线性代数：4-3 向量组的秩

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1、 讨论下列向量组中讨论下列向量组中最大最大的线性无关部分组：的线性无关部分组：1231(1,2,1),(2,3,1),(4,1,1)（）123(1,2,1),(2,4,2),(0,0,0)（2）12.答案：，1.答案：12322121323()或，或，2()或 无关性无关性最大性最大性 基本性基本性 极端情形极端情形线性表示线性表示,因此向量组因此向量组 是线性无关的是线性无关的,证明：已证明过证明：已证明过n 维基本向量组维基本向量组12,n 是是 Rn 的一个最大无关组的一个最大无关组.12,n 又任意又任意 n 维向量都可由维向量都可由 12,n 注：全体注：全体 n 维实向量构成的向量

2、组记作维实向量构成的向量组记作Rn 12,n 思考：思考：Rn 中的任何中的任何 n 个个线性无关线性无关的向量都是的向量都是Rn 的的一个最大无关组一个最大无关组.2.Rn 的最大无关组：的最大无关组：1.0没有最大无关组没有最大无关组.设齐次线性方程组设齐次线性方程组075,032,02243214214321xxxxxxxxxxx的全体解向量构成的向量组为的全体解向量构成的向量组为 S，求，求 S 的最大的最大无关组无关组.解集解集)4(0RS说明：说明：（1）只含）只含零零向量的向量组向量的向量组没有没有最大无关组。最大无关组。（2）向量组的最大无关组一般不唯一，但）向量组的最大无关组

3、一般不唯一，但R(1,2,m)m 1,2,m 线性相关线性相关说明：说明：(1)规定规定:(2)(3)012034000011A行最简形矩阵行最简形矩阵2.求求A的的列列向量组的最大无关组。向量组的最大无关组。答案：由答案：由首非零元所在的行首非零元所在的行构成构成答案：由每一阶梯上选一列构成，特别可由答案：由每一阶梯上选一列构成，特别可由首非零元所在的列首非零元所在的列构成。构成。10121021400002200000A 1.求求A的的行行向量组的最大无关组。向量组的最大无关组。行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 (略)12,m 设为向量列构造矩阵12(,),m B初等行变换1212,mm 则向量组

4、与向量组保持相同的线性相关性与线性关系式。证明思路：12(,)m A：四、四、11220mmxxx方程组11220mmxxx与同解.1,2,s对于向量组对于向量组 1,2,s，：1234(1,1,1),(1,2,0),(1,0,3),2,3,7,设（）问：123(1),?是否线性相关若能表示,求其表示式。4123(2),?可否由线性表示111212031037TTTT 解解二二：行最简形行最简形123123,由于线性无关，故线性无关。41234123.112112j由于，故000001120111 行行j12341212(1)2,3,0,11157 2121230111571（）A解：解：求下

5、列向量组的一个最大无关组和秩，求下列向量组的一个最大无关组和秩，并用最大无关组表示其余向量并用最大无关组表示其余向量.1234(2)(1,1,2,4),(0,3,1,2)(3,0,7,14),(1,2,2,0)列摆列摆212233160190 变行行行阶梯形行阶梯形212200030011 行变故向量组故向量组 1,2,3,4 的一个最大无关组为的一个最大无关组为 1,2，且且 3=-3 1+2 2,4=4 1-3 2.123403113022(,)2172421401TTTT（）A列摆列摆0313310022170010430000010132 行变行最简形行最简形1234(,),2R 21

6、1703113022172003110331111001020310311010000000002000000011111100000031000111001、2、4列为列为最大无关组最大无关组行最简形行最简形表示式的系数表示式的系数124312,31.个无关组 所所以以是是一一最最大大，且且设向量组设向量组 a1,a2,am 构成矩阵构成矩阵A=(a1,a2,am)，R(a1,a2,am)=R(A).因此，前面的定理中出现的因此，前面的定理中出现的矩阵的秩矩阵的秩都可替换为都可替换为向量组的秩向量组的秩.由于向量组的秩等于其构成的矩阵的秩，即由于向量组的秩等于其构成的矩阵的秩，即 （将A代入

7、上式）列列，B=列列 ，B=设向量组设向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示,且它们的秩相等，证明向量组且它们的秩相等，证明向量组A与向量组与向量组B等价等价.向量组B能由向量组A线性表示(,)R A B()()R AR BAB与向量等价向量组组组组1234,例：与 矩阵的秩或向量组的秩矩阵的秩或向量组的秩 121212,线性无关线性无关法三提示：法三提示：112221(),),RR 12(,)2R 12,线性无关 1212,tsts 线，若可由性表示，12,t 则线性相关。2121()(,),tsRR 提示：提示：12,t 线性相关 22=t s122311,nnn 12,n 线性相关设向量组，则向量组也线性相关。提示：考虑向量组的秩提示：考虑向量组的秩21223111(,(,),)nnnnRR 122311,nnn 线性相关n