工科数学分析：chap3-3-4定积分计算法

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1、第2节 微积分学基本定理与基本公式 xabax dttf(x),)(证明：xfdttfdttfdttfxxxxxxxxaxxa)()()()()()()()(之间与在xxxxababa,x xfdttfxbaxCxf)()()(,)()(,上可导，且在，则设定理变上限的定积分一.)()(lim)(lim )(00 xffxxxxx变限求导公式：)()()()(xfdxxfxfdxxfbxxab(x)(x)axxfdxxfxxfdxxf )()()()()()()()()()()(xxfxxfdxxf(x)(x)242422222)1(2)(:)(1).1xxxxxxtxxtexeexedted

2、xddtedxd解求例)sin()()2(322dtttxdxdxx求xxxxxxxxxxxdttdtttdttxdxddtttxdxdxxxxxxxx2sin3sinsin2sin3sin sinsin)sin()(:42263462222232323232解.)()(上的一个原函数在区间为则称IxfxFdxxfxdFxfxFIx)()()()(,或若定义.说明2.区间I上的连续 函数必存在原函数.xababa,x xfdttfxCxf)()()()(,有有，则则 xabaxf dttfx;,)()()(1.上上的的一一个个原原函函数数在在是是连续连续是 原函数原函数存在的充分充分条件,而非

3、必要非必要.得令得令)()()(,)()()()(,0aFbFdttfbxaFxFdttf CaFaxbaxa)()(,)(则任一原函数是设,xfxFxfCba,2定理 xfdttfxxa的一个原函数，为由证)()()(Th1,-NewtonLeibniz公式的结论仍然成立：理的条件可适当减弱，定定理 2babaxFaFbFdxxf,xfxFbaxf)()()()()()(,)(记则的一个原函数是上可积在设注00)()()(CdttfCxxFxa)()()(aFbFdxxfbabaxF)(记N-L二.NewtonLeibniz公式：牛顿牛顿(1642-1727)(1642-1727)莱布尼茨莱

4、布尼茨(1646-1716)(1646-1716)dxx11-211 6 求例 0)(,2,cos20,)(7dxxfxxxxxf求设例2020cos)(:xdxxdxdxxf解18sin21 22202 xxCxdxxarctan11 :2解解2)1(arctan1arctan arctan11 1111-2 xdxxA.3,0,0,)1(8 3形的面积围成的图求由例xxyxy417)016(4141 )1(41)1(41 )1()1(A :314104103133xxdxxdxx解汽车走了多少距离？问从开始刹车到停车，刹车。度障碍物，汽车以等加速有的速度行驶，发现前方一汽车正以例2/8.1

5、/329smahkm时解：0tstttv9.48.19.8 08.19.8)(,速度当汽车停住时tatvtvsmsmhkmv08.19.8)(/9.8/3600100032/32 0速速度度为为刹刹车车后后汽汽车车减减速速行行驶驶，米汽车所走过的距离为于是，这段时间内2228.19.8)8.19.8()(,9.4029.409.40ttdttdttvS,)(2),CCx 或或1定理二.定积分的换元法，若满足，令设)()(,txxfCba dtttfdxxfa)()()(b 则则；单单调调地地变变到到从从时时，变变到到从从当当baxtba ,)(,)(1)定换30:4xdxx例12计算tdtdx

6、txxt2,4,4:2则则令令解解12230)2(44dttttdxxx)82(122dtt310)16316()832()832(123tt2ln01dxex求1 xet令令解解)41(2)arctan(2 1112121 101021022ln0ttdttdttttdxex例 13dtttdxtx12),1ln(22则则12211dxx求求例 1443122tansectan1sec11:tdttttxdxx令令解解4343sectansectan1tdttdttt)21ln(tansecln43tt222324dxxx求txtxtdttdxtx 2 ;4322 tansec2sec2，则

7、解：令例 1516242sin81sin21 tansec2cos81tan2 43432343tttdttdtttt原式tdtttttxtxtxtansec2cos81tan2 tan24 245223452原原式式但但此此时时。时时，；时时，也也可可取取注注：此此题题中中，1011:dxex计计算算例例10101010111111:dxeedxdxeeedxexxxxxx解解10)1(111xxede21ln1)1(ln110eex:错误指出并改正下列题中的5ln28)1ln(22)122(121)1(40404040ttdttdtttxdxxt12112221112112111(2)()

8、111 11 01xttd xd txttd ttd xx 例 160sin32 sinsincossin cossin sinsin(3)03000203xxdxxdxxdxxxdxxx试证设,)(,baCxfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(证 )()()(0aaadxxfxfdxxfaaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()()(而aaadxxfxfdxxf0)()()(例 17奇.)(2)(0aaadxxfdxxf连连续续且且为为偶偶函函数数，则则若若从从而而有有)(1):xf连连续续且且为为奇奇函函数数，则则若若)()2(xf.0)(aadxxf22

9、23sin)1(1):xdxx求求例例22232222223sinsinsin)1(:xdxxxdxxdxx解解42sin2121)2cos1(21 0sin2 2020202xxdxxxdx112211sin(2)dxxxx求求22例 18 )(则连续，为周期的周期函数，且是以设Txf)()(0TTaadxxfdxxfTaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(:00证证aaTtxTaTdttfdtTtfdxxf00)()()(而aTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf000)()()()(TTaadxxfdxxf0)()()()(0TnTaadxxfndxxf.)2

10、(02cos110)(30dxxfxxxxexf2x计算，设，解：令tx 21230)()2(dttfdxxf则10022cos11dttedttt10022212tantet21211tan1e例 19.cos1sin)(sin2)(sin)2(;)(cos)(sin)1(:,020020201,0dxxxxdxxfdxxxfdxxfdxxfCf并计算，证明;)(cos )2(sin()(sin)1(:2002220dxxfdttfdxxftx证例 20)(sin)()(sin(2)00dttftdxxxftx0)(sin)(dttft00)(sin)(sindtttfdttf,)(sin)

11、(sin00dxxxfdxxf移项得证。0cosarctan2x)44(24202cos1sin dxxxx利用上述结论，得02cos1sin2dxxx关于变限积分的奇偶性!关于变限积分的奇偶性!(),()(),0 ()xf xF xf x t dtF x例例:设设连连续续求求.二.定积分的分部积分法分分部部积积分分公公式式-bababaduvvudvu例 8定分120 xxedx计计 算算1122001:2xxxedxxde解解1122001()2xxxeedx122222011111()(1)(1)22224xeeeee210arcsin xdx计计算算21022102101arcsina

12、rcsin dxxxxxxdx解：21021621x12312例 9.)2(,5)2(,3)2(,1)0(10 dxxfxfff求已知 1010)2(21)2(xfxddxxfx解解：1010)2(21)2(21dxxfxfx10)2(41)2(21xff)0(41)2(41)2(21fff4143252例 10.)(,1)(1)tan1()(112311dxxfxfxxdxxfxex求已知232111tan11)(,)(:xxxaxexfadxxfx则则令令解解)2(1111111edxexedxxexxx而而例 11)2(2)4()(11eedxxfdxxxxaxedxxfax)1tan1

13、1()(232111102221tan12112311211eadxxxdxxdxxeax)(sin20为正整数求nxdxInn201sinsin xdxxInn解：xdxncossin201201201sincoscossinxxdxxnn2022201)sin1(sin)1(cossindxxxnxxnn20202sin)1(sin)1(xdxnxdxnnnnnInIn)1()1(2例12)(132231)(2212311 2为奇数为偶数nnnnnnnnnnInnInn)(!)!1()(2!)!1(为奇数为偶数nnnnnn02cos1sin 20dxxxx中的积分再求上节例002cosarctancos1sin xxddxxxx解：00cosarctancosarctanxdxxx2202)2cos(arctancosarctandttxdxxt又22sinarctantdt04 2 原式例 9