微积分课件：习题课 (2)

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1、习题课习题课 一、一阶微分方程一、一阶微分方程 1.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 类型类型 .yf x g y 解法解法 1dd.yf xxg y本章内容本章内容 2.一阶线性微分方程一阶线性微分方程 类型类型 .yP x yQ x 解法解法 ddeed.P xxP xxyQ xxC 3.齐次方程齐次方程 类型类型,.yyf x yx 解法解法 令令 则原方程转变则原方程转变dd.ddyyuuuxxxx d.duxuux此为可分离变量的微分方程此为可分离变量的微分方程.为为 4.伯努利方程伯努利方程 类型类型 d 0,1.dyP x yQ x yx解法解法 令令 则原方程变为则原方

2、程变为1,zy d11dzP x zQ xx为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程.二、可降阶的二阶微分方程二、可降阶的二阶微分方程 1.类型类型 .nyf x方法方法 做做 次积分次积分.n 2.类型类型,.yf x y方法方法 令令 则原方程转变为则原方程转变为,yp,.pf x p 新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程.3.类型类型 ,.yfy y方法方法 令令 则原方程转变为则原方程转变为,yp d,.dppfy py新方程是一个一阶微分方程新方程是一个一阶微分方程.三、二阶线性微分方程的解的结构三、二阶线性微分方程的解的结构 设二阶线性微分方程设二阶线性微分方程而方程而方程

3、称其为方程称其为方程所对应的齐次方程所对应的齐次方程.有有 .yP x yQ x yf x 0yP x yQ x y1.若若 是方程是方程的线性无关解的线性无关解,则方程则方程有通解有通解12,y y1122.yC yC y2.若若 是方程是方程的特解的特解,则方程则方程有通解有通解*y*1122.yC yC yy解的叠加定理解的叠加定理 四、二阶常系数线性微分方程四、二阶常系数线性微分方程 1.二阶常系齐次数线性微分方程二阶常系齐次数线性微分方程 设方程设方程0,ypyqy相应的特征方程为相应的特征方程为20.rprq则则:若方程有两个不同的实根若方程有两个不同的实根 则方程的通解为则方程的

4、通解为12,r r1212ee,r xr xyCC若方程有两个相同的实根若方程有两个相同的实根 则方程的通解为则方程的通解为12,rr112e,r xyCC x若方程有一对共轭复根若方程有一对共轭复根 则方程的通解则方程的通解1,2i,r12ecossin.xyCxCx为为 2.二阶常系非齐次数线性微分方程二阶常系非齐次数线性微分方程 设方程为设方程为 e,xmypyqyPx则方程有特解则方程有特解*e(),xkmyx Qx其中其中 是一个与是一个与 同次的多项式同次的多项式,而而 mQx mPx012k，若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,若若 是特征方程的单根是特征方程的单根,若若 是

5、特征方程的二重根是特征方程的二重根.另另:若令若令 则则 满足满足 ,kmQ xx Qx Q x 22Qxp Q xpq Q x.mPx设方程设方程 ecossin,xlmypyqyP xxPxx则方程有特解则方程有特解 *12ecossin,kxnnyxRxxRxx按按 是否为特征方程的根而分别取是否为特征方程的根而分别取1或或0.ki其中其中 是是 次的多项式次的多项式,而而 max,nl m 12,nnRxRxn例例 题题 选选 讲讲例例1 求解微分方程求解微分方程2d4d0,y xxxy解解 此方程为一个可分离变量的微分方程此方程为一个可分离变量的微分方程.分离变量后分离变量后2dd,

6、4yxyxx因因d1 11d,44yxyxx得得两边积分后得两边积分后得11lnlnln 4,4yxxC即即44.yxCx此即为原方程的通解此即为原方程的通解.例例2 求解初值问题求解初值问题2tan0,.3xyxyxyxy解解 原方程变形后为齐次方程原方程变形后为齐次方程tan.yyyxx做变换做变换 则有则有,yuxdtan,duuxuux移项后得移项后得cos1dd.sinuuxux 两边积分后得两边积分后得lnsinln,uxC 将将 代入代入,有有,yuxlnsinln,yxCx 由初始条件由初始条件 得得2,3xy0,C 1sin,yxx即满足初始条件的解为即满足初始条件的解为1a

7、rcsin.yxx即原方程的解为即原方程的解为例例3 求微分方程求微分方程423dd0yxyxy x解解 原方程变形为原方程变形为23d3,dx xxyyy 即即223d62,dxxyyy 此是关于函数此是关于函数 的一阶非齐次线性微分方程的一阶非齐次线性微分方程,2xfy的通解的通解.由求解公式得由求解公式得66dd23e2edyyyyxyyC6463d2.yyCyCyy例例4 求解方程求解方程2dcoscos sinsin.dyyxyyx解解 令令 则原式为则原式为sin,uy2dcos.dux uux此方程为贝努利方程此方程为贝努利方程,dcos.dzzxx 由积分公式由积分公式,得该方

8、程的通解为得该方程的通解为1sincose.2xzxxC 1,zu再作变换再作变换 则有方程则有方程从而得到原方程的通解从而得到原方程的通解11sinsincose.2xyxxC例例5 求解微分方程求解微分方程d25.d24yyxxxy解解 由方程由方程250,240yxxy得解得解 作变换作变换 001,2,xy 00,Xxx Yyyd2,d2YYXXXY则原方程为则原方程为令令 则有则有,YXu2d11,d2uuXXu相应的通解为相应的通解为2,YXC YX将将 代入上式代入上式,得原方程的通解为得原方程的通解为00,Xxx Yyy231.yxC xy解解 所求曲线为所求曲线为 于是在点于

9、是在点 处的曲率为处的曲率为,yf x(,)P x y332222,11yykyy（因曲线是向下凸的（因曲线是向下凸的,故故 ）.0y 例例6 在上半平面求一条向下凸的曲线在上半平面求一条向下凸的曲线,其任一点其任一点(,)P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段处的曲率等于此曲线在该点的法线段 长度的倒数长度的倒数PQ(Q是法线与是法线与 轴的交点）轴的交点）,且曲线在点且曲线在点 处的切线与处的切线与 x1,1x轴平行轴平行.曲线曲线 在点在点 处的法线方程为处的法线方程为 yf x(,)P x y10.YyXxyy 它与它与 轴的交点轴的交点 的坐标为的坐标为 于是于是xQ,0,Q x

10、yy122221.PQyyyyy由题设由题设 即即1,kPQ3122221,11yyyy由此得由此得21,yyy 111,0.xxyyd,dpypypy22dd1d,d1ppyypppypy 方程的解为方程的解为211ln 1ln,2pyC由初始条件得由初始条件得 即即10,C 令令于是方程为于是方程为x这是不显含这是不显含 的方程的方程.初始条件为初始条件为22211,pypy 积分得积分得22ln11,yyxC 再由初始条件得再由初始条件得 故所求曲线为故所求曲线为20.C 121e,xyy 即即111ee.2xxy例例7 设在设在 时所定义的可微函数时所定义的可微函数 满足条件满足条件1

11、x g x 01d0,011xgxg xg ttgx求求,gx e1.xg x证证 原方程变形为原方程变形为 01d.xxgxg xg tt两边求导两边求导,得得 g x0 x 证明证明 当当 时满足不等式时满足不等式 1,xgxgxgxg xg x令令 则原方程化为则原方程化为,gxpd120,dpxxpx由条件所设由条件所设 即即 方程方程 001,gg 01,xp 即即d2d,1pxxpx 1e.1xgxpx 两边积分两边积分,并由初始条件并由初始条件,得得函数函数 在在 满足拉格郎日中值定理的条件满足拉格郎日中值定理的条件,g x0,x e000,0,1g xggxx xx 从而有从而

12、有 故当故当 时时,又当又当 01,g xg 1.g x 0 x 1eee0,1xxxfxgxx所以所以 当当 时单调增加时单调增加,于是于是 f x0 x 因此因此0 x 时时,令令 则则 e,xf xg x e0010,xf xg xfg 即即 综合以上得综合以上得,当当 时有时有,e.xg x0 x e1.xg x例例8 求解微分方程求解微分方程223.23xyyx yy 解解1 此方程为齐次方程此方程为齐次方程,作代换作代换 则有则有,yux2d,d23uuuxxu 分离变量后得分离变量后得,22233dd,1uuxxuu 积分后得积分后得:222232dd11uuuuuuuu212l

13、nln 13ln,2uuxC 即方程的通解为即方程的通解为2231,Cuux从而有从而有 222.yxyC解解2 方程变形为方程变形为22d23dxxyyxy 此方程为伯努利方程此方程为伯努利方程,此时令此时令 则有则有2,zxd46.dzzyyy 故方程的通解为故方程的通解为24,zyCy 1d23.dxxyxyy 代回原变量得代回原变量得,224.xyCy 例例9 求解下列方程求解下列方程1.2.0,xyy3.yyy解解 1.此方程不含变量此方程不含变量,y,py0.xpp即即11dd.pxpx 方程的解为方程的解为1lnln.pxC 为为故令变换故令变换此时方程此时方程变形为变形为12l

14、n.yCxC11,pCx即即所以所以,方程的通解为方程的通解为1d1,dyCxx2.此方程中不含变量此方程中不含变量 作变换作变换,x,py22dd,ddyppxy方程变形为方程变形为3d.dppppy即有即有2d10.dpppy从而有从而有 由由 得方程的解为得方程的解为 由由0,p.yC2d10,dppy 即有即有1arctan,pyC从而从而1tan.yyC 积分得积分得12lnsin.yCxC从而得方程的通解从而得方程的通解12sine.xyCC例例10 求解初值问题求解初值问题31110,1,0.xxy yyy 解解 由方程由方程 得得310,y y 31.yy 方程两边同乘以方程两

15、边同乘以 得得 即有即有2,y322,yy yy 232dd.yyy 积分得积分得 由初始条件得由初始条件得 故故221.yCy 1.C 2211.yy 从而得从而得 即即211,yyy 2dd.1y yxy 21.yxC 两边平方后得两边平方后得221yxC由条件由条件111,xyC 222 02.yxx21,yxC 解为解为 且符号取正且符号取正,即方程的特即方程的特例例12 求下列方程的通解求下列方程的通解1.2.420250,yyy22e,xyyx3.4cos.yyxx解解 1.特征方程为特征方程为2420250rr125.2rr由此得到方程的通解由此得到方程的通解:5212e.xyC

16、C x 2.22e,xyyx 特征方程为特征方程为 因而齐次方程的通解为因而齐次方程的通解为220.rr212e.xyCC由于由于 为单根为单根,故方程有特解故方程有特解:2 *2e.xyQ x 2,Q xx axbaxbx22Qp Qpq Q2,2,Qaxb Qa求导后得求导后得 代入方程后得代入方程后得222,aaxbx其中其中比较系数后得比较系数后得1,4ab 所以所以,*211e.4xyxx 22121e1e.4xxyCCxx因而方程的通解为因而方程的通解为3.4cos.yyxx解解 特征方程为特征方程为 所以齐次方程所以齐次方程21,240,2i.rr 12cos2sin2.yCxC

17、x注意到注意到 不是特征方程的根不是特征方程的根,故方程的特解可故方程的特解可ii*cossin.yaxbxcxdx求一阶及二阶导数后代入到原方程得求一阶及二阶导数后代入到原方程得 设为设为的通解为的通解为332cos332sincos,axbcxcxdaxxx比较系数得比较系数得12,0,0,.39abcd故原方程的通解为故原方程的通解为1212cos2sin2cossin.39yCxCxxxx例例12 求解微分方程求解微分方程 2e4.xyyyx解解 方程对应的特征方程为方程对应的特征方程为3220.rrr方程的解为方程的解为1230,1,2,rrr 2123ee.xxyCCC对方程对方程

18、 设方程有解设方程有解2e,xyyyx*1e,xyx axb解为解为所以齐次方程的通解所以齐次方程的通解将将 代入上式代入上式,得代数方程得代数方程,有有*1111,yyyye683e,xxaxabx比较同次项系数有比较同次项系数有,*2114e.69xyx最后考虑方程最后考虑方程 假设方程有解假设方程有解24,yyyx*2,yx axb经计算得经计算得 1,ab*22,yxx 得得 从而方程的通解为从而方程的通解为22212314ee.69xxyCC xCxxxx例例13 设设 0sind,xf xxxt f tt.f x解解 因因 00sindd,xxf xxxf tttf tt两边求导两

19、边求导,得得 0cosdxfxxf ttxf xxf x 0cosd,xxf tt再次求导再次求导,得得 f x其中其中 为为连续函数连续函数,求求 sin,fxxf x 即即 sin.fxf xx 并有初始条件并有初始条件 对应的齐次方程的通对应的齐次方程的通 00,01.ff12sincos.yCxCx设非齐次方程的特解是设非齐次方程的特解是*sincos,yx axbx解是解是由待定系数法得由待定系数法得:10,.2ab121sincoscos.2yCxCxxx由初始条件由初始条件,得得121,0,2CC 11sincos.22f xxxx即即 即原方程的通解为即原方程的通解为例例14

20、小船从河边点小船从河边点 出发驶向对岸（两岸为平行线）出发驶向对岸（两岸为平行线）O比（比例系数为比（比例系数为 ）,求小船的航行路线求小船的航行路线.k解解 建立坐标系统如图建立坐标系统如图,设时刻设时刻 时时,小船位于小船位于t ,P x ty y,a,h设船速为设船速为 船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直,又设河宽为又设河宽为河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正x并使水流方向与并使水流方向与 轴正向一致轴正向一致.处处,由题意有由题意有h,P x yxyO00d,dd,.d0,0.ttxky hytyatxy从第二式中

21、解得从第二式中解得 再由初始条件得再由初始条件得 1,yatC10.C 将将 代入到第一个方程中代入到第一个方程中,即有即有yatddd,xky hytkat hatt2322,2ttxkahkaCc再由初始条件得再由初始条件得 即小船的航行曲线为即小船的航行曲线为20.C 232,23.ttxkahkayat消去参数消去参数 得曲线为得曲线为,t231.23kyxhya练练 习习1.求下列方程的通解求下列方程的通解222dd0.xy xxyy1edd0.xyxyxyd1.d3yxyxxycos d2cossin d0.y xxyy y23.2yxyxy 2.设设 是连续函数是连续函数,且满足

22、且满足 y x 0cos2sin d,xy xxy tt t求求.y x3.设曲线设曲线 上任意一点上任意一点 满足满足 又又 过点过点 求求 的方的方程程.L,P x y,PQQRL1,2,LxyOLPQR4.求解下列微分方程求解下列微分方程:ln.xyyx22.yyy5.求下面初值问题的解求下面初值问题的解:211lnln0,2,.xxxyyyyxyye6.求解下列微分方程求解下列微分方程:320.yyy40.yy 4340.yyy23sin2.yyyxx2244sin.xyyyexx7.设设 为连续函数为连续函数,且满足方程且满足方程 f x 20ed,xxf xxt f tt求求.f

23、x8.光滑曲线光滑曲线 过原点和点过原点和点 任取曲线上的点任取曲线上的点过点过点 做两坐标轴的平行线做两坐标轴的平行线 与与 轴及曲线所轴及曲线所围成的面积等于围成的面积等于 与与 轴及曲线围成的面积的轴及曲线围成的面积的2倍倍,求求曲线的方程曲线的方程.l2,3,P x yP,.PA PB PAxPBy9.一长度为一长度为 的均匀链条放置在一个水平面无摩擦力的的均匀链条放置在一个水平面无摩擦力的桌面上桌面上,滑动开始时滑动开始时,链条在桌边挂下来的长度为链条在桌边挂下来的长度为 问问链条全部滑离桌面需要多少时间链条全部滑离桌面需要多少时间?a,b简简 答答1.22d2d,ddyxyuxux

24、xyx22d,d1uuuxxu2lnln,1uxCu通解通解22.xyCyd1e1,dxyxxyyd1e1,duuyuuyd1ed,e,euuuyu y uCyu 通解通解e.xyyxC 令令 则原方程为则原方程为1,2,xXyY22d2,dYXYXXYYCXXY方程通解方程通解22226.xxyyxyCdtan2sin,dxxyyycos2ln cos.xy Cy通解通解21,22yxyyx2,zy令令 得得 方程之解为方程之解为21,zzxx2,2xzxC方程的通解为方程的通解为22.2xyxC2.两边求导两边求导,得得 2sin2sin,yxy xx 并注意到并注意到 00.y以以 乘方

25、程的两端乘方程的两端,得得cosexcoscose2sin2 e,xxyx 通解通解1 cose4cos4,xyCx代入初始条件代入初始条件,得方程之解得方程之解1 cose4cos4.xyx3.建立切线方程建立切线方程.YyyXx得得220.xyyyx初始条件为初始条件为 此方程为齐次方程，解为此方程为齐次方程，解为 12.y222ln,yxCx再由初始条件，得解为再由初始条件，得解为242ln 0.yxxxe4.1ln,ln,xppx xpxxxC1ln1,Cpxx 12ln2ln.yxxxCxC221dd2d2,.dppyyppyC yypy121.yC xC 5.先求方程的通解先求方程

26、的通解:ddlnln,ddpppuuxuuxxxx即即 由条件得由条件得111ln1,e,C xuC xpx 11.C 再积分得再积分得121 e,xyxC由条件得由条件得 所以方程之解为所以方程之解为22.C 11 e2.xyx6.212ee.xxyCC12cos2sin2.yCxCx1234eecos2sin2.xxyCCCxCx 齐次方程通解齐次方程通解312ee,xxyCC方程方程 的解为的解为23sin2yyyx*167cos2sin2,8585yxx方程方程 的解为的解为23yyyx*212,39yx 原方程的通解为原方程的通解为3126712eecos2sin2.858539xx

27、yCCxxx齐次方程的通解为齐次方程的通解为212e,xyCC x方程方程 的解为的解为44exyyy*1e,xy 方程方程 的解为的解为144cos22yyyx*21sin2,16yx方程方程 的解为的解为21442yyyx*22111,422yxx故原方程的通解为故原方程的通解为212eexxyCC x21111sin2.16422xxx7.将积分方程经求导后化为微分方程将积分方程经求导后化为微分方程:24e.xfxf x初始条件为初始条件为 原方程的通解为原方程的通解为 01,02.ff 2124cossine,5xyCxCx由条件得由条件得 故方程之解为故方程之解为1212,55CC2

28、124cossine.555xyxx8.设曲线方程为设曲线方程为 则由条件得方程则由条件得方程,yy x 02,3xy x dxxy x求导后化为微分方程求导后化为微分方程,并有初始条件并有初始条件220,3.xxyyy方程之解为方程之解为29.2yx ay t y t9.设下垂的长度为设下垂的长度为 则有则有,y t22d,dyaygt初始条件为初始条件为00,0.ttyb y方程的通解为方程的通解为12ee,ggttaayCC由条件得由条件得12.2bCC从而得到方程之解为从而得到方程之解为eech.2ggttaagybbta由此得由此得arch,aytgb当当 时时,有有ya22archln.aaaaabtgbgb