微积分：1-1 集合与函数

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1、微微 积积 分分(calculus)数学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙.培根培根绪论绪论1.数学的基本特征一、话说数学一、话说数学 对数学的再认识对数学的再认识l研究对象的高度的抽象性l论证方法的演绎性与逻辑的严谨性l应用的极其广泛性2.数学素质数学素质逻辑关系及抽象事物的悟性和潜能，指人逻辑关系及抽象事物的悟性和潜能，指人 数学素质是指人认识和处理数形规律数学素质是指人认识和处理数形规律通过数学教育而获得的一种理性思辩意识通过数学教育而获得的一种理性思辩意识和能力、理性的思维模式和研究精神。和能力、理性的思维模式和研究精神。3.数学的意义数学的意义 通过数学的学习，我们要学会从实际

2、问通过数学的学习，我们要学会从实际问题出发，抽象题出发，抽象、概括出数学模型，以便利用概括出数学模型，以便利用数学知识来解决问题。数学知识来解决问题。二、话说微积分二、话说微积分1.数学的三大分支数学的三大分支数学分析数学分析几何与代数几何与代数(讨论连续变量讨论连续变量)（讨论离散变量）（讨论离散变量）概率论与数理统计概率论与数理统计（讨论随机变量）（讨论随机变量）冯冯.诺伊曼诺伊曼：匈牙利数学家。他与经济学家合：匈牙利数学家。他与经济学家合著的著的博奕论与经济行为博奕论与经济行为奠定了对策论的理论基础，奠定了对策论的理论基础，他发明的他发明的“流程图流程图”沟通了数学语言与计算机语言，沟通

3、了数学语言与计算机语言，制造了第一台电子计算机，被人称为制造了第一台电子计算机，被人称为“计算机之计算机之父父”。微积分是近代数学中最伟大的成就，对它微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论怎样的估计都不会过分。的重要性无论怎样的估计都不会过分。冯冯.诺伊曼诺伊曼2.微积分的内容微积分的内容（1）一元函数的微分与积分；）一元函数的微分与积分；（4）多元函数的微分与积分；）多元函数的微分与积分；（3）无穷级数；）无穷级数；（2）微分方程。）微分方程。3.微积分的对象微积分的对象 初等数学主要研究初等数学主要研究常量常量，而高等数学，而高等数学主要研究主要研究变量变量之间的依赖关系，即函数

4、。之间的依赖关系，即函数。4.研究微积分所用的方法研究微积分所用的方法 极限的方法。极限的方法。2.学习过程学习过程：理解：理解练习练习综合综合再练习再练习三、学会学习三、学会学习 1.听课过程听课过程：预习：预习听课听课复习复习做作业做作业 3.看书过程看书过程：先将书读厚（加进自己的理解）：先将书读厚（加进自己的理解）再将书读薄（对知识概括总结）再将书读薄（对知识概括总结）微积分微积分 上下册上下册，北京交通大学出版社，北京交通大学出版社 清华大学出版社清华大学出版社1.微积分辅导微积分辅导，上下册，上下册，同微积分出版社，同微积分出版社 参考教材：参考教材：教材：教材：准备两个作业本，每

5、周一交作业准备两个作业本，每周一交作业.9集集 合合(set)小结小结 思考题思考题 作业作业函函 数数(function)1.1 集合与函数集合与函数第第1 1章章 函函 数数第第1 1章章 函函 数数1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma,Ma.,的子集是则称就有若BABxAx.BA 记作记作.51:xxA例例用大写字母表示集合，用小写字母表示元素用大写字母表示集合，用小写字母表示元素,2,1 nB,2)

6、2(QbabaQ 一一、集合、集合数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2,1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且任任意意),(bx

7、axba 开区间开区间,bxaxba 闭区间闭区间oxaboxab),bxaxba ,(bxaxba 半开区间半开区间),xaxa ),(bxxb oxa无限区间无限区间),(xaxa ,(bxxb ),(xxR3.3.邻域邻域:.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径),(axxaUxa a a ,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx axax).,(aa记记:邻邻域域的的去去心心点点 a).,(aa :的的右右邻邻域域点点a).,(aa:的的左左邻邻域域点点a.0),(axxaUoxa a a 4 4、逻辑符号

8、、逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号.、“”表示表示“任取任取”,或或“任意给定任意给定”.“”表示表示“存在存在”,“至少存在一个至少存在一个”,或或“能够找到能够找到”.如如实数的阿基米德实数的阿基米德(Archmed)公理是这样公理是这样叙述的叙述的:任意给定两个正的实数任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个都存在一个自然数自然数n,.bna 使使得得用逻辑符号用逻辑符号,和和将将阿基米德阿基米德公理改写公理改写:.bna 使使得得,0,ba,Nn Any(每一个每一个)或或All(所有的所有的)的字头的字头A的倒写的倒写Exist(存在

9、存在)的的 字头字头E的倒写的倒写符号符号“”表示表示“蕴含蕴含”,或或“推推出出”.符号符号“”表示表示“等价等价”,或或“充分必充分必要要”.181.常量常量(constant quantity)与变量与变量(variable)注注二、函数二、函数(function)而是相对而是相对“过程过程”而言的而言的.常量常量;变量变量.在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为而在过程中数值变化的量称为而在过程中数值变化的量称为一个量是常量还是变量一个量是常量还是变量,不是绝对的不是绝对的,常量与变量的表示方法常量与变量的表示方法:通常用字母通常用字母 a,b,c等表示常量等表示

10、常量,用字母用字母 x,y,t等表示等表示变变量量.1.1 集合与集合与函数函数19 初等数学初等数学,变量的数学变量的数学 “常量的数学常量的数学”,从现在开始从现在开始,进入进入就其总体来说是就其总体来说是微积分微积分.1.1 集合与集合与函数函数20 定义定义 设有两个变量设有两个变量x和和y,自变量自变量因变量因变量定义域定义域(domain)记作记作变量变量y的取值的的取值的集合称为函数的集合称为函数的值域值域(range),即即.),(|DxxfyyW 变量变量x的变域为的变域为D,如果对于如果对于D中的每一个中的每一个x值值,按照一定的法则按照一定的法则,变变量量y总有唯一的数值

11、与之对应总有唯一的数值与之对应,则称变量则称变量y为变量为变量x的的函数函数(function),2.函数概念函数概念),(xfy ,Dx 1.1 集合与集合与函数函数21注注(1)函数的记号函数的记号:除常用的除常用的f 外外,可任意选取可任意选取,如如、Fg相应地相应地,函数可记作函数可记作:),(xgy 等等,)(),(xyxFy 等等,也可记作也可记作:y)(x y在同一个问题中在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时讨论到几个不同的函数时,则必须用不同的记号分别表示这些函数则必须用不同的记号分别表示这些函数,以示区别以示区别.1.1 集合与集合与函数函数22(2)对应的函数值对应的函数

12、值y总是唯一的总是唯一的,否则称为否则称为如如xy 是多值函数是多值函数,它的两个单值支是它的两个单值支是:,xy 单值函数单值函数,多值函数多值函数.约定约定:.xy 今后今后无特别说明无特别说明时时,函数是指单值函数函数是指单值函数.这种函数称为这种函数称为(3)构成函数的构成函数的xyxylg2lg2 、是是两个不同的函数两个不同的函数.(因为定义域不同因为定义域不同).如如定义域定义域Df与对应法则与对应法则 f.两个要素两个要素:,Dx 对对1.1 集合与集合与函数函数23 函数的表示法只与定义域和对应法则有关函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即即简称函数表示法的简称函数表示法的

13、(4)而与用什么字母无关而与用什么字母无关,无关特性无关特性.xut )()()(fff1.1 集合与集合与函数函数24定义域定义域一般有两种一般有两种:(1)自变量所能取的使算式有意义的一切自变量所能取的使算式有意义的一切定义区间定义区间.由问题的实际意义所确定由问题的实际意义所确定.(2)函数的定义域常用区间来表示函数的定义域常用区间来表示,又可称为又可称为:实际问题实际问题(几何或物理问题几何或物理问题);在纯数学的研究中在纯数学的研究中(函数由一个公式函数由一个公式实数组成的集合实数组成的集合,这种定义域称为这种定义域称为自然定义域自然定义域.表示的表示的).1.1 集合与集合与函数函

14、数25例例 求下列函数的定义域求下列函数的定义域:)16(log)1(2)1(xyx )12ln(2712arcsin)2(2 xxxxy解解 )1().4,2()2,1(022 xx.2,1()1,21(01 x11 x1712 x定义域是定义域是定义域是定义域是012 x0162 x )2(112 x1.1 集合与集合与函数函数26常用的函数关系表示法是多种多样的常用的函数关系表示法是多种多样的.公式法公式法(解析法解析法);主要有主要有三种形式三种形式表格法表格法.各种表示法各种表示法,都有其都有其优点和不足优点和不足.图形法图形法;公式法公式法(解析法解析法)图形法图形法表格法表格法今

15、后以公式法为主今后以公式法为主,便于进行理论分析和计算便于进行理论分析和计算;形象直观形象直观,富有启发性富有启发性,便于记忆便于记忆;便于查找函数值便于查找函数值,但它常常是不完全的但它常常是不完全的.也可用语言描述也可用语言描述.配合使用图形法和表格法配合使用图形法和表格法.需特别指出的是需特别指出的是,公式法不一定仅用一个公式表示公式法不一定仅用一个公式表示函数函数.1.1 集合与集合与函数函数27例例 某商店对一种商品的售价规定如下某商店对一种商品的售价规定如下:购买量购买量 )(xfy50 x105 x10 xx8.058.0 有些函数有些函数 58.0分段函数分段函数.)10(4.

16、0 x)5(6.0 x称为称为函数关系也不同函数关系也不同,除了可用除了可用一个数学式子表示函数一个数学式子表示函数外外,随着自变量取不同的值随着自变量取不同的值,这种函数这种函数不超过不超过5千克时千克时,每千克每千克0.8元元;购买量大于购买量大于5千克而不千克而不超过超过10千克时千克时,若购买若购买 x 千克的费用记为千克的费用记为 f(x),则则购买量大于购买量大于10千克时千克时,超过超过10千克部分每千克千克部分每千克0.4元元,56.0 x6.01 x4.03 元元;在自然科学、工程技术和经济学中在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数的情形经常会遇到分段函数的情形.

17、其中超过其中超过5千克部分优惠价每千克千克部分优惠价每千克0.6xyO5101.1 集合与集合与函数函数28 用分段函数表示函数用分段函数表示函数,13 xy分段函数在其整个定义域上是一个函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案答案:1),1(31),1(3xxxxy即即 1,41,2xxxxy注注而不是几个函数而不是几个函数!13.xyO并画出并画出其图形其图形.2 41.1 集合与集合与函数函数29几个今后常引用的函数几个今后常引用的函数绝对值函数绝对值函数例例|xy,0 x0 x ,x,x 定义域定义域),(D值域值域).,0 WxyO|xy 1.1 集合与集合与函数函数例例 取最值

18、函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg31xyO符号函数符号函数(克罗内克函数克罗内克函数)xysgn|sgnxxx 定义域定义域),(D值域值域.1,0,1 W对对例例,0 x,1,0 x,00 x,1 11 ,R x有有或或.sgn|xxx 克罗内克克罗内克Kronecker L.1823 1891,德国数学家德国数学家1.1 集合与集合与函数函数32xyo 3 2 1 1 4 1 22 1 2 3 取整函数取整函数如如5.25 例例,n Z,1 nnxn当当xy 2 2.55 9.77 55.2 3 xy 阶梯曲

19、线阶梯曲线 定义域定义域),(D值域值域表示表示不超过不超过 x 的最大整数的最大整数W=整数整数.1.1 集合与集合与函数函数33例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数 )(xDy,Q x.QCx 狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859(x为有理函数为有理函数)(x为无理函数为无理函数),1,0 定义域定义域),(D值域值域.1,0 W由于有理数和无理数在实数集中稠密由于有理数和无理数在实数集中稠密,因此只能画出它的象征性的图像因此只能画出它的象征性的图像.有理数点有理数点无理数点无理数点 xyO11.1 集合与集合与函数函数34有界性有界性(bounded)设函数设函数y

20、=f(x)在区间在区间I上有定义上有定义,Axf)(则说则说 f(x)在区间在区间I上上有上有上 界界.),)(Bxf(下下),Ix 使得对所有使得对所有若存在若存在常数常数A都有都有(B),3.函数的几种特性函数的几种特性1.1 集合与集合与函数函数35 若存在常数若存在常数使得对所有使得对所有,Ix Mxf)(则称则称 f(x)在在I上上有界有界.在在 I上上无界无界;MxfM )(,0 M都有都有 若这样的若这样的M 不存在不存在,则称则称 f(x)即为对于任何即为对于任何,0 M 总存在总存在,0Ix ,)(0Mxf 使使则称则称 f(x)在在 I上上无界无界.有界有界无界无界xyOa

21、b)(xfMM,baI xyO20 xMxy1)2,0(I1.1 集合与集合与函数函数36在定义域上有界的函数叫做在定义域上有界的函数叫做例例xysin 是有界函数是有界函数;xy1 是无界函数是无界函数,但它在区间但它在区间 在区间在区间上上),1(注注 一定要把区间明确出来一定要把区间明确出来!不是有界函数不是有界函数,就是无界函数就是无界函数.显然显然,(bounded function)有界函数有界函数.有界等同于既有上界又有下界有界等同于既有上界又有下界.有下界有下界,有界有界.若若f(x)在在I上上有界有界,不是唯一的不是唯一的.则它在则它在I上的上上的上界和界和下下界界均均上上)

22、,0(1.1 集合与集合与函数函数37).(1)(2在定义域内为在定义域内为函数函数xxxf A.有上界无下界有上界无下界B.有下界无上界有下界无上界C.有界有界,21)(21 xf且且D.有界且有界且31122 xx解解21)(xxxf 21|xx|2|xx 21|)|21(2xx C解题提示解题提示 将函数取绝对值将函数取绝对值,然后用不等式然后用不等式放缩法放缩法.21)(21 xf故故1.1 集合与集合与函数函数38单调性单调性(monotonicity)时时当当2121,xxIxx ),()(21xfxf 单调增加单调增加;.DI 如果对如果对恒有恒有 monotone increa

23、singxyOI)(xfy )(1xf)(2xf1x2x 设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D,区间区间则称函数则称函数 f(x)在区间在区间I上是上是1.1 集合与集合与函数函数39I 注注 应指明单调区间应指明单调区间,否则会产生错误否则会产生错误.单调减少单调减少.)(xfy )(1xf)(2xf1x 2x.DI 时时当当2121,xxIxx ),()(21xfxf 如果对如果对恒有恒有monotone decreasingxyO 设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D,区间区间则称函数则称函数 f(x)在区间在区间I上是上是1.1 集合与集合与函数函数40奇偶性奇偶性偶函

24、数的图形偶函数的图形),()(xfxf 称称 f(x)为为偶函数偶函数(even function);有有对于对于,Dx xyO)(xf )(xfy )(xfxx 设设D关于原点对称关于原点对称,1.1 集合与集合与函数函数41),()(xfxf 奇函数的图形奇函数的图形称称f(x)为为奇函数奇函数(odd function).有有对于对于,Dx xyO)(xf )(xf)(xfy xx 设设D关于原点对称关于原点对称,1.1 集合与集合与函数函数42周期性周期性(periodicity)的的周期周期.)()(xflxf ,Dx 使得使得周期函数周期函数(period function).如果

25、存在一个如果存在一个正数正数l,且总有且总有l 称为称为f(x)通常称周期函数的通常称周期函数的周期周期是指是指最小正周期最小正周期.周期为周期为 l 的周期函数的周期函数,)(Dlx 有有23l23l 2l 2lOxy设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D,则称则称f(x)是是1.1 集合与集合与函数函数434.生成新函数的几种运算生成新函数的几种运算设函数设函数 f(x),g(x)的定义域分别为的定义域分别为D1,D2,21DDD,则可定义这两个函数的下列运算则可定义这两个函数的下列运算和和(差差);Dx 积积;Dx 商商Dx 且且;0)(xg线性组合线性组合 ,为实数为实数,.Dx

26、),()(xgxf),()(xgxf,)()(xgxf),()(xgxf 1.1 集合与集合与函数函数而生成新的函数而生成新的函数:gf )()(xgf:gf )()(xgf:gf )(xgf445.反函数与复合函数反函数与复合函数).(1xfy 设函数设函数 y=f(x)的值域为的值域为W,则称变量则称变量x为变量为变量y的函数的函数,记为记为(1)定义定义反函数反函数(inverse function)如果对于如果对于W中任一中任一 y值值,从关系式从关系式 y=f(x)中可确定唯一的一个中可确定唯一的一个).(1yfx )(1yf 称为函数称为函数y=f(x)的的反函数反函数,习惯上习惯

27、上 y=f(x)的的反函数记为反函数记为x值值,1.1 集合与集合与函数函数45求反函数的步骤求反函数的步骤求函数的反函数求函数的反函数 y=f-1-1(x).(1)把把x从方程从方程 y=f(x)中解出中解出;(2)把刚才所得的表达式中的把刚才所得的表达式中的x与与y对换对换,即得所即得所注意注意(1)y=f(x)的的图形与其反函数图形与其反函数 x=f-1-1(y)的的图形图形y=f(x)的的图形与其反函数图形与其反函数 y=f-1-1(x)的的图形图形关关xy 直线直线对称对称.(2)只有只有一一对应的一一对应的函数函数才有才有反函数反函数.重合重合;于于2xy 存在反函数吗存在反函数吗

28、?yx1.1 集合与集合与函数函数46 直接函数与反函数的图形直接函数与反函数的图形xy 直线直线对称对称.关于关于xyO ),(baP),(abQ)(1xfy 反函数反函数)(xfy 直直接接函函数数xy 1.1 集合与集合与函数函数47如如xy10 其反函数为其反函数为yxlg 指数函数指数函数),(定义域为定义域为值域为值域为);,0(写成写成xylg Oxyxy 1xy10 1xylg 注注并不是所有函数都存在反函数并不是所有函数都存在反函数.2xy 如如 函数函数),(定义域为定义域为值域为值域为);,0 但对但对),0(y都有两个都有两个yx 1和和yx 2与之对应与之对应,x不是

29、不是y 的函数的函数,2xy 不存在反函数不存在反函数.并称为对数函数并称为对数函数.1.1 集合与集合与函数函数48LS05.0 4.反函数与复合函数反函数与复合函数(2)复合函数复合函数(compound function )设某企业经营者每年收入设某企业经营者每年收入S 与该年利润与该年利润L有关有关,得到得到把把构成的构成的复合函数复合函数.例例其函数关系为其函数关系为而而利润利润L则与该企业产品的产量则与该企业产品的产量Q有关有关,其关系为其关系为3.0QL .05.03.0QS 3.005.0QS 称为由称为由和和LS05.0 3.0QL 1.1 集合与集合与函数函数49 定义定义

30、 设函数设函数 y=f(u)的定义域为的定义域为Df,而函数而函数若若 gfWD 则称函数则称函数u=g(x)的值域为的值域为Wg,y=f g(x)为为 x 的的复合函数复合函数.x为自变量为自变量,u为中间变量为中间变量,y为因变量为因变量.1.1 集合与集合与函数函数 也可记作也可记作:).(xgfy 1.1 集合与集合与函数函数50(1)并非任何两个函数都能复合成为复合函数并非任何两个函数都能复合成为复合函数;2122 xuuy和和如如(2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合注注因为因为22xu 不能构成复合函数不能构成复合函数.21uy 的定义域的

31、定义域Df 是是,1,1(3)反过来反过来,一个复杂的函数根据需要也可以一个复杂的函数根据需要也可以分解为若干简单函数的复合分解为若干简单函数的复合.的值域的值域Wg是是 gfWD.构成构成.设函数设函数 y=f(u)的定义域为的定义域为Df,而函数而函数u=g(x)gfWD 若若则称函数则称函数y=f g(x)的值域为的值域为Wg,为为 x 的的复合函数复合函数.),2 51,e211xy ,e y,1 u.12xv 复合函数的分解复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数复合函数拆成几个简单函数),由函数的最外层运算一层层剥到最由函数的最外层运算一层层剥到最里边里边,切不可漏层切不可漏层.如

32、如uvu,v 都是中间变量都是中间变量.复合函数的定义域是复合函数的定义域是,12 x即即),1()1,1()1,(而不是而不是21xv 的定义域的定义域).,(剥皮法剥皮法1.1 集合与集合与函数函数521)幂函数幂函数(power function)(是常数是常数 xy 定义域与定义域与 的取值有关的取值有关.5.初等函数初等函数(elementary function)(basic elementary function)(1)基本初等函数基本初等函数xyO11)1,1(xy 2xy xy1 xy 1.1 集合与集合与函数函数532)指数函数指数函数(exponential functi

33、on)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xye 定义域为定义域为),(值域为值域为).,0(xyO 1.1 集合与集合与函数函数543)对数函数对数函数(logarithm function)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a定义域为定义域为).,(值域为值域为),0(xyO)0,1(1.1 集合与集合与函数函数554)三角函数三角函数(trigonometric function)正弦函数正弦函数xysin xysin 定义域为定义域为),(值域为值域为.1,1 11 xyO 2 2 23 2 23 21.1 集合与集合与函数函数5

34、6xycos xycos 余弦函数余弦函数定义域为定义域为),(值域为值域为.1,1 11 xyO 2 2 23 2 23 25 1.1 集合与集合与函数函数57正切函数正切函数xycot 余切函数余切函数xytan xytan xycot 定义域定义域).,(值域值域 Z,212 nnx定义域定义域).,(值域值域Z,nnxxyO2 2 23 23 xyO 22 2 23 1.1 集合与集合与函数函数585)反三角函数反三角函数(inverse trigonometric function)xyarcsin xysinArc 定义域定义域值域值域,1,1.2,2 主值主值反正弦函数反正弦函数

35、xyO22 11 反三角函数都是多值函数反三角函数都是多值函数.但是但是,可以选取这些函数的可以选取这些函数的单值支单值支.1.1 集合与集合与函数函数59xyarccos 定义域定义域值域值域,1,1.,0 主值主值反余弦函数反余弦函数xycosArc xyO11 1.1 集合与集合与函数函数60 xyarctan 主值主值定义域定义域值域值域),(.2,2 反正切函数反正切函数xytanArc xyO2 2反余切函数反余切函数xyArccot xyO2 主值主值xycotarc 定义域定义域值域值域),().,0(幂函数、指数函数、对数函数、三角幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角

36、函数统称为函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.1.1 集合与集合与函数函数61(2)初等函数初等函数(elementary function)初等函数初等函数.如如)11ln(8sin3222 xaxyx)3ln(1xy 都是初等函数都是初等函数.7!75!53!3753xxxxy不是初等函数不是初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构和有限次的函数复合步骤所构成并可用成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为1.1 集合与集合与函数函数62注注一般分段函数不叫初等

37、函数一般分段函数不叫初等函数,0,0,xxxxy如如 可看作分段函数可看作分段函数,是否又可看作是初等函数是否又可看作是初等函数?答答:0,0,xxxxy故又可看作是初等函数故又可看作是初等函数.是是!由于由于它不是用它不是用一个式子一个式子表达出来的表达出来的.因为因为2|xx 1.1 集合与集合与函数函数632eeshxxx xych xysh),(:D奇函数奇函数.2eechxxx ),(:D偶函数偶函数.1)双曲函数双曲函数xye21 xy e21 叠加法叠加法(3)双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦xyOxsinhxcosh1.1 集合与集合与函

38、数函数64 xxxchshth奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,双曲正切双曲正切xxxx eeeexyO xxxshchcoth双曲余切双曲余切xxxx eeee0 xxtanh1.1 集合与集合与函数函数65双曲函数常用公式双曲函数常用公式 )(chyx xx22shch x2sh x2ch;shshchchyxyx;1;chsh2xx.shch22xx )(shyx;shchchshyxyx 1.1 集合与集合与函数函数662)反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(:D内内在在),(xyarsh)1ln(arsh2 xxxy yxsh由由可得可得 反双曲正弦反双曲正弦yxsh 是

39、是的反函数的反函数,2eeyy 单调增加单调增加.xyOyue xyarsh xarsinhxyarsh 1.1 集合与集合与函数函数67内内在在),1),1:D)1ln(arch2 xxxyxyarch 反双曲余弦反双曲余弦单调增加单调增加.xyO1xyarch xarcosh1.1 集合与集合与函数函数68xyarth xx 11ln21)1,1(:D奇函数奇函数,内内在在)1,1(xyarth 反双曲正切反双曲正切单调增加单调增加.xyO11 xyarth xartanh1.1 集合与集合与函数函数69三、小结三、小结复合函数复合函数,初等函数初等函数.函数函数函数的几种特性函数的几种特

40、性反函数反函数,有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.集合集合集合概念集合概念,区间区间,邻域邻域.函数的函数的定义定义,定义域定义域对应法则对应法则函数的两要素函数的两要素1.1 集合与集合与函数函数70思考题思考题考研数学一考研数学一,5分分,0)(1)(,e)(2 xxxfxfx 并且并且设设)(x 求求及其定义域及其定义域.解题思路解题思路此题是复合函数问题此题是复合函数问题,可设可设),(xu 从题目条件分析从题目条件分析u和和x的关系的关系.解解),(xu 令令则则 )()(ufxf xu 1e2.)1ln(xu 0 x于是于是,)1ln()(xx .0 x,e2u1.1 集合与集合与函数函数71作作 业业习题习题1.1(111.1(11页页)1.1 集合与集合与函数函数1.(4)(6)(7)3.5.7.8.(6)(7)(8)10.(6)11.(4)12.