线性代数：1高斯消元法

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1、 线性代数课程结构简图线性代数课程结构简图未知数个数与方程个数相等行列式行列式矩矩 阵阵线性代数方程组未知数个数与方程个数不等向向量量空空间间n1第四章 线性方程组第一节第一节 高斯消元法高斯消元法第二第二节节 n n维向量空间维向量空间第三节第三节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第四节第四节 向量组的秩向量组的秩第五节第五节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构n211112211211222221122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 解集合：解集合：解的全体第一节第一节 高斯消元法高斯消元法方程组最一般的表达形式：n3解方程组解方程组：求出

2、解集合n4n5n6两个方程组同解两个方程组同解：方程组有相同解集合方程组有相同解集合相容方程组相容方程组：方程组有解，方程组有解，或者说解集合不为空集或者说解集合不为空集不相容方程组不相容方程组：方程组无解，方程组无解，或者说解集合为空集或者说解集合为空集一些基本概念一些基本概念问题问题1：方程组是否有解？方程组是否有解？问题问题2：若方程组有解，则解是否唯一？若方程组有解，则解是否唯一？问题问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？n7方程组方程组的的初等变换：初等变换：高斯消元法高斯消元法（1）互换两个方程的位置互换两个方程的位置（2）用一

3、个非零数乘某个方程的两边用一个非零数乘某个方程的两边（3）将一个方程的两边同乘以某常数将一个方程的两边同乘以某常数 加到另一个方程加到另一个方程对线性方程组施行初等变换后，对线性方程组施行初等变换后，新方程组与原方程组同新方程组与原方程组同解。解。例题：见课本例题：见课本P87P87页例题页例题1.1,1.2,1.31.1,1.2,1.3n8n9 .522,4524,1321.1321321321xxxxxxxxx例例 .43354,6622,0332,22.15432154315432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx例例 .31063,5342,1523.132132132

4、1xxxxxxxxx例例AX=b1111nmmnaaAaa 1nxXx 1mbbb 系数系数矩阵矩阵未知量未知量矩阵矩阵常数项常数项矩阵矩阵方程组的矩阵表达形式：方程组的矩阵表达形式：n1011112211211222221122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 11111()nmmnmaabAA baab增广矩阵增广矩阵方程组方程组 Ax=b 与与增广矩阵增广矩阵存在存在一一对应关系一一对应关系：这是线性代数中最这是线性代数中最基本的基本的一次抽象一次抽象，将将方程组与方程组与增广矩阵增广矩阵一一对应起来，从而对一一对应起来，从而对方程组方程组 的的

5、研究转化研究转化为为对对矩阵矩阵的的研究（行列式，秩，初等变换等）。研究（行列式，秩，初等变换等）。n1111112211211222221122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 11111()nmmnmaabAA baab 一一对应一一对应n12从从课本课本例题介绍例题介绍的消元法我们知道，消元的消元法我们知道，消元法实质上是利用一系列法实质上是利用一系列方程组的初等变换将其方程组的初等变换将其变成同解的阶梯形方程组变成同解的阶梯形方程组.因此因此消元法也可看作是对其增广矩阵实行消元法也可看作是对其增广矩阵实行一系列一系列初等行变换化为初等行变换化为

6、阶梯矩阵阶梯矩阵的过程的过程.n13线性方程组解法讨论线性方程组解法讨论方程组的初等变换对应于增广矩阵的初等行变换方程组的初等变换对应于增广矩阵的初等行变换增广矩阵增广矩阵初等行变换初等行变换阶梯型矩阵阶梯型矩阵由增广矩阵经过一系列由增广矩阵经过一系列初等行变初等行变换换得到的阶梯型矩阵，它对应的得到的阶梯型矩阵，它对应的方程组与原先的方程组同解。方程组与原先的方程组同解。n14111121221110001000100000000000000000()rnrnrrrnrrccdccdccdAA bd 与方程组求解过程比较，所有的增广与方程组求解过程比较，所有的增广矩阵均可化为如下形式的阶梯矩

7、阵矩阵均可化为如下形式的阶梯矩阵阶梯型矩阵中可能有全为零阶梯型矩阵中可能有全为零的行的行，对应，对应的均为多余的方程的均为多余的方程n151111112211221110rrnnrrnnrrrrrnnrrxcxc xdxcxc xdxcxc xdd 阶梯型矩阵对应于一个新的方程组阶梯型矩阵对应于一个新的方程组方程组有解10()()rdR AR Ar n1611111122211211rrnnrrnnrrrrrrnnxdcxc xxdcxc xxdcxc x ()()R AR Arnnr若若，则则方方程程组组有有个个自自由由未未知知量量1122,rrnn rxt xtxt取取我们得到方程组解的一

8、般表达式（通解）：我们得到方程组解的一般表达式（通解）：n171111 112221 121 111rn n rrn n rrrrrrn n rrnn rxdctc txdctc txdctc txtxt 通解为通解为n181122nnxdxdxd ()()R AR Arn若若，则则方方程程组组有有唯唯一一解解n1911111122211211rrnnrrnnrrrrrrnnxdcxc xxdcxc xxdcxc x 本节主要定理：线性方程组解的情形本节主要定理：线性方程组解的情形n20齐次线性方程组解的情形齐次线性方程组解的情形（b b=0=0）12()()()().R AnR An 齐齐次

9、次线线性性方方程程组组只只有有零零解解；齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零解解 1)()()(3)()(2)()(1ARARARnARARnARAR）方方程程组组无无解解（）方方程程组组有有无无穷穷多多解解（）方方程程组组有有唯唯一一解解（n21推论推论1 1：当：当A A为为n n阶方阵时，齐次线性方程阶方阵时，齐次线性方程组组只有零解当且仅当只有零解当且仅当detdet(A)(A)不为零；不为零；有非零解当且仅当有非零解当且仅当detdet(A)(A)等于零等于零。推论推论2 2：当：当A A的行数小于列数的行数小于列数(即方程组中即方程组中方程的个数小于未知数的个数方程的个数小于未

10、知数的个数)时，齐次时，齐次线性方程组线性方程组一定有非零解一定有非零解。()R Amn因为因为例题例题 12312312310131xxxxxxxxx 解解:n22问问取何值时，此方程组取何值时，此方程组(1)有唯一解；有唯一解；(2)无无解；解；(3)有无穷多解，求其通解有无穷多解，求其通解.11131110111,bAA增广矩阵增广矩阵1311111131110rr 2131111103021rrrr 321110300313rr n23考虑考虑:1.有无解有无解 2.有解有解(唯一解还是无穷多解唯一解还是无穷多解)讨论讨论:n24310)3)(1(300)3(或或，得，得或或，得，得令

11、令.121,3),()(,301321 xxxbArAr唯一解唯一解时时且且）（.,2),(,1)(,02无解无解）（bArAr.,2),()(,33无穷多解无穷多解）（bArAr 11231011,0336011200000000A b最后的阶梯型矩阵对应的线性方程组为最后的阶梯型矩阵对应的线性方程组为其通解为其通解为132312x xxx -12312,txtxtxt 其中 为任意实数。n25方法方法2：由由本题的本题的特点，方程组特点，方程组中方程的个中方程的个数与未知量个数一样数与未知量个数一样,可想到先求系数行列可想到先求系数行列式式,然后利用然后利用克莱姆法则克莱姆法则211111111131 1130111111D令03 解得：或03,0,.D 当且时由克莱姆法则知有唯一解n2612312312300,30 xxxxxxxxx方程组变为矛盾1231231232332320().xxxxxxxxx 方程组变为不含参变量 解之即可n27本周作业：自习课本例题1.1例题1.5，准确表达方程组的通解 习题四 P1101(1)，3，5，6，20(2)n28