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1、课题:3.4根本不等式 2abab第一课时1.1.课题导入课题导入根本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。他能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？2.讲授新课讲授新课 1探求图形中的不等关系 在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为22ab22ab 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab222abab当直角三角形变为等腰直角三
2、角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 2得到结论：22,R,2()a bababab一般的，如果那么当且仅当时取号3思索：他能给出它的证明吗？证明：由于 2222()ababa b22,()0,()0abababab当时当时222()02ababab所以，即 特别的，假设a0,b0,我们用 分别替代a、b，可得 通常我们把上式写作 2,abab(a0,b0)(a=b2abab当且仅当时，式中取等号）,ab2abab41认识根本不等式只需证 a+b 2要证2，只需证 a+b-03要证3，只需证 -204显然，4是成立的。当且仅当a=b时，4中的等号成立。用分析法证明：要证 2aba
3、b12 2从不等式的性质推导根本不等从不等式的性质推导根本不等式式2aba b2 ab2 abab3、例题讲解、例题讲解例1 知x、y都是正数，求证：(1)2；yxxy分析：在运用定理：分析：在运用定理：时，留意条件时，留意条件a a、b b均为正数，结合不等式的性质均为正数，结合不等式的性质(把握好每条把握好每条性质成立的条件性质成立的条件)，进展变形，进展变形.2abab解：解：xx，y y都是正都是正数数 0，0 xyyx2xyxyyxyx=22xyyx即当且仅当x=y时，式中取等号。(2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.解：解：xx，y y都是正数都是正数 xy2 0 xy
4、x20，y20，x30，y30 x2y22 022x y x3y32 033x y(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3 即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.xy22x y33x y2 2 2当且仅当x=y时，式中取等号当且仅当x=y时，式中取等号4.随堂练习随堂练习 1.知a、b、c都是正数，求证(ab)(bc)(ca)abc 分析：对于此类标题，选择定理：分析：对于此类标题，选择定理：2ababa0，b0灵敏变形，可求得结果.解：解：aa，b b，c c都是正数都是正数 bc2 0bcca2 0 ac(ab)(bc)(ca)即(ab)(bc)(ca)abc.=8abcab2 0abab2 2 2bcac(当且仅当a=b=c时，上式取等号 本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数()，几何平均数 及它们的关系 .它们成立的条件：(1)、前者只需求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.(2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。它们既是不等式变形的根本工具，又是求函数最值的重要工具。2abab2abab 5.课时小结 5.5.课外作业课外作业课本第课本第113113页习题页习题AA组组的第的第1 1题题
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