轨道磁矩和自旋磁矩与磁场的耦合作用项与电子的自旋-轨道耦合作 用等最后三项相比很小，所以可近似地在氢原子及类氢离子能级精细结构的基础 上将电子的轨道磁矩和自旋磁矩竺C + 2s ）当作微扰项，在一级微扰近似下， 2u z z略去逆磁项，有E E0 . + E G E0 . + g u Bm（20）nljm.nj nljm.nj Isj B j其中E 0为狄拉克能级（原子定态能级精细结构）。u为波尔磁子，g 是朗 njBlsj)Ze 21 二令 p 4Ze 2 兀方 2)2 + y 2 丿+- s - L +o4K8 2u2 c2 r38u3c2 4k8 2p2c200j

16、 (j +1)+ s(s +1)-1 (/ + 1) 德因子肓1 +2jtr式中可看出g,由角动量数l,s，和j决定。lsj由（19）式可知氢原子及类氢离子在足够弱的外磁场中能级精细结构对角量子数1 的简并已解除，且每个 子能级还可再分裂为2j+1个子能级。因此，反常塞曼效应即原子光谱线的精细结构会再分裂。4、氢原子及类氢离子在外恒定均匀强磁场中运动方程的柱面坐标系式。不考虑电子的自旋，若氢原子及类氢离子所处的电磁场很强，则体系的 哈密顿算符与（19）式相比要加上逆磁项，为 育二P2 - Ze2 + eB L + e2B2 （x2 + y2h没有外磁场的情况下，上式是自由氢原 2p 4ks r

17、 2p z 8p0子的哈密顿算符。若上式中没有第二项-2二，则上式即为电子在外恒定均匀 4兀8 r0磁场中运动的哈密顿算符。当外磁场的大小在105 106T之间时，核的静电库仑作用项与外磁场的作用项相比较，哪一项都不能作微扰项，所以求解体系的定态 薛定谔方程不能用定态微扰论。若将体系的定态薛定谔方程在柱面坐标系下分离变量，则方程的解可写为屮(p,P, z)二 f G, ZLm申EE力2a 21aa 2、m 2Ze 2e力厂e 2 B 2+ +-+ m B +P 22卩2papaz 2P2 J4兀8 Jp 2 + Z20勺2卩8卩满足函数化(p, Z )E此即为氢原子及类氢离子在外恒定均匀强磁场

18、中运动方程的柱面坐标式。三、电场中的原子1、氢原子及类氢离子在外恒定均匀电场中能级的线性斯塔克分裂。氢原子在电场强度为E的恒定均匀电场中，设E 的方向沿Z轴，若E足够大,则（17）式中的最后三项即可略去，取电磁场的失势A = 0，标势0 = -E - r ，则体系的哈密顿算符可写为 育=史-上巳+ eEZ =育+育2卩 4兀8 ro0(23)式中Hf = eEZ可作为微扰项，则可应用定态微扰论计算原子能级的一级修正, 所得结果即为氢原子斯塔克效应的量子解释。2、氢原子在外恒定均匀强电场中运动方程的抛物线坐标式体系的哈密顿算符为 H =卫2 Ze + eEZ2u 4ks r0采用抛物线坐标系p)

19、，它与直角坐标系之间的关系是g = r + z ， n = r z ，r y)p = arctan ， r = ：x2 + y2 + z2所以，体系的哈密顿算符可写为r a)n一V旳丿H 二一a+ -an+ 1 a 2gn ap 22Ze 2eE 仁 )ST T(gn)(24)分离变量，方程的解可写为屮匕n,p)= f )f Gimp1 2(25)=Z 二 Z + Z2，而(25)式中的f Qf G)分别满足方程2 uV dg 2 g dg 4g 2 丿r d 21 d m 2 +一2 n dn 4n 2 丿2dn-备+冬 g f Q=E f Z eE一一一n2n 8f G)= E f G)2

20、 4 2这两个方程与例子在二维中心势场中运动的径向函数满足的方程形式相同, 在E = 0的情况下，即没有外电场时，这两个方程即为同一方程，表示自由氢原子的能谱，在E丰0时，即有外电场时，不管外电场的作用项eEZ是否可作为 微扰项，这两个方程都共同描述了氢原子在外恒定均匀电场中的运动。3、振荡电场中的原子以氢原子或类氢离子及碱金属原子为例讨论。设原子处于外振荡电场中电磁失势A = 0标势 = -E -rcost，设E的方向 0 0沿Z轴，体系的哈密顿算符为H = p2 + V(r)+ eE Zcoset = H +H2卩0 0因为A是 时间t的周期函数，所以体系的含时薛定谔方程为0=订屮C)-(

21、27)(t + T)=O (t)将EEdt周期为T咱，并计入位相因子，可得屮C)= ee严E(t)dt丿E以上两式代入方程(26)，可得满足方程 这是算符H -叮,的本征方程，E为本征值。结论：本文分析了带电粒子在电磁场中运动的薛定谔方程，其中用到了几率密度和规范不变性，最后得出：(1)、带电粒子在恒定均匀磁场中是在y轴上作简谐振动，而在x轴方向时自由运动，处于平面波状态。(2)、原子在磁场中运动有： 磁场足够强时，原子发出的每条光谱都会再分裂一般为三条 磁场很弱时，能级精细结构对角量子数l简并已解除，且每一个nl子能j级可再分裂为2j+1个子能级，即能级分裂为(2j+1)条。(3)、氢原子在

22、外恒定均匀强磁场中运动方程的柱面坐标系式为：6 21 d d 2 m 2+2 P dp dz 2 P 2 丿ehe 2 B 2+ m B +p 24ks P 2 + z 22 卩8 卩0 Ze 2(4)、氢原子在外恒定均匀强电场中运动方程的抛物线坐标系式为+一仝+鱼f )= Ef 匕)2讥 dg 2 E dg 4g 2 丿 2g81” 1 d 21 d m 2 +2 n dn 4n 2 丿Z eE-n2n8(5)、简单的讨论了原子在振荡电场中的薛定谔方程为参考文献：错误！未找到引用源。李芳等等离子体中尘埃例子对电磁波的吸收 效应中国科学出版社2004.3错误！未找到引用源。赵凯华，陈熙谋电磁学高等教育出版社1996错误！未找到引用源。罗春荣，陆建隆.电动力学-3版 西安交通 大学出版社2000.11错误！未找到引用源。刘莲君，张哲华.量子力学学习指导-2版武 汉大学出版社2007.10错误！未找到引用源。曾谨言量子力学教程-2版 科学出版社 2008错误！未找到引用源。曾谨言量子力学（上、下册）科学出版社1981 错误！未找到引用源。周世勋量子力学科学出版社2002错误！未找到引用源。张三慧大学基础物理学 清华大学出版社 2003错误！未找到引用源。张永德量子力学 科学出版社 2002 错误！未找到引用源。钱伯初，曾谨言量子力学习题精选与剖析科 学出版社1988