概率论与数理统计：CH4 第四章 随机变量的数字特征

《概率论与数理统计：CH4 第四章 随机变量的数字特征》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：CH4 第四章 随机变量的数字特征（112页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第一节第一节 数学期望数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质2 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要

2、知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了.3 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望数学期望、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数4一、数学期望的概念一、数学期望的概念 1)(kkkpxXE即即定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是:PX=xk=pk,k=1,2,若级数若级数 1kkkpx绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数 1kkkpx)(X

3、E的和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数学期望，记为，记为 ,若级数发散若级数发散 ，则称，则称X的数学期望不存在。的数学期望不存在。1kkkpx5定义定义2 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，如，如果积分果积分 绝对收敛，则称该积分的值绝对收敛，则称该积分的值为随机变量为随机变量X的数学期望或者均值，记为的数学期望或者均值，记为EX，即，即dxxxf)(dxxfxXE)()(如果积分如果积分 发散，则称发散，则称X的数学期的数学期望不存在。望不存在。()x f x dx6关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3)随机变量的数学期望与一般变量的算随机变

4、量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同.(1)E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值,也称也称均值均值.(2)级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改

5、变.7xO 随机变量随机变量 X 的算术平均值为的算术平均值为,5.1221 假设假设.98.198.0202.01)(XE它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是取各个可能值是等概率分布等概率分布时时,X 的的期望值期望值与与算术平均值相等算术平均值相等.1 2 X21020.980.p8为为他们射击的分布律分别他们射击的分布律分别乙两个射手乙两个射手、甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?思考思考 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击中环数击中环数概率概率10982.05.03.0甲射手

6、甲射手击中环数击中环数概率概率10983.01.06.09解解),(3.96.0101.093.08)(1环环 XE),(1.93.0105.092.08)(2环环 XE.,21XX数分别为数分别为设甲、乙射手击中的环设甲、乙射手击中的环故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.10例例4.1 一批产品中有一、二、三等及废品一批产品中有一、二、三等及废品4种，相种，相应比例分别为应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级，若各等级的产值分别为的产值分别为10元、元、5.8元、元、4元及元及0元，求这批产元，求这批产品的平均产值。品的平均产值。解解 设一个产品的产值为设一个产品的产值为X

7、元，则元，则X的可能取值的可能取值分别为分别为0，4，5.8，10；取这些值的相应比例分别为；取这些值的相应比例分别为7%,13%,20%,60%；则它们可以构成概率分布，；则它们可以构成概率分布，由数学期望的定义求得产品的平均产值为由数学期望的定义求得产品的平均产值为 E(X)=40.13+5.80.2+100.6=7.68（元）。（元）。11到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望.例例4.2 按规定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00

8、,9:0010:00都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者到站的时间相互独立。其规律为：到站的时间相互独立。其规律为：12其分布率为其分布率为以分计以分计为为解：设旅客的候车时间解：设旅客的候车时间),(X X 10 30 50 70 90 kp63626161636162611370()()()66P XP ABP A P B上表中例如的数学期望为的数学期望为候车时间候车时间到站到站第二班车第二班车为事件为事件到站到站第一班车第一班车为事件为事件其中其中XBA.30:9,10:8分分22.2736290363703615062306310)(

9、XE13 例例4.3其概率密度为其概率密度为服从同一指数分布服从同一指数分布它们的寿命它们的寿命装置装置个相互独立工作的电子个相互独立工作的电子有有,)2,1(,2 kXk0,00,01)(xxexfx若将这两个电子装置串联连接组成整机若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机求整机寿命寿命(以小时计以小时计)N 的数学期望的数学期望.0001)()2,1(xxexFkXxk 的分布函数为的分布函数为解解14 0001)(11)(22minxxexFxFx 0002)(2minxxexfNx 的概率密度为的概率密度为于是于是22)()(02min dxexdxxxfNEx12min(,)NXX

10、 的分布函数为的分布函数为15:),(,规规定定以以年年计计记记使使用用寿寿命命为为付付款款的的方方式式的的销销售售采采用用先先使使用用后后某某商商店店对对某某种种家家用用电电器器X例例4.4商店的销售策略商店的销售策略.3000,3;2500,32;2000,21;1500,1元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款 XXXX.0,0,0,e101)(,10的的数数学学期期望望器器收收费费试试求求该该商商店店一一台台家家用用电电概概率率密密度度为为服服从从指指数数分分布布设设寿寿命命YxxxfXx 16解解xXPxde10111010 1.0e1 ,0

11、952.0 xXPxde101211021 2.01.0ee ,0861.0 xXPxde101321032 ,0779.0ee3.02.0 17xXPxde1013103 .7408.0e3.0 的的分分布布律律为为因因而而一一台台收收费费 YYkp30002500200015000952.07408.00861.00779.0,15.2732)(YE得得.15.2732元元费费即平均一台家用电器收即平均一台家用电器收1819例例 设设Xp p(l l),求求E(X).解解 X的分布律为的分布律为e,0,1,2,0.!kP Xkkklll101e()e!(1)!ee,kkkkE Xkkkll

12、lllllllX的数学期望为的数学期望为即即E(X)=l l.20例例 设设XU(a,b),求求E(X).解解 X的概率密度为的概率密度为1,()0,.axbf xba其它()()dd2baxabE Xxf xxxbaX的数学期望为的数学期望为即数学期望位于区间即数学期望位于区间(a,b)的中点的中点.二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算呢？那么应该如何计算

13、呢？一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦一旦我们知道了我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.21 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的.2

14、2(1)当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X=xk)=pk;绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若 1)(),2,1(kkkpxgk1()()()kkkE YE g Xg xp(2)当当X为连续型时为连续型时,它的密度函数为它的密度函数为f(x).若若绝对收敛，则有绝对收敛，则有 dxxfxg)()(dxxfxgXgEYE)()()()(定理定理1 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g(X)(g是连续函数是连续函数)23连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,

15、不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.24 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(定理定理2 设设g(X,Y)是随机变量是随机变量X、Y的函数，且的函数，且Eg(X)存在。存在。(2)如果如果X、Y是连续型随机变量，联合概是连续型随机变量，联合概率密度为率密度为f(x,y)，则，则 (1)如果如果X、Y是离散型随机变量，联合概率是离散型随机变量，联合概率分布为分布为pij,i,j=1,2,，则，则 11()(,)(,)ijijjiE ZE g X Yg

16、 x yp25Xp1234.02.04.0解解的分布律为的分布律为XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(,)(),(),(:2YXEXYEYEXE 求求例例4.6 设设(X,Y)的分布律为的分布律为26.03.014.003.01)(YE得得1 0121 21031Yp1 013.04.03.0的分布律为的分布律为Y.24.032.024.01)(XE得得p),(YXXY)1,1(2.0)0,1(1.0)1,1(1.0)1,2(1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.0由于由于27p),(YX)1,1(2.0)0,1(1.0)1,1(1.0)1,2(

17、1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.02)(YX 41091944.091.002.013.04)(2 YXE得得.5 1.0313.001.0211.0211.011.002.01 XYE于于是是.151 28?),(,0.0,0,0,e1)()(,.,.,均为已知均为已知产品产品应生产多少件应生产多少件期望最大期望最大问若要获得利润的数学问若要获得利润的数学度为度为服从指数分布其概率密服从指数分布其概率密件件们预测销售量们预测销售量他他再者再者元的损失元的损失而积压一件产品导致而积压一件产品导致元元利利可获可获他们估计出售一件产品他们估计出售一件产品确定该产品的产量确定该产

18、品的产量并试图并试图产品市场产品市场某公司计划开发一种新某公司计划开发一种新nmyyyfYnmyY 例例4.729解解,件件设生产设生产 x:的函数的函数是是则获利则获利xQ .,),()(xYmxxYYxnmYxQQ若若若若yyQfQEYd)()(0 ymxyyxnmyyxyxde1de1)(0 ,e)()(nxnmnmx ,0e)()(dd nnmQExx令令30).ln(nmnx 得得,0e)()(dd22 xnmQEx又又.)(,)ln(,取得最大值取得最大值时时当当因此因此QEnmnx 31密度密度即具有概率即具有概率上服从均匀分布上服从均匀分布在在设风速设风速,),0(aV 其它其

19、它001)(avavf.),0(:2的数学期望的数学期望求求常数常数的函数的函数是是压力压力又设飞机机翼受到的正又设飞机机翼受到的正WkkVWVW 2022311)()(kadvakvdvvfkvWEa 解：由上面的公式解：由上面的公式32 其它其它）的概率密度为）的概率密度为（设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量020)sin(),(,p pxyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系数求系数211)sin(),(2/02/0 AdxyxAdydxdyyxf，得，得p pp p）由于）由于解：（解：（133 其它其它）的概率密度为）的概率密度为（设二维连续型随机变量设

20、二维连续型随机变量020)sin(),(,p pxyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系数求系数4)sin(2122/02/0p pp pp p dxdyyxxXE）（）解（解（12)sin(21),()(2/02/0 p pp pp pdxdyyxxydxdyyxxyfXYE34例例11.,22的数学期望的数学期望求求正态分布正态分布且都服从标准且都服从标准相互独立相互独立和和设随机变量设随机变量YXZYX 解解的联合概率密度为的联合概率密度为和和相互独立相互独立和和YXYXNYNX,),1,0(),1,0(2222e21e21),(yxyxf ,e212)(22yx

21、 于是于是)()(22YXEZE .dde2122222yxyxyx 35得得令令,sin,cos ryrx dde21)(220022rrZEr rrrde222022 rrrrdee020222 .2 36例例12.,0,10 ,2)(.,0,10 ,3)(,00:1300:12 2时间的数学期望时间的数学期望求先到达者需要等待的求先到达者需要等待的其他其他其他其他的概率密度分别为的概率密度分别为已知已知立立相互独相互独和和且设且设间间分别是甲、乙到达的时分别是甲、乙到达的时设设会面会面在在甲、乙两人相约于某地甲、乙两人相约于某地 yyyfxxxfYXYXYXYX解解的联合概率密度为的联合

22、概率密度为和和 YX .,0,10,10 ,6),(2其他其他yxyxyxf37因此所求数学期望为因此所求数学期望为yxyxyxYXEdd6)(10102 21dd6)(dd6)(22DDyxyxyxyxyxyx61121 ).(41小时小时 38 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推广niiniiXEXE11)(:推广（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）

23、请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立39。和和来证性质来证性质请同学自己证明，我们请同学自己证明，我们，性质性质4321于是有于是有概率密度为概率密度为其边缘其边缘）的概率密度）的概率密度设二维随机变量（设二维随机变量（证证),(),().,(,yfxfyxfYXYX得证。得证。性质性质3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE 40,相互独立相互独立又若又若YX.4)()()()(),()(得证得证性质性质YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX 41 例例10 一民航

24、送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客有旅客有10个车站可以下车个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客如到达一个车站没有旅客下车就不停车下车就不停车.以以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X).(设每设每位旅客在各个车站下车是等可能的位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否并设各旅客是否下车相互独立下车相互独立)10,2,110 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第引入随机变量引入随机变量解解1021XXXX 易知易知四、数学期望性质的应用四、数学期望性质的应用4210,2,1,10911,10902020 iXPX

25、Pii10,2,1,1091)(20 iXEi由此由此次次进而进而784.8109110)()()()()(2010211021 XEXEXEXXXEXE431 某人的一串钥匙上有某人的一串钥匙上有n把钥匙把钥匙,其中只有一把能打其中只有一把能打开自己的家门开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门去开门,若每把钥匙试开一次后除去若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试求打开门时试开次数的数学期望开次数的数学期望.000)(xxexfx的数学期望。的数学期望。求求XeY2 441 解解 设试开次数为设试开次数为X,分布率为：是离散型随机变量，其X于是于是 E

26、(X)nknk112)1(1nnn21n31)()(022 dxeedxxfeYExxxP(X=k)=1/n,k=1,2,n45解解 从数字从数字0,1,2,n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望求这两个数字之差的绝对值的数学期望.,的绝对值的绝对值为所选的两个数字之差为所选的两个数字之差设设 X ,3 ,2 ,1 nX的所有可能取值为的所有可能取值为则则,2 11 nnXP,21)1(2 nnXP一般的一般的.,2,1,21)1(nknknkXP nkkXkPXE1)(nknknk121)1(.32 n346解解.,)(,!0 的值的值与与求求已知已知

27、为为的概率的概率取非负整数值取非负整数值设随机变量设随机变量BAaXEnABpnXnn ,的的分分布布列列是是因因为为Xpn 0nnXP 0!nnnBA,1 BAe,BeA 得得 0!)(nnnBnAXE 1)!1(nnnBA,aABeB .,aBeAa 因此因此447 某银行开展定期定额有奖储蓄某银行开展定期定额有奖储蓄,定期一年定期一年,定额定额60元元,按规定按规定10000个户头中个户头中,头等奖一个头等奖一个,奖奖金金500元元;二等奖二等奖10个个,各奖各奖100元元;三等奖三等奖100个个,各奖各奖10元元;四等奖四等奖1000个个,各奖各奖2元元.某人买了五个某人买了五个户头户

28、头,他期望得奖多少元他期望得奖多少元?解解因为任何一个户头获奖都是等可能的因为任何一个户头获奖都是等可能的,.的期望的期望金数金数先计算一个户头的得奖先计算一个户头的得奖X42341088891011011011010210100500pX分布列为分布列为548 的数学期望为的数学期望为X210110101100101500101)(234 XE ),(45.0元元 买五个户头的期望得奖金额为买五个户头的期望得奖金额为 )(5)5(XEXE ).(25.245.05元元 49).1,min(,)1(1)(2XExxfX求求的概率密度的概率密度设随机变量设随机变量 解解)1,min(XE xxf

29、xd)()1,min(11d)(d)(xxxxfxxfx 12112d111d11xxxxxx 12102d112d12xxxxx.212ln1 650第二节第二节 方差方差方差的定义方差的定义方差的计算方差的计算方差的性质方差的性质切比雪夫不等式切比雪夫不等式511.概念的引入概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值分散程方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量度的量.实例实例 有两批灯泡有两批灯泡,其平均寿命都是其平均寿命都是 E(X)=1000小时小时.Ox Ox 1000 1000一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质52).(,)(.)()Var()(,)V

30、ar()(,)(,)(,222XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为记为为标准差或均方差为标准差或均方差称称即即或或记为记为的方差的方差为为则称则称存在存在若若是一个随机变量是一个随机变量设设 2.方差的定义方差的定义53方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分取值分散程度的量散程度的量.如果如果 D(X)值大值大,表示表示 X 取值分散取值分散程度大程度大,E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果 D(X)值小值小,则则表示表示X 的取值比较集中的取值比较集中,以以 E(X)作为随机变量作为随机变量的代表性好的代表性好.3.方差的意义方差的意义54离

31、散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差,d)()()(2xxfXExXD 4.随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1)利用定义计算利用定义计算 .)(的概率密度的概率密度为为其中其中Xxf.,2,1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk 55.)()()(22XEXEXD 证明证明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2)利用公式计算利用公式计算).()(22XEXE 56证明证明22)()()(CECECD 5.方差的性质方差

32、的性质(1)设设 C 是常数是常数,则有则有.0)(CD22CC .0(2)设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有).()(2XDCCXD 证明证明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC)(2CXECXE 57).()()(YDXDYXD (3)设设 X,Y 相互独立相互独立,D(X),D(Y)存在存在,则则证明证明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 58推广推广).()()()(2121nnXDXDXDXXXD 则有则有相互独立相互独立若若,21nXXX即即取常

33、数取常数以概率以概率的充要条件是的充要条件是,10)()4(CXXD.1 CXP59).(.,0,10,1,01,1)(XDxxxxxfX求求其他其他具有概率密度具有概率密度设随机变量设随机变量 解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE,0 二、例题讲解二、例题讲解例例160 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXEXD 2061 .61 61例例2。，求，求设设)()(XDXl lp p解解X的分布率为的分布率为0,2,1,0,!l ll ll lkkekXPk上节已算得上节已算得而而,)(l l XE)1()(2XXXEXE )(

34、)1(XEXXE l ll ll l 0!)1(kkkekkl ll ll ll l 222)!2(kkkel ll ll ll ll ll l 22ee62.,泊松分布就被确定了泊松分布就被确定了只要知道只要知道分布率中只含一个参数分布率中只含一个参数。泊松分布的。泊松分布的等于等于数学期望与方差相等，数学期望与方差相等，由此可知，泊松分布的由此可知，泊松分布的l ll ll ll l 22)()()(XEXEXD因此因此,泊松分布泊松分布l ll l )(,)(XDXE63例例3。，求，求设设)(),(XDbaUX解解 的概率密度为的概率密度为X 其它其它01)(bxaabxf。方差为。方

35、差为上节已求得上节已求得2)(baXE 1221)()()(22222abbadxabxXEXEXDba 因此因此,均匀分布均匀分布 12)(,2)(2abXDbaXE 64例例4设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为 0001)(xxexfx )()(0XDXE，求，求其中其中 解解 dxexdxxxfXEx01)()(2022221)()(dxexdxxfxXEx2)(XD因此因此由此可知由此可知,指数分布指数分布2 ）（，）（XDXE65例例6 设设XB(n,p)，求，求E(X)和和D(X).方差性质的应用方差性质的应用.66易知易知 X=X1+X2+.

36、+Xn,(2.7)由于由于Xk只依赖于第只依赖于第k次试验次试验,而各次试验相互独立而各次试验相互独立,于是于是X1,X2,.,Xn相互独立相互独立.1,1,2,.0,kAkXknAk在第 次试验发生在第 次试验不发生011kkXppp知知 E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p),即即E(X)=np,D(X)=np(1-p)例例7).()(),1,0(XDXENX和和求求设设解解的概率密度为的概率密度为X xexx2221)(p p 于是于是021)()(22 dxxedxxxXExp p 121)()()(2222 dxexdxxXExXDxp p 则则若若),1,0(NX1)(,0)(X

37、DXE67），（，则，则若若10),(2NXZNX 1)(,0)(ZDZE质得质得由数学期望和方差的性由数学期望和方差的性而而,ZX )()()()(EZEZEXE22)()()()(DZDZDXD，则，则若若),(2 NX2)(,)(XDXE差所确定。差所确定。可由它的数学期望和方可由它的数学期望和方布完全布完全望和方差，因而正态分望和方差，因而正态分分别是该分布的数学期分别是该分布的数学期和和概率密度中的两个参数概率密度中的两个参数这就是说，正态分布的这就是说，正态分布的2 68例如例如,),4,2(),3,1(相互独立相互独立和和且且若若YXNYNX），（故有故有也服从正态分布，而也服从

38、正态分布，而则则484,48)(,4)(32 NZXDZEYXZ且它们相互独立，则且它们相互独立，则若若,2,1),(2niNXiii .)0,(:212211仍然服从正态分布仍然服从正态分布的常数的常数是不全为是不全为它们的线性组合它们的线性组合nnnCCCXCXCXC ),(12212211 niiiniiinnCCNXCXCXC 且且69.,.,),04.0,50.22(),03.0,40.22()cm(22的概率的概率求活塞能装入气缸求活塞能装入气缸任取一只气缸任取一只气缸任取一只活塞任取一只活塞相互独立相互独立气缸的直径气缸的直径计计以以设活塞的直径设活塞的直径YXNYNX解解),0

39、4.0,50.22(),03.0,40.22(22NYNX因为因为),0025.0,10.0(NYX所以所以0 YXPYXP故有故有 0025.0)10.0(00025.0)10.0()(YXP)2(.9772.0 例例870三、切比雪夫不等式三、切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)|的概率越大，即的概率越大，即随机变量随机变量X 集集中在期望附近的可能性越大中在期望附近的可能性越大.2 221|)(|XEXP22|)(|XEXP，有不等式则对于任意正数方差具有数学期望设随机变量定理,)(,)(2XDXEX71例例

40、9 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞，每一毫升白细胞数平均是数平均是7300，均方差均方差是是700.利用切比雪夫不等利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率.解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为 P(5200 X 9400)P(5200 X 9400)=P(-2100 X-E(X)2100)=P|X-E(X)|2100722)2100()(1XD由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P|X-E(X)|21002)2100700(19891

41、1即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不之间的概率不小于小于8/9.7310 pp)1(pp 10,1 pnnp)1(pnp 0 l ll ll lba 2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布0,2五、常见分布的期望与方差五、常见分布的期望与方差741、设随机变量设随机变量X服从几何分布，概率分布为服从几何分布，概率分布为PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,其中其中0p0,D(Y)0,)()(),(YDXDYXCovXY 称

42、称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .XY 89相关系数的性质：相关系数的性质：11|.证证:由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数 b,有有0D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y)(),(XDYXCovb 令令，则上式为，则上式为 D(Y-bX)=)(),()(2XDYXCovYD)()(),(1)(2YDXDYXCovYD1)(2 YD由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1-0,所以所以|1。2902.1XY存在常数存在常数 a,b(b0），使使 PY=a+b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率

43、 1 线性相关线性相关.913.X和和Y独立时，独立时，=0，但，但其逆不真其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)=0.故故)()(),(YDXDYXCov=00但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.例例1 设设XN(0,1),Y=X2,求求X和和Y的相关系数。的相关系数。924.若若 ，称称X和和Y不相关。不相关。0XY定理：定理：若随机变量若随机变量X与与Y的方差都存在，且均不的方差都存在，且均不为零；则下列四个命题等价。为零；则下列四个命题等价。0XY（1）；（2）cov(X,Y)=0；（3）E(XY)=E(X)E(Y)；（4）D(X Y)=D(

44、X)+D(Y)。93但可以证明对下述情形，独立与不相关等价但可以证明对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关前面，我们已经看到：前面，我们已经看到：若若 X 与与 Y 独立，则独立，则X与与Y不相关，不相关，但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.941、）具有概率密度，设随机变量（YX其它020,20)(81),(yxyxyxf。求)(),(),(),(YXDYXCovYEXE2、相互独立，且设设YXNYNX),(),(22是不全为零的常数）。，其中的相关系数和试求(21YXZYX

45、Z951、解、解95)(,361),(,67)()(YXDYXCovYEXE2、解、解2)()(YDXD222221)()()()()(YDXDYXDZD222222)()()()()(YDXDYXDZD22222121)()(),(21ZDZDZZCovZZ),(),(21YXYXCovZZCov),(),(22YYCovXXCov22()()D XD Y222()96解解.),(,0,20,10),21(76),(),(2数数的协方差矩阵及相关系的协方差矩阵及相关系求求其他其他函数为函数为的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量YXyxxyxyxfYX yxyxfxXE

46、dd),()(xyxyxxdd)21(7610202 xxxd767121023 ,75 397yxxyxxXEdd)21(76)(1020222 ,7039,49023757039)(2 XD故故xyxyxyYEdd)21(76)(10202 因为因为,78 xyxyxyYEdd)21(76)(1020222 ,2134,14746782134)(2 YD故故98xyxyxxyXYEdd)21(76)(10202 ,2117)()()(),(Cov YEXEXYEYX 故故,147178752117 ),(的协方差矩阵为的协方差矩阵为于是于是YX.147461471147149023 的相关

47、系数的相关系数与与YX)()(),(CovYDXDYXXY .6915 备备 用用 例例 题题99四、小结四、小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数、这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是刻划两个变量间相关系数是刻划两个变量间线性相关程度线性相关程度的一个重的一个重要的数字特征要的数字特征.注意独立与不相关并不是等价的注意独立与不相关并不是等价的.当当(X,Y)服从二维正态分布时，有服从二维正态分布时，有X 与与 Y 独立独立X 与与 Y 不相关不相关100第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵原点矩原点矩 中心矩中心矩协方差矩阵协方差矩阵n 元正态分布的概率密度元正态分布的概率密度

48、101一、一、原点矩原点矩 中心矩中心矩定义定义 设设X和和Y是随机变量，若是随机变量，若 ,2,1),(kXEk存在，称它为存在，称它为X的的k阶原点矩阶原点矩，简称，简称 k阶矩阶矩.,3,2,)(kXEXEk若存在，称它为存在，称它为X的的k阶中心矩阶中心矩.可见，均值可见，均值 E(X)是是X一阶原点矩，方差一阶原点矩，方差D(X)是是X的二阶中心矩。的二阶中心矩。102协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二阶混合中心矩二阶混合中心矩.称它为称它为 X 和和 Y 的的 k+L 阶混合（原点）矩阶混合（原点）矩.若若)()(LkYEYXEXE存在，存在，称它为称它为X 和和 Y

49、的的 k+L 阶混合中心矩阶混合中心矩.)(LkYXE设设 X 和和 Y 是随机变量，若是随机变量，若 k,L=1,2,存在，存在，可见，可见，103二、二、协方差矩阵协方差矩阵将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩)(21111XEXEc)()(221112XEXXEXEc排成矩阵的形式排成矩阵的形式:)()(112221XEXXEXEc)(22222XEXEc称此矩阵为称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.22211211cccc这是一个非这是一个非负定对称矩阵负定对称矩阵104 类似定义类似定义n 维随机变量维随机变量(X1,X2,X

50、n)的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2,Xn)的的协方差矩阵。协方差矩阵。都存在都存在,(i,j=1,2,n),(jijiXXCovc若若)()(jjiiXEXXEXEnnnnnncccccccccC212222111211矩阵矩阵称称105三、三、n 元正态分布的概率密度元正态分布的概率密度)()(21exp|)2(11212 p pXCXCnf(x1,x2,xn)则称则称 X 服从服从 n 元正态分布元正态分布.其中其中C是是(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.|C|是它的行列式，是它的行列式，表示表示C的逆矩阵，的逆矩阵，1CX 和和 是是 n 维列向量，维列向量，表示

51、表示X 的转置的转置.X 设设 =(X1,X2,Xn)是一个是一个n维随机向量维随机向量,若它的概率密度为若它的概率密度为X106n元元正态分布的几条重要性质正态分布的几条重要性质1.X=(X1,X2,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布a1X1+a2 X2+an Xn 均服从正态分布均服从正态分布.对一切不全为对一切不全为0的实数的实数 a1,a2,an，由此得到，由此得到，n维正态变量维正态变量(X1,X2,Xn)的每的每一个分量一个分量Xi都是正态随机变量；反之，若每个分都是正态随机变量；反之，若每个分量量Xi都是正态随机变量，且它们相互独立，则都是正态随机变量，且它们相互独立，则(X1

52、,X2,Xn)是是n维正态变量。维正态变量。107若若 X=(X1,X2,Xn)服从服从 n 元正态分布元正态分布，Y1,Y2,，Yk是是Xj（j=1,2,n）的线性函数的线性函数，则则(Y1,Y2,，Yk)也服从多元正态分布也服从多元正态分布.2.正态变量的线性变换不变性正态变量的线性变换不变性.3.设设(X1,X2,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布，则则“X1,X2,Xn相互独立相互独立”等价于等价于“X1,X2,Xn两两不相关两两不相关”108 例例 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2),YN(0,1).试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.故故X

53、和和Y 的联合分布为正态分布的联合分布为正态分布，X 和和Y 的任意线的任意线性组合是正态分布性组合是正态分布.解解:XN(1,2),YN(0,1)，且且 X 与与Y 独立独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z),D(Z)109故故 Z 的概率密度是的概率密度是,231)(18)5(2zZezfp pzZN(5,32)例例 设随机变量设随机变量X,Y独立独立,均服从正态分布均服从正态分布 令令U=aX+bY,V=aX-bY,问常数问常数a,b满足什么条件时满足什么条件时随机变量随机变量U,V相互独立？相互独立？2(,)N 110四、小结四、小结 在这一节中我们学习了随机变量的原点矩在这一节中我们学习了随机变量的原点矩和中心矩以及协方差矩阵和中心矩以及协方差矩阵.一般地一般地,维随机变量的分布是不知道的维随机变量的分布是不知道的,或者太复杂或者太复杂,以至于在数学上不易处理以至于在数学上不易处理,因此因此在实际中协方差矩阵就显得重要了在实际中协方差矩阵就显得重要了.111112作业作业 第四章习题第四章习题 第第113页页第第2,7,22,23,32题题112