《线性代数：3-3 线性方程组的解(经管类版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数：3-3 线性方程组的解(经管类版)（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、 0An n用矩阵的用矩阵的秩秩讨论线性方程组解的讨论线性方程组解的秩法秩法行列式法行列式法 定理定理 1 应用于应用于齐次齐次线性方程组，容易得出：线性方程组，容易得出：0n nA0n nA秩法秩法行列式法行列式法121111D0200zyxzyxzyx解解 方程组有非零解当且仅当其系数行列式为零方程组有非零解当且仅当其系数行列式为零.为何值时,下列方程组？实数有非零解例例1021 111110111)10(122(1)(1)01.故当时，方程组有非零解11011)21(1定理定理 1 可推广到矩阵方程：可推广到矩阵方程：求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组123412341234220,2
2、220,430.xxxxxxxxxxxx（见课本（见课本P73）求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组.5192483,13254,24653,13424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 设线性方程组设线性方程组123123123(1)0,(1)3,(1),k xxxxk xxxxk xk 问问：k 取何值时，此方程组取何值时，此方程组(3)有穷多解？并在有无穷多解时求其通解有穷多解？并在有无穷多解时求其通解.(1)有唯一解？有唯一解？(2)无解
3、？无解？对增广矩阵对增广矩阵 (A,b)作初等作初等行行变换变换:1110(,)1113111kA bkkk 111030(2)(1)kkkkkkkkkk(3)1110300(1)(3)kkkkkkkkk 由此可得：由此可得：当当 k 0 且且 k -3 时时,R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解；方程组有唯一解；当当 k=0 时时,R(A)=1,R(B)=2,方程组方程组无无解；解；当当 k=-3 时时,R(A)=R(B)=23,方程组方程组有无穷多解有无穷多解.这时这时（由秩最大的情况开始讨论）（由秩最大的情况开始讨论）r1110300(3)(1)(3)kkkkkkkkk 11-2-30
4、-3360000r0-1-10-1-2001100由此可得通解为由此可得通解为31212.().kkkkxxx或为任意常数313231,()2xxxxx为自由未知量(,)A b因为系数矩阵因为系数矩阵 A 为为方阵方阵，故方程组有唯一解，故方程组有唯一解的充要条件是系数的充要条件是系数行列式行列式|A|0.而而111|111111kkkA(3+k)k2,由此可得：由此可得：当当 k 0 且且 k -3 时，时，|A|0，方，方程组有程组有唯一解；唯一解；当当 k=0 时，时，|A|=0.1 1 10(,)1 1 131 1 10A br,000010000111由此可知，由此可知，R(A)=1
5、，R(A,b)=2，故方程组无解，故方程组无解;当当 k=-3 时，时，|A|=0，方程组的增广矩阵，方程组的增广矩阵2110(,)12131123A br011012,000110由此可知由此可知,R(A)=R(A,b)=2,故方程组有无穷多故方程组有无穷多解，解，方程组的增广矩阵方程组的增广矩阵（无解或有无穷多解）无解或有无穷多解）且通解为且通解为31212().kkkkRxxx通常用通常用行列式法行列式法较简单；较简单；若系数矩阵不是方阵，则只若系数矩阵不是方阵，则只能用能用矩阵秩法矩阵秩法，先对含参数的增广矩阵作初等行变换。，先对含参数的增广矩阵作初等行变换。要注意的是，在对含参数的矩阵作初等变换时，不宜要注意的是，在对含参数的矩阵作初等变换时，不宜做诸如做诸如,1112rkr这样的变换这样的变换.如果确需做这样的变换，则要讨论。如果确需做这样的变换，则要讨论。对于含参数的线性方程组，若系数矩阵是对于含参数的线性方程组，若系数矩阵是方阵方阵，,)1(2 kr
线性代数：3-3 线性方程组的解(经管类版)
